数学人教版八年级上册 期末试卷(2)

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数学人教版八年级上册 期末试卷(2)

第 1页(共 22页) 期末试卷(2) 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,请选出各题中一个符合 题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分) 1.(4 分)将下列四种长度的三根木棒首尾顺次连接,能组成三角形的是( ) A.2,5,8 B.3,4,5 C.2,2,4 D.1,2,3 2.(4 分)下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图,则它们是轴对称图形 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(4 分)下列运算中,正确的是( ) A.(a2)3=a5 B.a2•a4=a6 C.3a2÷2a=a D.(2a)2=2a2 4.(4 分)若分式 的值是零,则 x 的值是( ) A.x=﹣2 B.x=±3 C.2 D.x=3 5.(4 分)长方形的面积为 x2﹣2xy+x,其中一边长是 x,则另一边长是( ) A.x﹣2y B.x+2yC.x﹣2y﹣1 D.x﹣2y+1 6.(4 分)如图,E,B,F,C 四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,再添一个 条件仍不能证明△ABC≌△DEF 的是( ) A.AB=DE B.DF∥AC C.∠E=∠ABC D.AB∥DE 7.(4 分)如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若 PC=4,则 PD 等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 第 2页(共 22页) 8.(4 分)如图(1),是一个长为 2a 宽为 2b(a>b)的矩形,用剪刀沿矩形的 两条对角轴剪开,把它分成四个全等的小矩形,然后按图(2)拼成一个新的正 方形,则中间空白部分的面积是( ) A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2 9.(4 分)“五水共治”工程中,要挖掘一段 a 千米的排污管沟,如果由 10 个工人 挖掘,要用 m 天完成;如果由一台挖掘机工作,要比 10 个工人挖掘提前 3 天完 成,一台挖掘机的工作效率是一个工人工作效率的( ) A. B. C. D. 10.(4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y),我们把点 P1(﹣y+1, x+1)叫做点 P 的伴随点,已知点 A1 的伴随点为 A2,点 A2 的伴随点为 A3,点 A3 的伴随点为 A4,…,这样依次得到点 A1,A2,A3,…,An,若点 A1 的坐标为(3, 1),则点 A2015 的坐标为( ) A.(0,4) B.(﹣3,1) C.(0,﹣2) D.(3,1) 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 11.(5 分)点 A(﹣3,2)关于 x 轴的对称点 A′的坐标为 . 12.(5 分)因式分解:x2﹣4y2= . 13.(5 分)等腰三角形一边等于 4,另一边等于 2,则周长是 . 14.(5 分)若 a﹣b=5,ab=3,则 a2+b2= . 15.(5 分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特 征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个直角三角形为“特征三角形”,那么它 的“特征角”等于 度. 16.(5 分)如图,把面积为 1 的等边△ABC 的三边分别向外延长 m 倍,得到△ A1B1C1,那么△A1B1C1 的面积是 (用含 m 的式子表示) 第 3页(共 22页) 三、解答题(本题有 8 小题,第 17-20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22、23 题每题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分 17.(4 分)分解因式:4xy2+4x2y+y3. 18.(4 分)解方程: . 19.(8 分)先化简再求值:( ﹣ )÷ ,其中 x=3. 20.(8 分)在△ABC 中,D 是 BC 边上的中点,F、E 分别是 AD 及其延长线上的 点,CF∥BE.求证:CF=BE. 21.(8 分)一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间,且点 D,C,E 在同一直 线上,已知稍高的柜高 AD 为 80cm,两柜距离 DE 为 140cm.求稍矮的柜高 BE. 22.(10 分)某校为了丰富学生的校园生活,准备购进一批篮球和足球.其中篮 球的单价比足球的单价多 40 元,用 1500 元购进的篮球个数与 900 元购进的足球 个数相等. (1)篮球和足球的单价各是多少元? (2)该校打算用 800 元购买篮球和足球,恰好用完 800 元,问有哪几种购买方 第 4页(共 22页) 案? 23.(12 分)探究题: (1) 都相等, 都相等的多边形叫做正多边形; (2)如图,格点长方形 MNPQ 的各点分布在边长均为 1 的等边三角形组成的网 格上,请在格点长方形 MNPQ 内画出一个面积最大的格点正六边形 ABCDEF,并 简要说明它是正六边形的理由; (3)正六边形有 条对角线,它的外角和为 度. 24.(12 分)阅读理解:(请仔细阅读,认真思考,灵活应用) 【例】已知实数 x 满足 x+ =4,求分式 的值. 解:观察所求式子的特征,因为 x≠0,我们可以先求出 的倒数的值, 因为 =x+3+ =x+ +3=4+3=7 所以 = 【活学活用】 (1)已知实数 a 满足 a+ =﹣5,求分式 的值; (2)已知实数 x 满足 x+ =9,求分式 的值. 25.(14 分)有公共顶点 A 的△ABD,△ACE 都是的等边三角形. (1)如图 1,将△ACE 绕顶点 A 旋转,当 E,C,B 共线时,求∠BCD 的度数; (2)如图 2,将△ACE 绕顶点 A 旋转,当∠ACD=90°时,延长 EC 角 BD 于 F, ①求证:∠DCF=∠BEF; ②写出线段 BF 与 DF 的数量关系,并说明理由. 第 5页(共 22页) 第 6页(共 22页) 参考答案与试题解析 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,请选出各题中一个符合 题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分) 1.(4 分)将下列四种长度的三根木棒首尾顺次连接,能组成三角形的是( ) A.2,5,8 B.3,4,5 C.2,2,4 D.1,2,3 【考点】三角形三边关系. 【分析】根据三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边进行分析即可. 【解答】解:A、2+5<8,不能组成三角形,故此选项错误; B、3+4>5,能组成三角形,故此选项正确; C、2+2=4,不能组成三角形,故此选项错误; D、1+2=3,不能组成三角形,故此选项错误; 故选:B. 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理,在运用三角形三边关系判定三 条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度 之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形. 2.(4 分)下列图形是对圆的面积进行四等分的几种作图,则它们是轴对称图形 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可. 【解答】解:第一个图形是轴对称图形; 第二个图形是轴对称图形; 第三个图形不是轴对称图形; 第四个图形是轴对称图形; 第 7页(共 22页) 所以一共有三个轴对称图形. 故选 C. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形 两部分折叠后可重合. 3.(4 分)下列运算中,正确的是( ) A.(a2)3=a5 B.a2•a4=a6 C.3a2÷2a=a D.(2a)2=2a2 【考点】整式的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【专题】计算题;整式. 【分析】A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可作出判断; B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断; C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果,即可作出判断; D、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果,即可作出判断. 【解答】解:A、原式=a6,错误; B、原式=a6,正确; C、原式= a,错误; D、原式=4a2,错误, 故选 B 【点评】此题考查了整式的除法,同底数幂的乘法,以及幂的乘方与积的乘方, 熟练掌握运算法则是解本题的关键. 4.(4 分)若分式 的值是零,则 x 的值是( ) A.x=﹣2 B.x=±3 C.2 D.x=3 【考点】分式的值为零的条件. 【分析】直接利用分式的值为 0,则分子为 0,进而得出答案. 【解答】解:∵分式 的值是零, ∴x+2=0, 第 8页(共 22页) 解得:x=﹣2. 故选:A. 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件,正确把握定义是解题关键. 5.(4 分)长方形的面积为 x2﹣2xy+x,其中一边长是 x,则另一边长是( ) A.x﹣2y B.x+2yC.x﹣2y﹣1 D.x﹣2y+1 【考点】整式的除法. 【专题】计算题;整式. 【分析】根据面积除以一边长得到另一边长即可. 【解答】解:根据题意得:(x2﹣2xy+x)÷x=x﹣2y+1, 故选 D 【点评】此题考查了整式的除法,熟练掌握除法法则是解本题的关键. 6.(4 分)如图,E,B,F,C 四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,再添一个 条件仍不能证明△ABC≌△DEF 的是( ) A.AB=DE B.DF∥AC C.∠E=∠ABC D.AB∥DE 【考点】全等三角形的判定. 【分析】由 EB=CF,可得出 EF=BC,又有∠A=∠D,本题具备了一组边、一组角 对应相等,为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF,那么添加的条件与原 来的条件可形成 SSA,就不能证明△ABC≌△DEF 了. 【解答】解:A、添加 DE=AB 与原条件满足 SSA,不能证明△ABC≌△DEF,故 A 选项正确. B、添加 DF∥AC,可得∠DFE=∠ACB,根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF,故 B 选项 错误. C、添加∠E=∠ABC,根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF,故 C 选项错误. D、添加 AB∥DE,可得∠E=∠ABC,根据 AAS 能证明△ABC≌△DEF,故 D 选项 第 9页(共 22页) 错误. 故选:A. 【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有: SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边 的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 7.(4 分)如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若 PC=4,则 PD 等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【考点】菱形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形. 【专题】几何图形问题. 【分析】过点 P 做 PM∥CO 交 AO 于 M,可得∠CPO=∠POD,再结合题目推出四 边形 COMP 为菱形,即可得 PM=4,又由 CO∥PM 可得∠PMD=30°,由直角三角 形性质即可得 PD. 【解答】解:如图:过点 P 做 PM∥CO 交 AO 于 M,PM∥CO ∴∠CPO=∠POD,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA ∴四边形 COMP 为菱形,PM=4 PM∥CO ⇒ ∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°, 又∵PD⊥OA ∴PD= PC=2. 令解:作 CN⊥OA. ∴CN= OC=2, 又∵∠CNO=∠PDO, ∴CN∥PD, 第 10页(共 22页) ∵PC∥OD, ∴四边形 CNDP 是长方形, ∴PD=CN=2 故选:C. 【点评】本题运用了平行线和直角三角形的性质,并且需通过辅助线求解,难度 中等偏上. 8.(4 分)如图(1),是一个长为 2a 宽为 2b(a>b)的矩形,用剪刀沿矩形的 两条对角轴剪开,把它分成四个全等的小矩形,然后按图(2)拼成一个新的正 方形,则中间空白部分的面积是( ) A.ab B.(a+b)2 C.(a﹣b)2 D.a2﹣b2 【考点】完全平方公式的几何背景. 【分析】先求出正方形的边长,继而得出面积,然后根据空白部分的面积=正方 形的面积﹣矩形的面积即可得出答案. 【解答】解:由题意可得,正方形的边长为(a+b), 故正方形的面积为(a+b)2, 又∵原矩形的面积为 4ab, ∴中间空的部分的面积=(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2. 故选 C. 【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景,求出正方形的边长是解答本题的 关键,难度一般. 第 11页(共 22页) 9.(4 分) “五水共治”工程中,要挖掘一段 a 千米的排污管沟,如果由 10 个工 人挖掘,要用 m 天完成;如果由一台挖掘机工作,要比 10 个工人挖掘提前 3 天 完成,一台挖掘机的工作效率是一个工人工作效率的( ) A. B. C. D. 【考点】列代数式(分式). 【分析】此题可利用工作总量作为相等关系,借助方程解题. 【解答】解:设一台插秧机的工作效率为 x,一个人工作效率为 y. 则 10my=(m﹣3)x. 所以 = , 故选:D. 【点评】本题主要考查了列代数式的知识,列代数式的关键是正确理解文字语言 中的关键词,找到其中的数量关系,工程问题要有“工作效率”,“工作时间”,“工 作总量”三个要素,数量关系为:工作效率×工作时间=工作总量. 10.(4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y),我们把点 P1(﹣y+1, x+1)叫做点 P 的伴随点,已知点 A1 的伴随点为 A2,点 A2 的伴随点为 A3,点 A3 的伴随点为 A4,…,这样依次得到点 A1,A2,A3,…,An,若点 A1 的坐标为(3, 1),则点 A2015 的坐标为( ) A.(0,4) B.(﹣3,1) C.(0,﹣2) D.(3,1) 【考点】规律型:点的坐标. 【分析】根据伴随点的定义,罗列出部分点 A 的坐标,根据点 A 的变化找出规 律“A4n+1(3,1),A4n+2(0,4),A4n+3(﹣3,1),A4n+4(0,﹣2)(n 为自然数)”, 根据此规律即可解决问题. 【解答】解:观察,发现规律:A1(3,1),A2(0,4),A3(﹣3,1),A4(0, ﹣2),A5(3,1),…, ∴A4n+1(3,1),A4n+2(0,4),A4n+3(﹣3,1),A4n+4(0,﹣2)(n 为自然数). ∵2015=4×503+3, ∴点 A2015 的坐标为(﹣3,1). 故选 B. 第 12页(共 22页) 【点评】本题考查了规律型中的点的坐标,解题的关键是发现规律“A4n+1(3,1), A4n+2(0,4),A4n+3(﹣3,1),A4n+4(0,﹣2)(n 为自然数)”.本题属于基础 题,难度不大,解决该题型题目时,罗列出部分点的坐标,根据点的坐标的变化 发现规律是关键. 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 11.(5 分)点 A(﹣3,2)关于 x 轴的对称点 A′的坐标为 (﹣3,﹣2) . 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【分析】根据“关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”解答. 【解答】解:点 A(﹣3,2)关于 x 轴对称的点的坐标为(﹣3,﹣2). 故答案为:(﹣3,﹣2). 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好 对称点的坐标规律: (1)关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数; (2)关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数; (3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数. 12.(5 分)因式分解:x2﹣4y2= (x+2y)(x﹣2y) . 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】直接运用平方差公式进行因式分解. 【解答】解:x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y). 【点评】本题考查了平方差公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键.平方差 公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b). 13.(5 分)等腰三角形一边等于 4,另一边等于 2,则周长是 10 . 【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系. 【分析】因为等腰三角形的两边分别为 4 和 2,但没有明确哪是底边,哪是腰, 所以有两种情况,需要分类讨论. 【解答】解:当 4 为底时,其它两边都为 2,2、2、4 不可以构成三角形; 第 13页(共 22页) 当 4 为腰时,其它两边为 4 和 2,4、4、2 可以构成三角形,周长为 10, 故答案为:10. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系;对于底和腰不等的等 腰三角形,若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的 前提下分类讨论. 14.(5 分)若 a﹣b=5,ab=3,则 a2+b2= 31 . 【考点】完全平方公式. 【专题】计算题;整式. 【分析】把 a﹣b=5 两边平方,利用完全平方公式化简,将 ab=3 代入即可求出所 求式子的值. 【解答】解:把 a﹣b=5 两边平方得:(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=25, 将 ab=3 代入得:a2+b2=31, 故答案为:31 【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 15.(5 分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特 征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个直角三角形为“特征三角形”,那么它 的“特征角”等于 90 或 60 度. 【考点】三角形内角和定理. 【分析】根据“特征角”的定义,结合直角三角形的性质即可得出结论. 【解答】解:①“特征角”α为 90°; ②“特征角”与“另一个内角”都不是直角时,设“特征角是 2x”, 由题意得,x+2x=90°, 解得:x=30°, 所以,“特征角”是 60°, 综上所述,这个“特征角”的度数为 90°或 60°. 故答案为:90 或 60. 【点评】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是 180°是解答此题 第 14页(共 22页) 的关键. 16.(5 分)如图,把面积为 1 的等边△ABC 的三边分别向外延长 m 倍,得到△ A1B1C1,那么△A1B1C1 的面积是 3m2+3m+1 (用含 m 的式子表示) 【考点】等边三角形的性质. 【分析】连接 AB1,BC1,CA1,根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1, △A1AB1 的面积,从而求出△A1BB1 的面积,同理可求△B1CC1 的面积,△A1AC1 的面积,然后相加即可得解. 【解答】解:如图,连接 AA1,B1C2,BC1,如图所示: ∵把面积为 1 的等边△ABC 的三边分别向外延长 m 倍, ∴△A1 AB 的面积=△BC2C1 的面积=△AB1C2 的面积=m×1=m, 同理:△A1B1 A 的面积=△B1 C1 C2 的面积=△A1 BC1 的面积=m×m=m2, ∴△A1B1C1 的面积=3m2+3m+1; 故答案为:3m2+3m+1. 【点评】本题考查了三角形的面积,主要利用了等底等高的三角形的面积相等, 作辅助线把三角形进行分割是解题的关键. 三、解答题(本题有 8 小题,第 17-20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22、23 题每题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分 17.(4 分)分解因式:4xy2+4x2y+y3. 第 15页(共 22页) 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】首先提取公因式 y,进而利用完全平方公式分解因式得出答案. 【解答】解:4xy2+4x2y+y3 =y(4xy+4x2+y2) =y(y+2x)2. 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解 题关键. 18.(4 分)解方程: . 【考点】解分式方程. 【专题】计算题. 【分析】观察可得 2﹣x=﹣(x﹣2),所以可确定方程最简公分母为:(x﹣2),然 后去分母将分式方程化成整式方程求解.注意检验. 【解答】解:方程两边同乘以(x﹣2), 得:x﹣3+(x﹣2)=﹣3, 解得 x=1, 检验:x=1 时,x﹣2≠0, ∴x=1 是原分式方程的解. 【点评】(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程 求解. (2)解分式方程一定注意要验根. (3)去分母时有常数项的不要漏乘常数项. 19.(8 分)先化简再求值:( ﹣ )÷ ,其中 x=3. 【考点】分式的化简求值. 【分析】先约分化简,再计算括号,最后代入化简即可. 【解答】解:原式=[ ﹣ }× 第 16页(共 22页) =( )× = × =﹣ , 当 x=3 时,原式=﹣1 【点评】本题考查分式的混合运算、乘法公式等知识,解题的关键是灵活掌握分 式的混合运算法则,注意简便运算,属于中考常考题型. 20.(8 分)在△ABC 中,D 是 BC 边上的中点,F、E 分别是 AD 及其延长线上的 点,CF∥BE.求证:CF=BE. 【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】利用 CF∥BE 和 D 是 BC 边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF, 从而得出结论. 【解答】证明:∵D 是 BC 边上的中点, ∴BD=CD, 又∵CF∥BE, ∴∠E=∠CFD,∠DBE=∠FCD ∴△BDE≌△CFD, ∴CF=BE. 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,难度适中. 21.(8 分)一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间,且点 D,C,E 在同一直 线上,已知稍高的柜高 AD 为 80cm,两柜距离 DE 为 140cm.求稍矮的柜高 BE. 第 17页(共 22页) 【考点】全等三角形的应用. 【分析】首先证明△ADC≌△CEB,根据全等三角形的性质可得 AD=CE,DC=BE, 进而可得 CE 的长,然后可得 DC 的长度,从而求出 BE 长. 【解答】解:由题意得:∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,AC=BC, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°, ∵∠BEC=90°, ∴∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE, 在△ADC 和△CEB 中, , ∴△ADC≌△CEB(AAS), ∴AD=CE,DC=BE, ∵AD=80cm, ∴CE=80cm, ∵DE=140cm, ∴DC=60cm, ∴BE=60cm. 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用,关键是掌握全等三角形的判定定理: SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 22.(10 分)某校为了丰富学生的校园生活,准备购进一批篮球和足球.其中篮 球的单价比足球的单价多 40 元,用 1500 元购进的篮球个数与 900 元购进的足球 个数相等. (1)篮球和足球的单价各是多少元? (2)该校打算用 800 元购买篮球和足球,恰好用完 800 元,问有哪几种购买方 案? 第 18页(共 22页) 【考点】分式方程的应用;二元一次方程的应用. 【分析】(1)设足球单价为 x 元,则篮球单价为(x+40)元,根据题意可得等量 关系:1500 元购进的篮球个数=900 元购进的足球个数,由等量关系可得方程, 再求解即可; (2)设恰好用完 800 元,可购买篮球 m 个和购买足球 n 个,根据题意可得篮球 的单价×篮球的个数 m+足球的单价×足球的个数 n=800,再求出整数解即可得 出答案. 【解答】解:设足球单价为 x 元,则篮球单价为(x+40)元,由题意得: = , 解得:x=60, 经检验:x=60 是原分式方程的解, 则 x+40=100, 答:篮球和足球的单价各是 100 元,60 元; (2)设恰好用完 800 元,可购买篮球 m 个和购买足球 n 个, 由题意得:100m+60n=800, 整理得:m=8﹣ n, ∵m、n 都是正整数, ∴①n=5 时,m=5,②n=10 时,m=2; ∴有两种方案: ①购买篮球 5 个,购买足球 5 个; ②购买篮球 2 个,购买足球 10 个. 【点评】此题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用,关键是正确理解题意, 找出题目中的等量关系,列出方程. 23.(12 分)探究题: (1) 各个角 都相等, 各条边 都相等的多边形叫做正多边形; (2)如图,格点长方形 MNPQ 的各点分布在边长均为 1 的等边三角形组成的网 格上,请在格点长方形 MNPQ 内画出一个面积最大的格点正六边形 ABCDEF,并 简要说明它是正六边形的理由; 第 19页(共 22页) (3)正六边形有 9 条对角线,它的外角和为 360 度. 【考点】正多边形和圆. 【分析】(1)直接用正多边形的定义得出结论即可; (2)用网格线的特征和正六边形的性质,画出图形即可; (3)根据多边形的对角线条数的确定方法和多边形的外角和定理即可. 【解答】解:(1)由正多边形的定义:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫 做正多边形; 故答案为:各个角;各条边; (2)如图, ∵AB=2,BC=2,CD=2,DE=2,EF=2,FA=2, ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA, ∵网格是等边三角形的网格, ∴∠FAB=2×60°=120°, 同理:∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°, ∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°, ∴六边形 ABCDEFA 是正六边形. 最大面积为 24; (3)正六边形的对角线条数为 =9, ∵多边形的外角和是 360°, ∴正六边形的外角和为 360°, 故答案为:9;360°. 第 20页(共 22页) 【点评】此题是正多边形和圆,主要考查了正多边形的定义,正六边形的性质, 网格线的特点,多边形的对角线的确定和多边形的外角和定理,解本题的关键掌 握正六边形的性质. 24.(12 分)阅读理解:(请仔细阅读,认真思考,灵活应用) 【例】已知实数 x 满足 x+ =4,求分式 的值. 解:观察所求式子的特征,因为 x≠0,我们可以先求出 的倒数的值, 因为 =x+3+ =x+ +3=4+3=7 所以 = 【活学活用】 (1)已知实数 a 满足 a+ =﹣5,求分式 的值; (2)已知实数 x 满足 x+ =9,求分式 的值. 【考点】分式的值. 【专题】阅读型;分式. 【分析】(1)原式变形后,将已知等式代入计算即可求出值; (2)原式变形后,将已知等式代入计算即可求出值. 【解答】解:(1)∵a+ =﹣5, ∴ =3a+5+ =3(a+ )+5=﹣15+5=﹣10; (2)∵x+ =9, ∴x+1≠0,即 x≠﹣1, ∴x+1+ =10, ∵ = =x+1+ +3=10+3=13, ∴ = . 【点评】此题考查了分式的值,将所求式子就行适当的变形是解本题的关键. 第 21页(共 22页) 25.(14 分)有公共顶点 A 的△ABD,△ACE 都是的等边三角形. (1)如图 1,将△ACE 绕顶点 A 旋转,当 E,C,B 共线时,求∠BCD 的度数; (2)如图 2,将△ACE 绕顶点 A 旋转,当∠ACD=90°时,延长 EC 角 BD 于 F, ①求证:∠DCF=∠BEF; ②写出线段 BF 与 DF 的数量关系,并说明理由. 【考点】三角形综合题. 【分析】(1)先由等边三角形得出 AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°, 从而判断出∠DAC=∠BAE,得到△DAC≌△BAE,最后用平角的定义即可; (2)①同(1)的方法判断出△DAC≌△BAE,再用直角三角形的性质即可; ②作出辅助线,利用①的结论即可得出 DF=BF. 【解答】解:∵△ABD,ACE 都是等边三角形, ∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°,AD=AB,AC=AE ∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠CAE+∠BAC, ∴∠DAC=∠BAE, 在△DAC 和△BAE 中 , ∴△DAC≌△BAE, ∴∠ACD=∠E=60°, ∵E,C,B 共线, ∴∠BCD=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=60°; (2)①∵△ABD,ACE 都是等边三角形, ∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°,AD=AB,AC=AE ∵∠DAC=∠DAB﹣∠BAC,∠BAE=∠CAE﹣∠BAC, ∴∠DAC=∠BAE, 第 22页(共 22页) 在△DAC 和△BAE 中 , ∴△DAC≌△BAE, ∴∠AEB=∠ACD=90°, ∴∠BEC=∠AEB﹣∠AEC=90°﹣60°=30°, ∵∠DCF=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=30°, ∴∠DCF=∠BEF; ②DF=BF, 理由:如图, 在 EF 上取一点 G,使 BG=BF, ∴∠GFB=∠FGB, ∴∠DFC=∠BGE, 由(1)知,△DAC≌△BAE,CD=EB, ∠DCF=∠BEC, ∴△DCF≌△BGE, ∴DF=BG, ∴DF=BF. 【点评】此题是三角形综合题,主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的判 定和性质,直角三角形的性质,解本题的关键是∠DAC=∠BAE.
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