八年级上册数学人教版第13章 轴对称 测试卷(1)

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八年级上册数学人教版第13章 轴对称 测试卷(1)

第 1页(共 33页) 第 13 章 轴对称 测试卷(1) 一、选择题 1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时, 必须保证∠1 的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 3.如图是经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比( ) A.形状没有改变,大小没有改变 B.形状没有改变,大小有改变 C.形状有改变,大小没有改变 D.形状有改变,大小有改变 4.正方形的对称轴的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.正三角形△ABC 的边长为 3,依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B1、C1,使 AA1=BB1=CC1=1,则△A1B1C1 的面积是( ) A. B. C. D. 6.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10.若以点 C 为圆心,CB 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D,则 AC=( ) 第 2页(共 33页) A.5 B. C. D.6 7.观察下列图形,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 8.剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,是轴对称图形的为( ) A. B. C. D. 9.以下图形中对称轴的数量小于 3 的是( ) A. B. C. D. 10.下列图案中,轴对称图形是( ) A. B. C. D. 11.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中, 是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 12.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面 4 个汉字中,可以看作是轴 对称图形的是( ) A. B. C. D. 第 3页(共 33页) 13.下列图案是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 14.如图,直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 15.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形 ABCD,转动这个四 边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图 1,测得 AC=2,当∠B=60°时,如图 2, AC=( ) A. B.2 C. D.2 16.P 是∠AOB 内一点,分别作点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2,连接 OP1、 OP2,则下列结论正确的是( ) A.OP1⊥OP2 B.OP1=OP2 C.OP1⊥OP2 且 OP1=OP2D.OP1≠OP2 17.如图,点 P 是∠AOB 外的一点,点 M,N 分别是∠AOB 两边上的点,点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上,点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的 延长线上.若 PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段 QR 的长为( ) 第 4页(共 33页) A.4.5cm B.5.5cm C.6.5cm D.7cm 18.已知 AD∥BC,AB⊥AD,点 E,点 F 分别在射线 AD,射线 BC 上.若点 E 与 点 B 关于 AC 对称,点 E 与点 F 关于 BD 对称,AC 与 BD 相交于点 G,则( ) A.1+tan∠ADB= B.2BC=5CF C.∠AEB+22°=∠DEF D.4cos∠AGB= 二、填空题 19.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种 衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图 1,衣架杆 OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图 2,则此时 A,B 两点之间的距 离是 cm. 20.如图,有一个英语单词,四个字母都关于直线 l 对称,请在试卷上补全字母, 在答题卡上写出这个单词所指的物品 . 第 5页(共 33页) 21.请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按所选做的第一题计分. A.一个正五边形的对称轴共有 条. B.用科学计算器计算: +3tan56°≈ (结果精确到 0.01) 22.如图,△ABC 是等边三角形,高 AD、BE 相交于点 H,BC=4 ,在 BE 上截 取 BG=2,以 GE 为边作等边三角形 GEF,则△ABH 与△GEF 重叠(阴影)部分的 面积为 . 23.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 B、C、D、E 在同一直线上,且 CG=CD, DF=DE,则∠E= 度. 24.如图,直线 a∥b,△ABC 是等边三角形,点 A 在直线 a 上,边 BC 在直线 b 上,把△ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到△A′B′C′(如图①);继续以上的平移 得到图②,再继续以上的平移得到图③,…;请问在第 100 个图形中等边三角形 的个数是 . 25.如图,点 B1 是面积为 1 的等边△OBA 的两条中线的交点,以 OB1 为一边, 构造等边△OB1A1(点 O,B1,A1 按逆时针方向排列),称为第一次构造;点 B2 是△OB1A1 的两条中线的交点,再以 OB2 为一边,构造等边△OB2A2(点 O,B2, A2 按逆时针方向排列),称为第二次构造;以此类推,当第 n 次构造出的等边△ 第 6页(共 33页) OBnAn 的边 OAn 与等边△OBA 的边 OB 第一次重合时,构造停止.则构造出的最 后一个三角形的面积是 . 26.已知等边三角形 ABC 的边长是 2,以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形, 得到第一个等边三角形 AB1C1,再以等边三角形 AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边 作等边三角形,得到第二个等边三角形 AB2C2,再以等边三角形 AB2C2 的边 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形,得到第三个等边 AB3C3;…,如此下去,这样 得到的第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 . 27.如图,在平面直角坐标系中,点 O 是原点,点 B(0, ),点 A 在第一象 限且 AB⊥BO,点 E 是线段 AO 的中点,点 M 在线段 AB 上.若点 B 和点 E 关于 直线 OM 对称,则点 M 的坐标是( , ). 28.已知等边三角形 ABC 的高为 4,在这个三角形所在的平面内有一点 P,若点 P 到 AB 的距离是 1,点 P 到 AC 的距离是 2,则点 P 到 BC 的最小距离和最大距 离分别是 . 第 7页(共 33页) 三、解答题 29.如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 DE∥AB,过 点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F. (1)求∠F 的度数; (2)若 CD=2,求 DF 的长. 30.如图,O 为△ABC 内部一点,OB=3 ,P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC 为对称轴的对称点. (1)请指出当∠ABC 在什么角度时,会使得 PR 的长度等于 7?并完整说明 PR 的长度为何在此时会等于 7 的理由. (2)承(1)小题,请判断当∠ABC 不是你指出的角度时,PR 的长度是小于 7 还是会大于 7?并完整说明你判断的理由. 第 8页(共 33页) 参考答案与试题解析 一、选择题 1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分 完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 【解答】解:A、是轴对称图形,故 A 符合题意; B、不是轴对称图形,故 B 不符合题意; C、不是轴对称图形,故 C 不符合题意; D、不是轴对称图形,故 D 不符合题意. 故选:A. 【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称 轴,图形两部分折叠后可重合. 2.如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时, 必须保证∠1 的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【考点】生活中的轴对称现象;平行线的性质. 【专题】压轴题. 【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,则∠2=60°,根据∠1、∠2 对 称,则能求出∠1 的度数. 【解答】解:要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中, 第 9页(共 33页) ∠2+∠3=90°, ∵∠3=30°, ∴∠2=60°, ∴∠1=60°. 故选:C. 【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想. 3.如图是经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比( ) A.形状没有改变,大小没有改变 B.形状没有改变,大小有改变 C.形状有改变,大小没有改变 D.形状有改变,大小有改变 【考点】轴对称的性质. 【分析】根据轴对称不改变图形的形状与大小解答. 【解答】解:∵轴对称变换不改变图形的形状与大小, ∴与原图形相比,形状没有改变,大小没有改变. 故选:A. 【点评】本题考虑轴对称的性质,是基础题,熟记轴对称变换不改变图形的形状 与大小是解题的关键. 4.正方形的对称轴的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】轴对称的性质. 【分析】根据正方形的对称性解答. 【解答】解:正方形有 4 条对称轴. 故选:D. 第 10页(共 33页) 【点评】本题考查了轴对称的性质,熟记正方形的对称性是解题的关键. 5.正三角形△ABC 的边长为 3,依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B1、C1,使 AA1=BB1=CC1=1,则△A1B1C1 的面积是( ) A. B. C. D. 【考点】等边三角形的判定与性质. 【专题】压轴题. 【分析】依题意画出图形,过点 A1 作 A1D∥BC,交 AC 于点 D,构造出边长为 1 的小正三角形△AA1D;由 AC1=2,AD=1,得点 D 为 AC1 中点,因此可求出 S△AA1C1=2S △AA1D= ;同理求出 S△CC1B1=S△BB1A1= ;最后由 S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1 ﹣S△BB1A1 求得结果. 【解答】解:依题意画出图形,如下图所示: 过点 A1 作 A1D∥BC,交 AC 于点 D,易知△AA1D 是边长为 1 的等边三角形. 又 AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2,AD=1, ∴点 D 为 AC1 的中点, ∴S△AA1C1=2S△AA1D=2× ×12= ; 同理可求得 S△CC1B1=S△BB1A1= , ∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1= ×32﹣3× = . 故选 B. 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质,难度不大.本题入口较宽,解题方 法多种多样,同学们可以尝试不同的解题方法. 第 11页(共 33页) 6.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10.若以点 C 为圆心,CB 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D,则 AC=( ) A.5 B. C. D.6 【考点】等边三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形;勾股定理. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】连结 CD,直角三角形斜边上的中线性质得到 CD=DA=DB,利用半径相 等得到 CD=CB=DB,可判断△CDB 为等边三角形,则∠B=60°,所以∠A=30°,然 后根据含 30 度的直角三角形三边的关系先计算出 BC,再计算 AC. 【解答】解:连结 CD,如图, ∵∠C=90°,D 为 AB 的中点, ∴CD=DA=DB, 而 CD=CB, ∴CD=CB=DB, ∴△CDB 为等边三角形, ∴∠B=60°, ∴∠A=30°, ∴BC= AB= ×10=5, ∴AC= BC=5 . 故选 C. 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质:三边都相等的三角形为等边三角 形;等边三角形的三个内角都等于 60°.也考查了直角三角形斜边上的中线性质 第 12页(共 33页) 以及含 30 度的直角三角形三边的关系. 7.观察下列图形,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项正确; B、不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、不是轴对称图形,故本选项错误. 故选 A. 【点评】本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形 两部分沿对称轴折叠后可重合. 8.剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,是轴对称图形的为( ) A. B. C. D. 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形, B、不是轴对称图形, C、不是轴对称图形, D、是轴对称图形, 故选:D. 【点评】本题考查了轴对称图形,轴对称图形的判断方法:把某个图象沿某条直 线折叠,如果图形的两部分能够重合,那么这个是轴对称图形. 第 13页(共 33页) 9.以下图形中对称轴的数量小于 3 的是( ) A. B. C. D. 【考点】轴对称图形. 【分析】根据对称轴的概念求解. 【解答】解:A、有 4 条对称轴; B、有 6 条对称轴; C、有 4 条对称轴; D、有 2 条对称轴. 故选 D. 【点评】本题考查了轴对称图形,解答本题的关键是掌握对称轴的概念:如果一 个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图 形,这条直线叫做对称轴. 10.下列图案中,轴对称图形是( ) A. B. C. D. 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误; B、不是轴对称图形,故此选项错误; C、不是轴对称图形,故此选项错误; D、是轴对称图形,故此选项正确; 故选;D. 【点评】本题考查了轴对称图形,图形两部分沿对称轴折叠后可重合,轴对称图 形的关键是寻找对称轴. 11.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中, 第 14页(共 33页) 是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误; B、不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、是轴对称图形,故本选项正确. 故选 D. 【点评】本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形 两部分沿对称轴折叠后可重合. 12.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面 4 个汉字中,可以看作是轴 对称图形的是( ) A. B. C. D. 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项正确; B、不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、不是轴对称图形,故本选项错误. 故选 A. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形 两部分沿对称轴折叠后可重合. 13.下列图案是轴对称图形的是( ) 第 15页(共 33页) A. B. C. D. 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解. 【解答】解:A、是轴对称图形, B、不是轴对称图形, C、不是轴对称图形, D、不是轴对称图形, 故选:A. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形 两部分折叠后可重合. 14.如图,直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】轴对称的性质. 【分析】根据轴对称的性质作出选择. 【解答】解:如图所示,直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在第一象限. 故选:A. 第 16页(共 33页) 【点评】本题考查了轴对称的性质.此题难度不大,采用了“数形结合”的数学思 想. 15.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形 ABCD,转动这个四 边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图 1,测得 AC=2,当∠B=60°时,如图 2, AC=( ) A. B.2 C. D.2 【考点】等边三角形的判定与性质;勾股定理的应用;正方形的性质. 【分析】图 1 中根据勾股定理即可求得正方形的边长,图 2 根据有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形即可求得. 【解答】解:如图 1, ∵AB=BC=CD=DA,∠B=90°, ∴四边形 ABCD 是正方形, 连接 AC,则 AB2+BC2=AC2, ∴AB=BC= = = , 如图 2,∠B=60°,连接 AC, ∴△ABC 为等边三角形, ∴AC=AB=BC= . 【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理以及等边三角形的判定和性质,利 用勾股定理得出正方形的边长是关键. 第 17页(共 33页) 16. P 是∠AOB 内一点,分别作点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2,连接 OP1、OP2,则下列结论正确的是( ) A.OP1⊥OP2 B.OP1=OP2 C.OP1⊥OP2 且 OP1=OP2D.OP1≠OP2 【考点】轴对称的性质. 【专题】压轴题. 【分析】作出图形,根据轴对称的性质求出 OP1、OP2 的数量与夹角即可得解. 【解答】解:如图,∵点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2, ∴OP1=OP2=OP, ∠AOP=∠AOP1,∠BOP=∠BOP2, ∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2, =2(∠AOP+∠BOP), =2∠AOB, ∵∠AOB 度数任意, ∴OP1⊥OP2 不一定成立. 故选:B. 【点评】本题考查了轴对称的性质,是基础题,熟练掌握性质是解题的关键,作 出图形更形象直观. 17.如图,点 P 是∠AOB 外的一点,点 M,N 分别是∠AOB 两边上的点,点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上,点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的 延长线上.若 PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段 QR 的长为( ) 第 18页(共 33页) A.4.5cm B.5.5cm C.6.5cm D.7cm 【考点】轴对称的性质. 【专题】几何图形问题. 【分析】利用轴对称图形的性质得出 PM=MQ,PN=NR,进而利用 MN=4cm,得 出 NQ 的长,即可得出 QR 的长. 【解答】解:∵点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上,点 P 关于 OB 的 对称点 R 落在 MN 的延长线上, ∴PM=MQ,PN=NR, ∵PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm, ∴RN=3cm,MQ=2.5cm, 即 NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5(cm), 则线段 QR 的长为:RN+NQ=3+1.5=4.5(cm). 故选:A. 【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质,得出 PM=MQ,PN=NR 是解题关键. 18.已知 AD∥BC,AB⊥AD,点 E,点 F 分别在射线 AD,射线 BC 上.若点 E 与 点 B 关于 AC 对称,点 E 与点 F 关于 BD 对称,AC 与 BD 相交于点 G,则( ) A.1+tan∠ADB= B.2BC=5CF 第 19页(共 33页) C.∠AEB+22°=∠DEF D.4cos∠AGB= 【考点】轴对称的性质;解直角三角形. 【专题】几何图形问题;压轴题. 【分析】连接 CE,设 EF 与 BD 相交于点 O,根据轴对称性可得 AB=AE,并设为 1, 利用勾股定理列式求出 BE,再根据翻折的性质可得 DE=BF=BE,再求出 BC=1,然 后对各选项分析判断利用排除法求解. 【解答】解:如图,连接 CE,设 EF 与 BD 相交于点 O, 由轴对称性得,AB=AE,设为 1, 则 BE= = , ∵点 E 与点 F 关于 BD 对称, ∴DE=BF=BE= , ∴AD=1+ , ∵AD∥BC,AB⊥AD,AB=AE, ∴四边形 ABCE 是正方形, ∴BC=AB=1, 1+tan∠ADB=1+ =1+ ﹣1= ,故 A 正确; CF=BF﹣BC= ﹣1, ∴2BC=2×1=2, 5CF=5( ﹣1), ∴2BC≠5CF,故 B 错误; ∠AEB+22°=45°+22°=67°, ∵BE=BF,∠EBF=∠AEB=45°, ∴∠BFE= =67.5°, ∴∠DEF=∠BFE=67.5°,故 C 错误; 由勾股定理得,OE2=BE2﹣BO2=( )2﹣( )2= , ∴OE= , ∵∠EBG+∠AGB=90°, ∠EBG+∠BEF=90°, 第 20页(共 33页) ∴∠AGB=∠BEF, 又∵∠BEF=∠DEF ∴cos∠AGB= = = ,4cos∠AGB=2 ,故 D 错误. 故选:A. 【点评】本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,等腰直角三角形的判定与性 质,正方形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,设出边长为 1 可使求解过程 更容易理解. 二、填空题 19.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种 衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图 1,衣架杆 OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图 2,则此时 A,B 两点之间的距 离是 18 cm. 【考点】等边三角形的判定与性质. 【专题】应用题. 【分析】根据有一个角是 60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可. 【解答】解:∵OA=OB,∠AOB=60°, ∴△AOB 是等边三角形, ∴AB=OA=OB=18cm, 第 21页(共 33页) 故答案为:18 【点评】此题考查等边三角形问题,关键是根据有一个角是 60°的等腰三角形的 等边三角形进行分析. 20.如图,有一个英语单词,四个字母都关于直线 l 对称,请在试卷上补全字母, 在答题卡上写出这个单词所指的物品 书 . 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的性质,组成图形,即可解答. 【解答】解:如图, 这个单词所指的物品是书. 故答案为:书. 【点评】本题考查了轴对称图形,解决本题的关键是根据轴对称的性质,作出图 形. 21.请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按所选做的第一题计分. A.一个正五边形的对称轴共有 5 条. B.用科学计算器计算: +3tan56°≈ 10.02 (结果精确到 0.01) 【考点】轴对称的性质;计算器—数的开方;计算器—三角函数. 【专题】常规题型;计算题. 【分析】A.过正五边形的五个顶点作对边的垂线,可得对称轴. B.先用计算器求出 、tan56°的值,再计算加减运算. 【解答】解:(A)如图, 正五边形的对称轴共有 5 条. 故答案为:5. (B) ≈5.5678,tan56°≈1.4826, 则 +3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02 故答案是:10.02. 第 22页(共 33页) 【点评】A 题考查了轴对称的性质,熟记正五边形的对称性是解题的关键.B 题 考查了计算器的使用,要注意此题是精确到 0.01. 22.如图,△ABC 是等边三角形,高 AD、BE 相交于点 H,BC=4 ,在 BE 上截 取 BG=2,以 GE 为边作等边三角形 GEF,则△ABH 与△GEF 重叠(阴影)部分的 面积为 . 【考点】等边三角形的判定与性质;三角形的重心;三角形中位线定理. 【专题】压轴题. 【分析】根据等边三角形的性质,可得 AD 的长,∠ABG=∠HBD=30°,根据等边 三角形的判定,可得△MEH 的形状,根据直角三角形的判定,可得△FIN 的形状, 根据面积的和差,可得答案. 【解答】解:如图所示: , 由△ABC 是等边三角形,高 AD、BE 相交于点 H,BC=4 ,得 AD=BE= BC=6,∠ABG=∠HBD=30°. 由直角三角的性质,得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°. 第 23页(共 33页) 由对顶角相等,得∠MHE=∠BHD=60° 由 BG=2,得 EG=BE﹣BG=6﹣2=4. 由 GE 为边作等边三角形 GEF,得 FG=EG=4,∠EGF=∠GEF=60°, △MHE 是等边三角形; S△ABC= AC•BE= AC×EH×3 EH= BE= ×6=2. 由三角形外角的性质,得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°, 由∠IBG=∠BIG=30°,得 IG=BG=2, 由线段的和差,得 IF=FG﹣IG=4﹣2=2, 由对顶角相等,得∠FIN=∠BIG=30°, 由∠FIN+∠F=90°,得∠FNI=90°, 由锐角三角函数,得 FN=1,IN= . S 五边形 NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN = ×42﹣ ×22﹣ × ×1= , 故答案为: . 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质,利用了等边三角形的判定与性质, 直角三角形的判定,利用图形的割补法是求面积的关键. 23.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 B、C、D、E 在同一直线上,且 CG=CD, DF=DE,则∠E= 15 度. 【考点】等边三角形的性质;三角形的外角性质;等腰三角形的性质. 【专题】几何图形问题. 【分析】根据等边三角形三个角相等,可知∠ACB=60°,根据等腰三角形底角相 等即可得出∠E 的度数. 第 24页(共 33页) 【解答】解:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ACB=60°,∠ACD=120°, ∵CG=CD, ∴∠CDG=30°,∠FDE=150°, ∵DF=DE, ∴∠E=15°. 故答案为:15. 【点评】本题考查了等边三角形的性质,互补两角和为 180°以及等腰三角形的性 质,难度适中. 24.如图,直线 a∥b,△ABC 是等边三角形,点 A 在直线 a 上,边 BC 在直线 b 上,把△ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到△A′B′C′(如图①);继续以上的平移 得到图②,再继续以上的平移得到图③,…;请问在第 100 个图形中等边三角形 的个数是 400 . 【考点】等边三角形的判定与性质;平移的性质. 【专题】规律型. 【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形,又观察图可得,第 n 个图形中大等 边三角形有 2n 个,小等边三角形有 2n 个,据此求出第 100 个图形中等边三角形 的个数. 【解答】解:如图① ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC=AC, ∵A′B′∥AB,BB′=B′C= BC, ∴B′O= AB,CO= AC, ∴△B′OC 是等边三角形,同理阴影的三角形都是等边三角形. 第 25页(共 33页) 又观察图可得,第 1 个图形中大等边三角形有 2 个,小等边三角形有 2 个, 第 2 个图形中大等边三角形有 4 个,小等边三角形有 4 个, 第 3 个图形中大等边三角形有 6 个,小等边三角形有 6 个,… 依次可得第 n 个图形中大等边三角形有 2n 个,小等边三角形有 2n 个. 故第 100 个图形中等边三角形的个数是:2×100+2×100=400. 故答案为:400. 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质,解题的关键是 据图找出规律. 25.如图,点 B1 是面积为 1 的等边△OBA 的两条中线的交点,以 OB1 为一边, 构造等边△OB1A1(点 O,B1,A1 按逆时针方向排列),称为第一次构造;点 B2 是△OB1A1 的两条中线的交点,再以 OB2 为一边,构造等边△OB2A2(点 O,B2, A2 按逆时针方向排列),称为第二次构造;以此类推,当第 n 次构造出的等边△ OBnAn 的边 OAn 与等边△OBA 的边 OB 第一次重合时,构造停止.则构造出的最 后一个三角形的面积是 . 【考点】等边三角形的性质. 【专题】压轴题;规律型. 【分析】由于点 B1 是△OBA 两条中线的交点,则点 B1 是△OBA 的重心,而△OBA 第 26页(共 33页) 是等边三角形,所以点 B1 也是△OBA 的内心,∠BOB1=30°,∠A1OB=90°,由于 每构造一次三角形,OBi 边与 OB 边的夹角增加 30°,所以还需要(360﹣90)÷ 30=9,即一共 1+9=10 次构造后等边△OBnAn 的边 OAn 与等边△OBA 的边 OB 第一 次重合;又因为任意两个等边三角形都相似,根据相似三角形的面积比等于相似 比的平方,由△OB1A1 与△OBA 的面积比为 ,求得构造出的最后一个三角形的 面积. 【解答】方法一: 解:∵点 B1 是面积为 1 的等边△OBA 的两条中线的交点, ∴点 B1 是△OBA 的重心,也是内心, ∴∠BOB1=30°, ∵△OB1A1 是等边三角形, ∴∠A1OB=60°+30°=90°, ∵每构造一次三角形,OBi 边与 OB 边的夹角增加 30°, ∴还需要(360﹣90)÷30=9,即一共 1+9=10 次构造后等边△OBnAn 的边 OAn 与 等边△OBA 的边 OB 第一次重合, ∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10. 如图,过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M, ∵cos∠B1OM=cos30°= = , ∴ = = = ,即 = , ∴ =( )2= ,即 S△OB1A1= S△OBA= , 同理,可得 =( )2= ,即 S△OB2A2= S△OB1A1=( )2= , …, ∴S△OB10A10= S△OB9A9=( )10= ,即构造出的最后一个三角形的面积是 . 故答案为 . 第 27页(共 33页) 方法二: ∵∠AOA1=30°,∠A1OA2=30°,∠AOB=60°, ∴每构造一次增加 30°, ∴n= =10, ∵△OBA∽△OB1A1, ∴ ⇒ , ∵S△OBA=1, ∴S△OB1A1= ,q= , ∴S△OB10A10= . 【点评】本题考查了等边三角形的性质,三角函数的定义,相似三角形的判定与 性质等知识,有一定难度.根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△ OB10A10 及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,得出△OB1A1 与△OBA 的 面积比为 ,进而总结出规律是解题的关键. 26.已知等边三角形 ABC 的边长是 2,以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形, 得到第一个等边三角形 AB1C1,再以等边三角形 AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边 作等边三角形,得到第二个等边三角形 AB2C2,再以等边三角形 AB2C2 的边 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形,得到第三个等边 AB3C3;…,如此下去,这样 得到的第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 ( )n . 第 28页(共 33页) 【考点】等边三角形的性质. 【专题】压轴题;规律型. 【分析】由 AB1 为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高,利用三线合一得到 B1 为 BC 的中点,求出 BB1 的长,利用勾股定理求出 AB1 的长,进而求出第一个等边三角 形 AB1C1 的面积,同理求出第二个等边三角形 AB2C2 的面积,依此类推,得到第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积. 【解答】解:∵等边三角形 ABC 的边长为 2,AB1⊥BC, ∴BB1=1,AB=2, 根据勾股定理得:AB1= , ∴第一个等边三角形 AB1C1 的面积为 ×( )2= ( )1; ∵等边三角形 AB1C1 的边长为 ,AB2⊥B1C1, ∴B1B2= ,AB1= , 根据勾股定理得:AB2= , ∴第二个等边三角形 AB2C2 的面积为 ×( )2= ( )2; 依此类推,第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 ( )n. 故答案为: ( )n. 【点评】此题考查了等边三角形的性质,属于规律型试题,熟练掌握等边三角形 的性质是解本题的关键. 27.如图,在平面直角坐标系中,点 O 是原点,点 B(0, ),点 A 在第一象 限且 AB⊥BO,点 E 是线段 AO 的中点,点 M 在线段 AB 上.若点 B 和点 E 关于 直线 OM 对称,则点 M 的坐标是( 1 , ). 第 29页(共 33页) 【考点】轴对称的性质;坐标与图形性质;解直角三角形. 【专题】压轴题. 【分析】根据点 B 的坐标求出 OB 的长,再连接 ME,根据轴对称的性质可得 OB=OE,再求出 AO 的长度,然后利用勾股定理列式求出 AB 的长,利用∠A 的余 弦值列式求出 AM 的长度,再求出 BM 的长,然后写出点 M 的坐标即可. 【解答】解:∵点 B(0, ), ∴OB= , 连接 ME, ∵点 B 和点 E 关于直线 OM 对称, ∴OB=OE= , ∵点 E 是线段 AO 的中点, ∴AO=2OE=2 , 根据勾股定理,AB= = =3, cosA= = , 即 = , 解得 AM=2, ∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1, ∴点 M 的坐标是(1, ). 故答案为:(1, ). 第 30页(共 33页) 【点评】本题考查了轴对称的性质,坐标与图形性质,解直角三角形,熟练掌握 轴对称的性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键. 28.已知等边三角形 ABC 的高为 4,在这个三角形所在的平面内有一点 P,若点 P 到 AB 的距离是 1,点 P 到 AC 的距离是 2,则点 P 到 BC 的最小距离和最大距 离分别是 1,7 . 【考点】等边三角形的性质;平行线之间的距离. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】根据题意画出相应的图形,直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1,直 线 NG 与直线 ME 都与 AC 的距离为 2,当 P 与 N 重合时,HN 为 P 到 BC 的最小 距离;当 P 与 M 重合时,MQ 为 P 到 BC 的最大距离,根据题意得到△NFG 与△ MDE 都为等边三角形,利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出 DB 与 FB 的长,以及 CG 与 CE 的长,进而由 DB+BC+CE 求出 DE 的长,由 BC﹣BF﹣CG 求出 FG 的长,求出等边三角形 NFG 与等边三角形 MDE 的高,即可确定出点 P 到 BC 的最小距离和最大距离. 【解答】解:根据题意画出相应的图形,直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1, 直线 NG 与直线 ME 都与 AC 的距离为 2, 当 P 与 N 重合时,HN 为 P 到 BC 的最小距离;当 P 与 M 重合时,MQ 为 P 到 BC 的最大距离, 根据题意得到△NFG 与△MDE 都为等边三角形, ∴DB=FB= = ,CE=CG= = , ∴DE=DB+BC+CE= + + = ,FG=BC﹣BF﹣CG= , ∴NH= FG=1,MQ= DE=7, 则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1,7. 故答案为:1,7. 第 31页(共 33页) 【点评】此题考查了等边三角形的性质,以及平行线间的距离,作出相应的图形 是解本题的关键. 三、解答题 29.如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 DE∥AB,过 点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F. (1)求∠F 的度数; (2)若 CD=2,求 DF 的长. 【考点】等边三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形. 【专题】几何图形问题. 【分析】(1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°,根据三角形内角和定理即 可求解; (2)易证△EDC 是等边三角形,再根据直角三角形的性质即可求解. 【解答】解:(1)∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=60°, ∵DE∥AB, ∴∠EDC=∠B=60°, ∵EF⊥DE, ∴∠DEF=90°, ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°; (2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°, 第 32页(共 33页) ∴△EDC 是等边三角形. ∴ED=DC=2, ∵∠DEF=90°,∠F=30°, ∴DF=2DE=4. 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质,以及直角三角形的性质,30 度 的锐角所对的直角边等于斜边的一半. 30.如图,O 为△ABC 内部一点,OB=3 ,P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC 为对称轴的对称点. (1)请指出当∠ABC 在什么角度时,会使得 PR 的长度等于 7?并完整说明 PR 的长度为何在此时会等于 7 的理由. (2)承(1)小题,请判断当∠ABC 不是你指出的角度时,PR 的长度是小于 7 还是会大于 7?并完整说明你判断的理由. 【考点】轴对称的性质;三角形三边关系. 【分析】(1)连接 PB、RB,根据轴对称的性质可得 PB=OB,RB=OB,然后判断 出点 P、B、R 三点共线时 PR=7,再根据平角的定义求解; (2)根据三角形的任意两边之和大于第三边解答. 【解答】解:(1)如图,∠ABC=90°时,PR=7. 证明如下:连接 PB、RB, ∵P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC 为对称轴的对称点, ∴PB=OB=3 ,RB=OB=3 , ∵∠ABC=90°, ∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°, ∴点 P、B、R 三点共线, 第 33页(共 33页) ∴PR=2×3 =7; (2)PR 的长度是小于 7, 理由如下:∠ABC≠90°, 则点 P、B、R 三点不在同一直线上, ∴PB+BR>PR, ∵PB+BR=2OB=2×3 =7, ∴PR<7. 【点评】本题考查了轴对称的性质,三角形的任意两边之和大于第三边的性质, 熟记各性质是解题的关键.
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