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【同步作业】人教版 八年级下册数学18菱形的判定
第 1 页 共 20 页 18.2.2 菱形 第 2 课时 菱形的判定 一、选择题(共 10小题) 1、在平面直角坐标系中,已知点 A(0,2),B(﹣2 ,0),C(0,﹣2),D(2 ,0), 则以这四个点为顶点的四边形 ABCD是( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 2、用两个全等的等边三角形,可以拼成下列哪种图形( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形 3、如图,下列条件之一能使平行四边形 ABCD是菱形的为( ) ①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD. A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③ 4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠 好的红丝带别在胸前,如图所示.红丝带重叠部分形成的图形是( ) A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 5、(在同一平面内,用两个边长为 a的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形 是( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 6、用两个边长为 a的等边三角形纸片拼成的四边形是( ) A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形 7、汶川地震后,吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”,号召市民为四川受 灾的人们祈福.人们将绿丝带剪成小段,并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前,如图所示, 绿丝带重叠部分形成的图形是( ) A、正方形 B、等腰梯形 第 2 页 共 20 页 C、菱形 D、矩形 8、能判定一个四边形是菱形的条件是( ) A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 9、四边形的四边长顺次为 a、b、c、d,且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,则此四边形一定是( ) A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 二、填空题(共 8小题) 11、(如图,四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 _________ (只填一个你认为正确的即可). 12、如图,如果要使平行四边形 ABCD 成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的 条件是 _________ . 13、(如图,平行四边形 ABCD 中,AF、CE分别是∠BAD 和∠BCD的角平分线,根据现 有的图形,请添加一个条件,使四边形 AECF 为菱形,则添加的一个条件可以是 _________ .(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”) 14、在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD交于点 O,从(1)AB=CD;(2)AB∥CD;(3) OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC⊥BD;(6)AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出 四边形 ABCD是菱形.如(1)(2)(5)=>ABCD是菱形,再写出符合要求的两个: _________ =>ABCD是菱形; _________ =>ABCD是菱形. 15、若四边形 ABCD 是平行四边形,请补充条件 _________ (写一个即可),使四边形 ABCD是菱形. 16、在四边形 ABCD中,给出四个条件:①AB=CD,②AD∥BC,③AC⊥BD,④AC平分 ∠BAD , 由 其 中 三 个 条 件 推 出 四 边 形 ABCD 是 菱 形 , 你 认 为 这 三 个 条 件 是 _________ .(写四个条件的不给分,只填序号) 17、要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 _________ 形,再说明 _________ (只需填写一种方法) 18、如图,四边形 ABCD是平行四边形,AC、BD相交于点 O,不添加任何字母和辅助线, 要使四边形ABCD是菱形,则还需添加一个条件是 _________ (只需填写一个条件即可). 第 3 页 共 20 页 三、解答题(共 11小题) 19、(如图,在△ABC中,AB=AC,D是 BC的中点,连接 AD,在 AD的延长线上取一点 E,连接 BE, CE. (1)求证:△ABE≌△ACE; (2)当 AE与 AD满足什么数量关系时,四边形 ABEC是菱形?并说明理由. 20、如图,在▱ ABCD中,E,F分别为边 AB,CD的中点,连接 DE、BF、BD. (1)求证:△ADE≌△CBF. (2)若 AD⊥BD,则四边形 BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论. 21、如图,已知点 D在△ABC的 BC边上,DE∥AC交 AB于 E,DF∥AB交 AC于 F. (1)求证:AE=DF; (2)若 AD平分∠BAC,试判断四边形 AEDF的形状,并说明理由. 22、已知:如图,在梯形 ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为 AB中点,求证: 四边形 BCDE是菱形. 23、如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与 DB交于点M. (1)求证:△ABC≌△DCB; (2)过点 C作 CN∥BD,过点 B作 BN∥AC,CN与 BN交于点 N,试判断线段 BN与 CN 的数量关系,并证明你的结论. 第 4 页 共 20 页 24、如图,△ABC 中,AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D,交 AC 于点 O,CE∥AB 交 MN于 E,连接 AE、CD. (1)求证:AD=CE; (2)填空:四边形 ADCE的形状是 _________ . 25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形,点 E、F分别在 AC、BC上,且 EF∥AB (1)求证:四边形 EFCD是菱形; (2)设 CD=4,求 D、F两点间的距离. 26、如图,在梯形纸片 ABCD 中,AD∥BC,AD>CD,将纸片沿过点 D 的直线折叠,使 点 C落在 AD上的点 C处,折痕 DE交 BC于点 E,连接 C′E. 求证:四边形 CDC′E是菱形. 27、已知:如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC的垂直平分线与边 AD、BC分别相交于 点 E、F. 求证:四边形 AFCE是菱形. 28、如图,等边△ABC的边长为 2,E 是边 BC上的动点,EF∥AC交边 AB于点 F,在边 第 5 页 共 20 页 AC上取一点 P,使 PE=EB,连接 FP. (1)请直接写出图中与线段 EF相等的两条线段;(不再另外添加辅助线) (2)探究:当点 E在什么位置时,四边形 EFPC是平行四边形?并判断四边形 EFPC是什 么特殊的平行四边形,请说明理由; (3)在(2)的条件下,以点 E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与平行四边形 EFPC 四条 边交点的总个数,求相应的 r的取值范围. 29、如图,已知△ABC 的面积为 3,且 AB=AC,现将△ABC沿 CA方向平移 CA长度得到 △EFA. (1)求△ABC所扫过的图形的面积; (2)试判断 AF与 BE的位置关系,并说明理由; (3)若∠BEC=15°,求 AC的长. 第 6 页 共 20 页 答案与评分标准 一、选择题(共 10小题) 1、在平面直角坐标系中,已知点 A(0,2),B(﹣2 ,0),C(0,﹣2),D(2 ,0), 则以这四个点为顶点的四边形 ABCD是( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 考点:坐标与图形性质;菱形的判定。 分析:画出草图,求得各边的长,再根据特殊四边形的判定方法判断. 解答:解:在平面直角坐标系中画出图后,可发现这个四边形的对角线互相平分,先判断为 平行四边形,对角线还垂直,那么这样的平行四边形应是菱形. 故选 B. 点评:动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点. 2、用两个全等的等边三角形,可以拼成下列哪种图形( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形 考点:等边三角形的性质;菱形的判定。 专题:操作型。 分析:由题可知,得到的四边形的四条边也相等,得到的图形是菱形. 解答:解:由于两个等边三角形的边长都相等,则得到的四边形的四条边也相等, 即是菱形. 故选 B. 点评:本题利用了菱形的概念:四边相等的四边形是菱形. 3、(如图,下列条件之一能使平行四边形 ABCD是菱形的为( ) ①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD. A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③ 考点:菱形的判定;平行四边形的性质。 专题:计算题。 分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等; ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 解答:解:根据菱形的判定:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平行 四边形是菱形可知:①,③正确. 故选 A. 点评:本题考查菱形的判定,即对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平 行四边形是菱形. 4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠 好的红丝带别在胸前,如图所示.红丝带重叠部分形成的图形是( ) 第 7 页 共 20 页 A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 考点:菱形的判定。 专题:应用题。 分析:首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条彩带宽度相同;再由平行四边形的面积可 得邻边相等,则重叠部分为菱形. 解答:解:过点 A作 AE⊥BC于 E,AF⊥CD于 F,因为两条彩带宽度相同, 所以 AB∥CD,AD∥BC,AE=AF. ∴四边形 ABCD是平行四边形. ∵S▱ ABCD=BC•AE=CD•AF.又 AE=AF. ∴BC=CD, ∴四边形 ABCD是菱形. 故选 C. 点评:本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形 是菱形. 5、在同一平面内,用两个边长为 a的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形 是( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 考点:菱形的判定;等边三角形的性质。 专题:操作型。 分析:用两个边长为 a的等边三角形拼成的四边形,它的四条边长都为 a,根据菱形的定义 四边相等的四边形是菱形. 解答:解:根据题意得,拼成的四边形四边相等, 则是菱形. 故选 B. 点评:此题主要考查了等边三角形的性质,菱形的定义. 6、用两个边长为 a的等边三角形纸片拼成的四边形是( ) A、等腰梯形 B、正方形 C、矩形 D、菱形 考点:菱形的判定;等边三角形的性质。 分析:由于两个等边三角形的边长都相等,则得到的四边形的四条边也相等,即是菱形. 解答:解:由题意可得:得到的四边形的四条边相等,即是菱形. 故选 D. 点评:本题利用了菱形的概念:四边相等的四边形是菱形. 第 8 页 共 20 页 7、汶川地震后,吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”,号召市民为四川受 灾的人们祈福.人们将绿丝带剪成小段,并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前,如图所示, 绿丝带重叠部分形成的图形是( ) A、正方形 B、等腰梯形 C、菱形 D、矩形 考点:菱形的判定。 专题:应用题。 分析:首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条丝带宽度相同;再由平行四边形的面积可 得邻边相等,则重叠部分为菱形. 解答:解:过点 A作 AE⊥BC于 E,AF⊥CD于 F,因为两条彩带宽度相同, 所以 AB∥CD,AD∥BC,AE=AF. ∴四边形 ABCD是平行四边形. ∵S▱ ABCD=BC•AE=CD•AF.又 AE=AF. ∴BC=CD, ∴四边形 ABCD是菱形. 故选 C. 点评:本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形 是菱形. 8、能判定一个四边形是菱形的条件是( ) A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 考点:菱形的判定。 分析:根据菱形的判定方法:对角线互相垂直平分来判断即可. 解答:解:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形; ②四边相等; ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.只有 D能判定为是菱形, 故选 D. 点评:本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定. 9、四边形的四边长顺次为 a、b、c、d,且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,则此四边形一定是( ) A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 考点:菱形的判定;非负数的性质:偶次方。 分析:本题可通过整理配方式子 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣ d)2+(a﹣d)2=0,从而得出 a=b=c=d,∴四边形一定是菱形. 解答:解:整理配方式子 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad, 2(a2+b2+c2+d2)=2(ab+bc+cd+ad),) 第 9 页 共 20 页 ∴(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣d)2+(a﹣d)2=0, 由非负数的性质可知:(a﹣b)=0,(b﹣c)=0,(c﹣d)=0,(a﹣d)=0, ∴a=b=c=d, ∴四边形一定是菱形, 故选 C. 点评:此题主要考查了菱形的判定,关键是整理配方式子,还利用了非负数的性质. 二、填空题(共 8小题) 11、四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 AC⊥BD或 AB=BC或 BC=CD或 AB=AD (只填一个你认为正确的即可). 考点:菱形的判定。 专题:开放型。 分析:根据平行四边形的性质和菱形的性质,可添加:AC⊥BD 或 AB=BC,或 BC=CD, 或 CD=DA,或 AB=AD. 解答:解:四边形 ABCD的对角线互相平分,则四边形 ABCD为平行四边形, 再依据:一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形, 可添加:AC⊥BD或 AB=BC,或 BC=CD,或 CD=DA,或 AB=AD(答案不唯一) 点评:本题考查平行四边形及菱形的判定.菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等 的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 12、如图,如果要使平行四边形 ABCD 成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的 条件是 AB=AD或 AC⊥BD . 考点:菱形的判定;平行四边形的性质。 专题:开放型。 分析:菱形的判定方法有三种: ①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形; ②四边相等; ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ∴可添加:AB=AD或 AC⊥BD. 解答:解:因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,对角线互相垂直平分的四边形是菱形, 那么可添加的条件是:AB=AD或 AC⊥BD. 点评:本题考查菱形的判定,答案不唯一. 13、如图,平行四边形 ABCD中,AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线,根据现有 的图形,请添加一个条件,使四边形 AECF为菱形,则添加的一个条件可以是 AC⊥EF或 AF=CF等 .(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”) 第 10 页 共 20 页 考点:菱形的判定;平行四边形的性质。 专题:开放型。 分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等; ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据平行四边形的判定可得四边形 AECF是平行四 边形,由平行四边形的性质知,对角线互相平分,又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形, 可得:当 AC⊥EF时,四边形 AECF是菱形. 解答:解:则添加的一个条件可以是:AC⊥EF. 证明:∵AD∥BC, ∴∠FAD=∠AFB, ∵AF是∠BAD的平分线, ∴∠BAF=FAD, ∴∠BAF=∠AFB, ∴AB=BF, 同理 ED=CD, ∵AD=BC,AB=CD, ∴AE=CF, 又∵AE∥CF ∴四边形 AECF 是平行四边形, ∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形, 则添加的一个条件可以是:AC⊥EF. 点评:本题考查了菱形的判定,利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解,答案不唯 一. 14、在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD交于点 O,从(1)AB=CD;(2)AB∥CD;(3) OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC⊥BD;(6)AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出 四边形 ABCD是菱形.如(1)(2)(5)=>ABCD是菱形,再写出符合要求的两个: (1) (2)(6) =>ABCD是菱形; (3)(4)(5)@(3)(4)(6) =>ABCD是菱形. 考点:菱形的判定。 专题:开放型。 分析:菱形的判定方法有三种: ①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形; ②四边相等; ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 解答:解:(1)(2)(6)⇒ABCD是菱形. 先由(1)(2)得出四边形是平行四边形, 再由(6)和(2)得出∠DAC=∠DCA, 由等角对等边得 AD=CD, 所以平行四边形是菱形. (3)(4)(5)=>ABCD是菱形. 第 11 页 共 20 页 由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形. (3)(4)(6)=>ABCD是菱形. 由(3)(4)得出四边形是平行四边形, 再由(6)得出∠DAC=∠DCA, 由等角对等边得 AD=CD, 所以平行四边形是菱形. 点评:本题考查菱形的判定. 15、若四边形 ABCD是平行四边形,请补充条件 AB=BC@AC⊥BD (写一个即可),使 四边形 ABCD是菱形. 考点:菱形的判定;平行四边形的性质。 专题:开放型。 分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等; ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.据此判断即可. 解答:解:因为一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直平分的四边形是菱形.可 补充条件:AB=BC或 AC⊥BD. 点评:主要考查了菱形的特性.菱形的特性:菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直 平分,且每一条对角线平分一组对角. 16、在四边形 ABCD中,给出四个条件:①AB=CD,②AD∥BC,③AC⊥BD,④AC平分 ∠BAD,由其中三个条件推出四边形 ABCD 是菱形,你认为这三个条件是 ①③④或 ②③④ .(写四个条件的不给分,只填序号) 考点:菱形的判定;全等三角形的判定与性质。 分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等; ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.据此判断即可. 解答:解:设 AC 与 BD 交于点 E,由③AC⊥BD,④AC 平分∠BAD 可证得, Rt△AEB≌Rt△AED, ∴AB=AD,BE=DE, 再由∠BEC=∠DEC=90°,CE=CE,证得 Rt△BCE≌Rt△DCE, ∴BC=CD, 再由①AB=CD,可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形; 或者再由②AD∥BC,证得:Rt△AED≌Rt△BCE, ∴AE=EC, 由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形. 故填写①③④或②③④. 点评:本题考查了菱形的判定,利用全等三角形的判定和性质来证明. 17、要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 平行四边 形,再说明 有一组 邻边相等 (只需填写一种方法) 考点:菱形的判定。 专题:开放型。 分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等; ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.所以,要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个 四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等. 解答:解:因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,所以,要说明一个四边形是菱形,可以 先说明这个四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等. 第 12 页 共 20 页 点评:本题考查菱形的判定,答案不唯一. 18、如图,四边形 ABCD是平行四边形,AC、BD相交于点 O,不添加任何字母和辅助线, 要使四边形 ABCD是菱形,则还需添加一个条件是 AB=BC(答案不唯一) (只需填写 一个条件即可). 考点:菱形的判定;平行四边形的性质。 专题:开放型。 分析:菱形的判定方法有三种: ①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形; ②四边相等; ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 所以可添加 AB=BC. 解答:解:AB=BC或 AC⊥BD等. 点评:本题考查了菱形的判定,答案不唯一. 三、解答题(共 11小题) 19、如图,在△ABC中,AB=AC,D是 BC的中点,连接 AD,在 AD的延长线上取一点 E, 连接 BE, CE. (1)求证:△ABE≌△ACE; (2)当 AE与 AD满足什么数量关系时,四边形 ABEC是菱形?并说明理由. 考点:全等三角形的判定;菱形的判定。 专题:证明题。 分析:由题意可知三角形三线合一,结合 SAS 可得△ABE≌△ACE.四边形 ABEC相邻两 边 AB=AC,只需要证明四边形 ABEC 是平行四边形的条件,当 AE=2AD(或 AD=DE 或 DE= AE)时,根据对角线互相平分,可得四边形是平行四边形. 解答:(1)证明:∵AB=AC,点 D为 BC的中点, ∴∠BAE=∠CAE, ∵AE=AE ∴△ABE≌△ACE(SAS). (2)解:当 AE=2AD(或 AD=DE或 DE= AE)时,四边形 ABEC是菱形 理由如下: ∵AE=2AD,∴AD=DE, 第 13 页 共 20 页 又∵点 D为 BC中点, ∴BD=CD, ∴四边形 ABEC 为平行四边形, ∵AB=AC, ∴四边形 ABEC 为菱形. 点评:本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理,比较容易. 20、如图,在▱ ABCD中,E,F分别为边 AB,CD的中点,连接 DE、BF、BD. (1)求证:△ADE≌△CBF. (2)若 AD⊥BD,则四边形 BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论. 考点:全等三角形的判定;平行四边形的性质;菱形的判定。 专题:证明题;探究型。 分析:(1)根据题中已知条件不难得出,AD=BC,∠A=∠C,E、F分别为边 AB、CD的中 点,那么 AE=CF,这样就具备了全等三角形判定中的 SAS,由此可得出△AED≌△CFB. (2)直角三角形 ADB中,DE是斜边上的中线,因此 DE=BE,又由 DE=BF,FD∥BE 那 么可得出四边形 BFDE是个菱形. 解答:(1)证明:在平行四边形 ABCD中,∠A=∠C,AD=BC, ∵E、F分别为 AB、CD的中点, ∴AE=CF. 在△AED和△CFB中, ∴△AED≌△CFB(SAS); (2)解:若 AD⊥BD,则四边形 BFDE是菱形. 证明:∵AD⊥BD, ∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°. ∵E是 AB的中点, ∴DE= AB=BE. 由题意可知 EB∥DF且 EB=DF, ∴四边形 BFDE是平行四边形. ∴四边形 BFDE是菱形. 点评:本题主要考查了全等三角形的判定,平行四边形的性质和菱形的判定等知识点. 21、如图,已知点 D在△ABC的 BC边上,DE∥AC交 AB于 E,DF∥AB交 AC于 F. (1)求证:AE=DF; (2)若 AD平分∠BAC,试判断四边形 AEDF的形状,并说明理由. 第 14 页 共 20 页 考点:全等三角形的判定与性质;菱形的判定。 专题:证明题。 分析:(1)利用 AAS推出△ADE≌△DAF,再根据全等三角形的对应边相等得出 AE=DF; (2)先根据已知中的两组平行线,可证四边形 DEFA是▱ ,再利用 AD是角平分线,结合 AE∥DF,易证∠DAF=∠FDA,利用等角对等边,可得 AF=DF,从而可证▱ AEDF 实菱形. 解答:证明:(1)∵DE∥AC,∠ADE=∠DAF, 同理∠DAE=∠FDA, ∵AD=DA, ∴△ADE≌△DAF, ∴AE=DF; (2)若 AD平分∠BAC,四边形 AEDF 是菱形, ∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形 AEDF 是平行四边形, ∴∠DAF=∠FDA. ∴AF=DF. ∴平行四边形 AEDF 为菱形. 点评:考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况. 22、已知:如图,在梯形 ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为 AB中点,求证: 四边形 BCDE是菱形. 考点:菱形的判定。 专题:证明题。 分析:由题意易得 DE=BE,再证四边形 BCDE是平行四边形,即证四边形 BCDE是菱形. 解答:证明:∵AD⊥BD, ∴△ABD是 Rt△ ∵E是 AB的中点, ∴BE= AB,DE= AB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半), ∴BE=DE, ∴∠EDB=∠EBD, ∵CB=CD, ∴∠CDB=∠CBD, ∵AB∥CD, 第 15 页 共 20 页 ∴∠EBD=∠CDB, ∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD, ∵BD=BD, ∴△EBD≌△CBD (ASA ), ∴BE=BC, ∴CB=CD=BE=DE, ∴菱形 BCDE.(四边相等的四边形是菱形) 点评:此题主要考查菱形的判定,综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质. 23、如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与 DB交于点M. (1)求证:△ABC≌△DCB; (2)过点 C作 CN∥BD,过点 B作 BN∥AC,CN与 BN交于点 N,试判断线段 BN与 CN 的数量关系,并证明你的结论. 考点:菱形的判定;全等三角形的判定。 专题:证明题;探究型。 分析:(1)由 SSS可证△ABC≌△DCB; (2)BN=CN,可先证明四边形 BMCN是平行四边形,由(1)知,∠MBC=∠MCB,可得 BM=CM,于是就有四边形 BMCN是菱形,则 BN=CN. 解答:(1)证明:如图,在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,AC=DB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB;(4分) (2)解:据已知有 BN=CN.证明如下: ∵CN∥BD,BN∥AC, ∴四边形 BMCN是平行四边形,(6分) 由(1)知,∠MBC=∠MCB, ∴BM=CM(等角对等边), ∴四边形 BMCN是菱形, ∴BN=CN.(9分) 点评:此题主要考查全等三角形和菱形的判定. 24、如图,△ABC 中,AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D,交 AC 于点 O,CE∥AB 交 MN于 E,连接 AE、CD. (1)求证:AD=CE; (2)填空:四边形 ADCE的形状是 . 第 16 页 共 20 页 考点:菱形的判定;线段垂直平分线的性质。 专题:证明题。 分析:根据中垂线的性质:中垂线上的点线段两个端点的距离相等,∴AE=CE,AD=CD, OA=OC∠AOD=∠EOC=90°, ∵CE∥AB, ∴∠DAO=∠ECO,∴△ADO≌△CEO,∴AD=CE,OD=OE, 由一组对边平行且相等知,四边形 ADCE是平行四边形, ∵OD=OE,OA=OC∠AOD=90°根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得.平行四边形 ADCE是菱形. 解答:(1)证明:∵MN是 AC的垂直平分线,(1分) ∴OA=OC∠AOD=∠EOC=90°.(3分) ∵CE∥AB, ∴∠DAO=∠ECO.(4分) ∴△ADO≌△CEO.(5分) ∴AD=CE.(6分) (2)解:四边形 ADCE是菱形.(8分) (填写平行四边形给 1分) 点评:本题利用了:1、中垂线的性质,2、全等三角形的判定和性质,平行四边形和菱形的 判定. 25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形,点 E、F分别在 AC、BC上,且 EF∥AB (1)求证:四边形 EFCD是菱形; (2)设 CD=4,求 D、F两点间的距离. 考点:菱形的判定;等边三角形的性质;勾股定理。 专题:计算题;证明题。 分析:(1)根据菱形的判定定理,一组邻边相等的平行四边形是菱形,由△ABC与△CDE 都是等边三角形,可得出角之间的等量关系,从而证明四边形 EFCD是菱形; (2)连接 DF,与 CE 相交于点 G,由(1)知 DF 就是菱形 EFCD 的一条对角线,根据菱 形的性质及 30°特殊角的值可计算出结果. 解答:(1)证明:∵△ABC与△CDE都是等边三角形, 第 17 页 共 20 页 ∴ED=CD. ∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°.(1分) ∴AB∥CD,DE∥CF.(2分) 又∵EF∥AB, ∴EF∥CD,(3分) ∴四边形 EFCD是菱形.(4分) (2)解:连接 DF,与 CE相交于点 G,(5分) 由 CD=4,可知 CG=2,(6分) ∴ ,(7分) ∴ .(8分) 点评:菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义,②四 边相等,③对角线互相垂直平分. 26、如图,在梯形纸片 ABCD 中,AD∥BC,AD>CD,将纸片沿过点 D 的直线折叠,使 点 C落在 AD上的点 C处,折痕 DE交 BC于点 E,连接 C′E. 求证:四边形 CDC′E是菱形. 考点:菱形的判定。 专题:证明题。 分析:根据题意可知△CDE≌△C′DE,则 CD=C′D,CE=C′E,要证四边形 CDC′E为菱形, 证明 CD=CE即可. 解答:证明:根据题意可知△CDE≌△C′DE, 则 CD=C′D,∠C′DE=∠CDE,CE=C′E, ∵AD∥BC,∴∠C′DE=∠CED, ∴∠CDE=∠CED,∴CD=CE, ∴CD=C′D=C′E=CE, ∴四边形 CDC′E为菱形. 点评:本题利用了:1、全等三角形的性质;2、两直线平行,内错角相等;3、等边对等角; 4、菱形的判定. 27、已知:如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC的垂直平分线与边 AD、BC分别相交于 点 E、F. 求证:四边形 AFCE是菱形. 考点:菱形的判定。 专题:证明题。 分析:菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法: 第 18 页 共 20 页 ①定义; ②四边相等; ③对角线互相垂直平分.具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定. 解答:证明:方法一:∵AE∥FC. ∴∠EAC=∠FCA.(2分) 又∵∠AOE=∠COF,AO=CO, ∴△AOE≌△COF.(5分) ∴EO=FO. 又 EF⊥AC, ∴AC是 EF的垂直平分线.(8分) ∴AF=AE,CF=CE, 又∵EA=EC, ∴AF=AE=CE=CF. ∴四边形 AFCE为菱形;(10分) 方法二:同方法一,证得△AOE≌△COF.(5分) ∴AE=CF. ∴四边形 AFCE是平行四边形.(8分) 又∵EF是 AC的垂直平分线, ∴EA=EC, ∴四边形 AFCE是菱形;(10分) 方法三:同方法二,证得四边形 AFCE是平行四边形.(8分) 又 EF⊥AC,(9分) ∴四边形 AFCE为菱形. 点评:本题利用了中垂线的性质,全等三角形的判定和性质,有一组邻边相等的平行四边形 是菱形. 28、如图,等边△ABC的边长为 2,E 是边 BC上的动点,EF∥AC交边 AB于点 F,在边 AC上取一点 P,使 PE=EB,连接 FP. (1)请直接写出图中与线段 EF相等的两条线段;(不再另外添加辅助线) (2)探究:当点 E在什么位置时,四边形 EFPC是平行四边形?并判断四边形 EFPC是什 么特殊的平行四边形,请说明理由; (3)在(2)的条件下,以点 E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与平行四边形 EFPC 四条 边交点的总个数,求相应的 r的取值范围. 考点:点与圆的位置关系;等边三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定。 专题:探究型。 分析:(1)由平行易得△BFE是等边三角形,那么各边是相等的; (2)当点 E是 BC的中点时,△PEC为等边三角形,可得到 PC=EC=BE=EF,也就得到了 第 19 页 共 20 页 四边形 EFPC是平行四边形,再有 EF=EC可证为菱形; (3)根据各点到圆心的距离作答即可. 解答:解:(1)易得△BFE是等边三角形,PE=EB, ∴EF=BE=PE=BF; (2)当点 E是 BC的中点时,四边形是菱形; ∵E是 BC的中点, ∴EC=BE, ∵PE=BE, ∴PE=EC, ∵∠C=60°, ∴△PEC是等边三角形, ∴PC=EC=PE, ∵EF=BE, ∴EF=PC, 又∵EF∥CP, ∴四边形 EFPC是平行四边形, ∵EC=PC=EF, ∴平行四边形 EFPC是菱形; (3)当 0<r< 时,有两个交点; 当 r= 时,有四个交点; 当 <r<1时,有六个交点; 当 r=1时,有三个交点; 当 r>1时,有 0个交点. 点评:本题综合考查了等边三角形的性质和判定,菱形的判定及点和圆的位置关系等知识 点.注意圆和线段有交点,应根据半径作答. 29、如图,已知△ABC 的面积为 3,且 AB=AC,现将△ABC沿 CA方向平移 CA长度得到 △EFA. (1)求△ABC所扫过的图形的面积; (2)试判断 AF与 BE的位置关系,并说明理由; (3)若∠BEC=15°,求 AC的长. 考点:平移的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定。 专题:计算题;探究型。 分析:(1)根据题意:易得△ABC≌△EFA,BA∥EF,且 BA=EF,进而得出 S 平行四边形 ABFE=2S△EAF,故可求出△ABC扫过图形的面积为 S△ABC+S 平行四边形ABFE; 第 20 页 共 20 页 (2)根据平移的性质,可得四边形 ABFE为菱形,故 AF与 BE互相垂直且平分; (3)根据题意易得:所以∠AEB=∠ABE=15°, BD•AC=3, AC•AC=3,进而可得 AC 的长度. 解答:解:(1)连接 BF,由题意知△ABC≌△EFA,BA∥EF,且 BA=EF ∴四边形 ABFE 为平行四边形, ∴S 平行四边形ABFE=2S△EAF∴△ABC扫过图形的面积为 S△ABC+S 平行四边形ABFE=3+6=9; (2)由(1)知四边形 ABFE 为平行四边形,且 AB=AE, ∴四边形 ABFE 为菱形, ∴AF与 BE互相垂直且平分. (3)过点 B作 BD⊥CA于点 D, ∵AB=AE, ∴∠AEB=∠ABE=15°. ∴∠BAD=30°BD= AB= AC. ∴ BD•AC=3, AC•AC=3. ∴AC2=12. ∴AC=2 . 点评:本题考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知识结合求解.考查了学生综 合运用数学的能力.查看更多