人教版八年级数学上册第十一章11.1与三角形有关的 线段

人教版八年级数学上册第十一章11.1与三角形有关的 线段

第十一章 三角形 11.1与三角形有关的 线段 第2课时 学习目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 复习回顾导入新课 定义 图示 垂线 线段 中点 角平 分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的 角，这条射线叫做这个角的平分线 你还记得 “过一点画已 知直线的垂线” 吗? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 放、靠、过、 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画. 思考：过三角形的一个顶点， 你能画出它的对边的垂线吗? 复习导入 导入新课 三角形的高的定义 A 从三角形的一个顶点， B C 向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足 D 之间的线段 叫作三角形的高线， 简称三角形的高. 如右图, 线段AD是BC边上的高. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 讲授新课 和垂足的字母. 注意 标明垂直的记号 三角形的高 思考：你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点， 应该有三条高. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示； 直角边BC边上的高是 ; 直角边AB边上的高是 ; (2) AC边上的高是 ; 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高, AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 钝角三角形的三条高 A B CD E F (2) AC边上的高呢？AB边上呢？ BC边上呢？ BF CE AD (3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ 钝角三角形的三条高 不相交于一点； 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正 确的是(　　) 典例精析 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边 所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5， BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在 边AC上移动，则BP的最小值为____． 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积) 求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 24 5 例3 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE 是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°， 求∠ADB的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. 在三角形中，连接一个顶 点与它对边中点的线段，叫作 这个三角形的中线(median). AE是BC边上的中线. 三角形的“中线” B A C A BE=EC E 三角形的中线 (1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线. 你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的 位置关系? 议一议 三条中线， 交于一点 (2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？ 折一折，画一画，并与同伴交流. 三角形的三条中线交于一点，这个交点 就是三角形的重心. 要点归纳 典例精析 例4 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的 中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm， 则BA＝________. 提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为 边长的差. 7cm 思考 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设 法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折 纸的方法得到它吗? 三角形的角平分线 B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出 一个一个三角形并剪 下，将它的一个角对 折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. A B C 三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内 角的平分线与它的对边相 交，这个角的顶点与交点 之间的线段叫三角形的角 平分线. 1 2 A B CD 注意：“三角形的角平分线”是一条线段. ∠1=∠2 做一做 三角形的三条角平分线交于同一点. 三角形角平分线的性质 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中， ∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－36°－34°＝110°. 例5 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°， AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. A B D C D C B A D C B A 2 1 D C B A 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点 向它的对边所在的直 线作垂线,顶点和垂足 之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶 点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上 的中线. ∴ BD=CD= ½BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平 分线与它的对边相交, 这个角顶点与交点之 间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC 的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC 知识归纳 当堂练习 1．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在 以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE； ③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作 为△ABC的高的有 （ ） （ A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 B D 5.填空： （1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿ (2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线， 则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______. 图① 图② AF DC ∠2 2∠4 AC1 2 ∠ABC1 2 6.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC 的周长为25cm,求ΔADC的周长. A D B C 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BD＝AD， ∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm， 则BD+CD＝25－BC. ∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC ＝BD＋CD＋AC ＝25-BC＋AC ＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm. 7.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数. A B C E解：∵ＡE是△ABC的角平分线， ∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－ 60°=75°，∴∠BAE=37.5°. ∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°， ∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°. ∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.1 2 8.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是 △ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°， 求∠DAE的大小. 解： ∵ AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°. ∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C ) =180°－90°－40°=50°. ∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°， ∴∠CAE=41°， ∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°. B A CD E 课堂小结 三 角 形 重 要 线 段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中 线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两 个三角形，这两个三角形的周长 差等于原三角形其余两边的差 角平分线