北师大版数学九年级上期末复习专题解答题专项：菱形性质与判定（五）

北师大版数学九年级上期末复习专题解答题专项：菱形性质与判定（五）

九年级上期末复习专题解答题专项：菱形性质与判定（五）1．已知菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△ADF；（2）∠AEF＝∠AFE．2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．（1）求证：OE＝BC；（2）若四边形OCED的面积是8cm2，则菱形ABCD的面积是　　cm2（直接填空即可，不必给出求解过程）．3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是48cm，求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积．4．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．5．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：（1）AC⊥BD；（2）四边形ABCD是菱形．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F．求证：四边形AECF是菱形． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）判断四边形DBFE的形状，并说明理由；（2）试探究当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？ 9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．10．四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E点．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝8，BD＝6，求DE的长度． 参考答案1．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE．2．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形，∴DE＝OC，∵OB＝OD，∠BOC＝∠ODE＝90°，∴BC＝＝＝OE，即OE＝BC；（2）解：由（1）知，四边形OCED是矩形．∵四边形OCED的面积是8cm2，∴△OCD的面积为四边形OCED的面积的一半，为4cm2， ∴S菱形ABCD＝4S△OCD＝16cm2，故答案是：16．3．解：（1）∵在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∴∠ABO＝30°，∵菱形ABCD的周长是48cm，∴AB＝BC＝DC＝AD＝12cm，∴AO＝6cm，则BO＝6cm，故AC＝12cm，BD＝12cm；（2）则菱形ABCD的面积为：×12×12＝72（cm2）．4．解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，∠AOB＝90°，∴AB＝5，∴×6×8＝DE×AB，解得：DE＝，即AB边上的高为：．5．证明：（1）∵AE∥BF， ∴∠BCA＝∠CAD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；（2）∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB，∵∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，∴△ABD也是等腰三角形，∴AB＝AD，∴DA＝CB，∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．6．证明：∵AD∥BC．∴∠EAC＝∠FCA．在△AOE与△COF中，， ∴△AOE≌△COF（ASA）．∴EO＝FO，∴四边形AECF为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形．7．（1）证明：∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）．（2）当AE＝2AD（或AD＝DE或DE＝AE）时，四边形ABEC是菱形理由如下：∵AE＝2AD，∴AD＝DE，又∵点D为BC中点，∴BD＝CD，∴四边形ABEC为平行四边形，∵AB＝AC，∴四边形ABEC为菱形．8．解：（1）四边形DBFE是平行四边形，理由是：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BF，∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；（2）AB＝BC，理由是：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝BC，∵E为AC的中点，EF∥AB，∴BF＝CF，∴EF＝AB，∵AC＝BC，∴DE＝EF，∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形，即当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．9．（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF， 又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60﹣4t＝2t，解得t＝10．∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形． 10．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BCA＝∠BAC，∴AB＝BC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，AC⊥BD，∴AB＝5．2S△ABD＝AB•DE＝AC•BD，∴5DE＝×8×6，∴DE＝．