运用公式法（一）导学案2

运用公式法（一）导学案2

‎4.3.1 运用公式法（一）‎ 学习目标 ‎（一）知识认知要求 ‎1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；‎ ‎2.使学生掌握用平方差公式分解因式.‎ ‎3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.‎ ‎（二）能力训练要求 ‎1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.‎ ‎2.训练学生对平方差公式的运用能力.‎ ‎（三）情感与价值观要求 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.‎ 学习重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式.‎ 学习难点 将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.‎ 学习过程 一、创设问题情境,引入新课 在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.‎ 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.‎ 二、新课讲解 ‎1.请看乘法公式 ‎（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）‎ 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b） （2）‎ 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？‎ 符合因式分解的定义，因此是因式分解.‎ 对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.‎ ‎2.公式讲解 请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.‎ 是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.‎ 如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.‎ 如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.‎ ‎9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2‎ ‎=（3 m +2n）（3 m －2n）‎ ‎3.例题讲解 ‎［例1］把下列各式分解因式：‎ ‎（1）25－16x2; （2）9a2－b2.‎ 解：（1）25－16x2=52－（4x）2‎ ‎=（5+4x）（5－4x）;‎ 3‎ ‎（2）9a2－b2=（3a）2－（b）2‎ ‎=（3a+b）（3a－b）.‎ ‎［例2］把下列各式分解因式:‎ ‎（1）9（m+n）2－（m－n）2;‎ ‎（2）2x3－8x.‎ 解：（1）9（m +n）2－（m－n）2‎ ‎=［3（m +n）］2－（m－n）2‎ ‎=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］‎ ‎=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）‎ ‎=（4 m +2n）（2 m +4n）‎ ‎=4（2 m +n）（m +2n）‎ ‎（2）2x3－8x=2x（x2－4）‎ ‎=2x（x+2）（x－2）‎ ‎ 说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.‎ 补充例题：判断下列分解因式是否正确.‎ ‎（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.‎ ‎（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.‎ 解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.‎ ‎（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.‎ 应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.‎ 三、课堂练习 ‎（一）随堂练习 ‎1.判断正误 ‎（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. 2.把下列各式分解因式 解：（1）a2b2－m2‎ ‎（2）（m－a）2－（n+b）2‎ ‎（3）x2－（a+b－c）2‎ ‎（4）－16x4+81y4‎ ‎（二）补充练习：把下列各式分解因式 ‎（1）36（x+y）2－49（x－y）2;‎ ‎（2）（x－1）+b2（1－x）;‎ ‎（3）（x2+x+1）2－1.‎ 四.课时小结 我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.‎ 第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.‎ 五.课后作业 习题2.4‎ 六.活动与探究 3‎ 把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc ‎=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc ‎=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2‎ ‎=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］‎ ‎=（b+c）［a2+bc+ab+ac］‎ ‎=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］‎ ‎=（b+c）（a+b）（a+c）‎ 3‎