人教版 八年级下册寒假同步课程(培优版)7特殊的平行四边形

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人教版 八年级下册寒假同步课程(培优版)7特殊的平行四边形

1 知识点 A要求 B要求 C要求 矩形 会识别矩形 掌握矩形的概念A、判定和性质,会用矩形的性质及 判定解决简单问题 会运用矩形的知识解决有关 问题 模块一 矩形的性质及判定 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,还具有自己独特的性质: ① 边的性质:对边平行且相等. ② 角的性质:四个角都是直角. ③ 对角线性质:对角线互相平分且相等. ④ 对称性:矩形是中心对称图形,也是轴对称图形. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形中, 30 角所对的边等于斜边的一半. 点评:这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得,用三角形知识也可推得. 3.矩形的判定 判定①:有一个角是直角的平行四边形是矩形. 判定②:对角线相等的平行四边形是矩形. 判定③:有三个角是直角的四边形是矩形. 【例 1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为( ) A.对角线相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对边相等 【例 2】 如图,矩形 ABCD 沿 AE 折叠,使 D 点落在 BC 边上的 F 点处,如果 60BAF   , 则 DAE  【巩固】矩形 ABCD 中,点 H 为 AD 的中点,P 为 BC 上任意一点,PE HC 交 HC 于点 E ,PF BH 交 BH 于点 F ,当 AB BC, 满足条件 时,四边形 PEHF 是矩形 【例 3】 如图,在四边形 ABCD 中, 90ABC BCD     , AC BD ,求证:四边形 ABCD 是矩形. 特殊的平行四边形 2 C D B A 【巩固】如图,已知在四边形 ABCD 中, AC DB 交于O , E 、 F 、 G 、 H 分别是四边的中点,求证四 边形 EFGH 是矩形. H G O F E D C B A 【巩固】如图,在平行四边形 ABCD 中, M 是 AD 的中点,且 MB MC , 求证:四边形 ABCD 是矩形. M C D B A 【例 4】 设凸四边形 ABCD 的 4 个顶点满足条件:每一点到其他 3 点的距离之和都要相等.试判断这个 四边形是什么四边形?请证明你的结论。 3 【例 5】 已知矩形 ABCD 和点 P ,当点 P 在矩形 ABCD 内时,试求证: PBC PAC PCDS S S △ △ △ P A B C D 【例 6】 (西城区抽样测试)如图,将矩形 ABCD 沿 AC 翻折,使点 B 落在点 E 处,连接 DE 、 CE ,过 点 E 作 EH AC ,垂足为 H . ⑴判断 ACED 是什么图形,并加以证明; ⑵若 8AB  , 6AD  .求 DE 的长; ⑶四边形 ACED 中,比较 AE EC 与 AC EH 的大小. D C B A E H 【例 7】 如图所示,在矩形 ABCD 和矩形 BFDE 中,若 AB BF ,求证: MN CF . 4 N M F E D C B A 【例 8】 已知,如图,矩形 ABCD 中, CE BD 于 E , AF 平分 BAD 交 EC 于 F ,求证: CF BD . D A B C E F 【例 9】 如图,在 ABC 中,D 是 BC 边上的一点,E 是 AD 的中点,过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长 线于点 F ,且 AF BD ,连结 BF . ⑴ 求证: BD CD . ⑵ 如果 AB AC ,试判断四边形 AFBD 的形状,并证明你的结论. F E D C B A 5 【巩固】如图,在 ABC 中,点 D 是 AC 边上的一个动点,过点 D 作直线 MN BC∥ ,若 MN 交 BCA 的 平分线于点 E ,交 BCA 的外角平分线于点 F (1)求证: DE DF (2)当点 D 运动到何处时,四边形 AECF 为矩形?请说明理由! 【例 10】 如图,在矩形 ABCD 中, ,E F 分别是 ,BC AD 上的点,且 BE DF . 求证: ABE ≌ CDF . D E F C A B 【例 11】 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 BC 上一点, AE AD , DF AE ,垂足为 F .线段 DF 与 图中的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在下面的横线上,然后再加以证明。即 DF  .(写出一条线段即可) 6 E F D C A B 【例 12】 如图,平行四边形 ABCD 中,AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是 DAB 、 ABC 、 BCD 、 CDA 的平分线, AQ 与 BN 交于 P ,CN 与 DQ 交于 M ,证明:四边形 PQMN 是矩形. N M Q P D C B A 【巩固】如图,四边形 ABCD 是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°. (1)求证:AC∥DE; (2)过点 B 作 BF⊥AC 于点 F,连接 EF,试判别四边形 BCEF 的形状,并说明理由. 【巩固】如图,点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点,且 BE=BC,AB=3,BC=4,点 P 为直线 EC 上的一点,且 PQ⊥BC 于点 Q,PR⊥BD 于点 R. 7 (1)如图 1,当点 P 为线段 EC 中点时,易证:PR+PQ= 12 5 (不需证明). (2)如图 2,当点 P 为线段 EC 上的任意一点(不与点 E、点 C 重合)时,其它条件不变,则(1) 中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由. (3)如图 3,当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时,其它条件不变,则 PR 与 PQ 之间又具有 怎样的数量关系?请直接写出你的猜想 模块二 斜边中线的性质 【例 13】 如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点O , 60AOB   , 2AB  ,则矩形的对角线 AC 的 长是( ) A. 2 B. 4 C. 2 3 D. 4 3 O D C B A 【例 14】 矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于O ,如果 ABC 的周长比 AOB 的周长大10cm ,则边 AD 的长是 . 【例 15】 如图,矩形 ABCD 中,对角线 AC BD, 相交于点 O , AE BO 于 E , OF AD 于 F ,已知 8 3cmOF  ,且 : 1:3BE ED  ,求 BD 的长. 课后作业 1. 已知,如图,在 ABC 中, AB AC , AD 是 BC 边上的高, AF 是 BAC 的外角平分线, DE ∥ AB 交 AF 于 E ,试说明四边形 ADCE 是矩形. 3 2 1 F E D C B A 2. 如图所示,在 Rt ABC 中, 90ABC   ,将 Rt ABC 绕点C 顺时针方向旋转 60 得到 DEC 点 E 在 AC 上,再将 Rt ABC 沿着 AB 所在直线翻转180 得到 ABF 连接 AD . ⑴ 求证:四边形 AFCD 是菱形; ⑵ 连接 BE 并延长交 AD 于G 连接 CG ,请问:四边形 ABCG 是什么特殊平行四边形?为什么? A B C D G E F
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