八年级下数学课件《正方形及其性质》课件_冀教版

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第二十二章 四边形 22.6 正方形 第1课时 正方形及其性质 1 u正方形的定义 u正方形边的性质 u正方形角的性质 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 鞋匠们钉鞋时常用的铁钉的横截面的形 状，不像普通铁钉那样是圆的，而呈正 方形，你知道其中的原因吗？ 你提的问题十分有趣，为什么是正方形 而不是圆形，这是正方形独特的性质所 起的作用，我们只要再进一步深入接触 正方形就会知道其中的道理. 1 正方形的定义 做一做： 用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形． 知1－导 问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四 条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形， 又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质. 知1－导 知1－讲 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形． 要点精析 (1)正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形； (2)正方形的四个角都是直角,说明正方形是特殊的矩形. 即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 知1－讲 例1 如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点， 点F是CB的延长线上一点， 且EA⊥AF. 求证：DE=BE. 本题要证明两条线段相等，而证明线段相等的方 法有很多，根据题中所给的条件，由正方形 ABCD，我们可以得到边相等，角相等，也可以 得到平行，所以在可以得到比较多的条件的情况 下，一般会想到用全等去解决，而本题中全等的 条件也很充足，那么问题即可解决． 分析： 知1－讲 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°． ∴∠BAE+∠EAD=90°．∴EA⊥AF， ∴∠BAE+∠FAB=90°．∴∠EAD=∠FAB． ∴△ABF≌ △ADE． ∴DE=BF. 证明： 知1－讲 知道正方形就说明它的四边都相等，四个 角都是直角. 知1－练 （来自教材） 如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形 CFED重合，那么图形所在的平面上可以作为旋 转中心的点共有多少个？请指出它们的位置. 1 共3个． 分别是点D、点C和线段CD的 中点． 解： 知1－练 下面四个定义中不正确的是(　　) A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形 D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2 B 知1－练 已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， 如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形， 那么这个条件可以是(　　) A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD 3 D 知1－练 【中考·兰州】▱ ABCD的对角线AC与BD相交于 点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________， 使得▱ ABCD为正方形． 4 AC＝BD 2 正方形边的性质 正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切 性质，即： ①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行； ②角：四个角都是直角. 知2－讲 知2－讲 例2 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交 点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG 交AO于F，求证：EF∥AB. 要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°， ∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝ 45°，即要证明OE＝OF，而 OE＝OF可通过证明△AEO≌ △DFO获得． 导引： 知2－讲 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°. 又∵DG⊥AE， ∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°. ∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO. ∴△AEO≌ △DFO (ASA)．∴OE＝OF. ∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA. ∴EF∥AB. 证明： 知2－讲 通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步 得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最 常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直 角为证明三角形全等提供了条件． 1 已知：如图，四边形ABCD和BGFE都是正方 形. 求证：AE=CG. 知2－练 （来自教材） ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABC＝90°. ∵四边形BGFE是正方形， ∴BE＝BG，∠EBG＝90°. ∴∠ABC－∠EBC＝∠EBG－∠EBC， 即∠ABE＝∠CBG.∴△ABE≌ △CBG. ∴AE＝CG. 解： 知2－练 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　) A．四个角都相等 B．四条边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2 B 知2－练 【中考·宁波】一个大矩形按如图方式分割成九个 小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正 方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小 矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩 形的面积，则n的最 小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3 A 知2－练 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边 中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为(　　)　 A. B．2 C. ＋1 D．2 ＋1 4 B 2 2 2 2 【中考·毕节】如图，正方形ABCD的边长为9， 将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处， 折痕为GH. 若BE∶ EC＝2∶ 1，则线段CH的长 是(　　) A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6 5 B 知2－练 知3－讲 3知识点 正方形角的性质 例3 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线， AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 线段BE是Rt△ABE的一边，但由 于AE未知，不能直接用勾股定理 求BE， 由条件可证△ABE≌ △AFE，问 题转化为求EF的长，结合已知条 件易获解． 导引： 知3－讲 ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌ △AFE. ∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE. 在Rt△ABC中，AC ∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm. 2 2 2 21 1 2(cm),AB BC     2 2 解： 知3－讲 解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边 相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正 方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解 决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙． 如图，正方形ABCD的对角线 AC为菱形AEFC的一边.求 ∠FAB的度数. 知3－练 1 （来自教材） 由题意可知∠CAE＝ ∠DAB＝45°. ∵在菱形AEFC中，AF平分∠CAE， ∴∠FAB＝ ∠CAE＝22.5°. 1 2 1 2 解： 如图，E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点， 且CE=BD，AE交DC于点F. 求∠AFC的度数. 知3－练 2 （来自教材） 连接AC，在正方形ABCD中， AC＝BD，AD∥BC， ∠DAC＝∠ACD＝45°. ∵BD＝CE，∴AC＝CE.∴∠CAE＝∠CEA. ∵AD∥CE，∴∠DAF＝∠AEC. ∴∠DAF＝∠CAE＝ ∠DAC＝22.5°. 又∵∠ACF＝45°，∴∠AFC＝112.5°. 1 2 解： 知3－练 【中考·河北】如图是边长为10 cm的正方形铁片， 过两个顶点剪掉一个三角形，以下 四种剪法中，裁剪线长度所标的数 据(单位：cm)不正确的是(　　) 3 A 知3－练 【中考·郴州】如图，在正方形ABCD中，△ABE 和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°， AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是(　　) A．7 B．8 C．7 D．7 4 C 2 3 知3－练 【中考·河南】我们知道：四边形具有不稳定性. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O， 固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落 在y轴正半轴上点D′处，则点 C的对应点C′的坐标为(　　) A．( ，1) B．(2，1) C．(1， ) D．(2， ) 5 D 3 3 3 1 正方形同时具备平行四边形、菱形、矩形的所有性 质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相 等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平 分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称 轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供 了重要的依据． 【中考·安顺】如图，正方形ABCD的边长为4，E为 BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P 为AC上一个动点，则PF＋PE的 最小值为________． 2 易错小结 易错点：不能将两线段和转化为一条线段而致错 17 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！