人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:不等式的有关概念和性质(解析版)

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人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:不等式的有关概念和性质(解析版)

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:‎ 不等式的有关概念和性质 知识网络 重难突破 知识点一 不等式的有关概念和性质 不等式的定义:用符号“”或“”表示大小关系的式子,叫作不等式.像a3这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式。‎ ‎【注意】‎ ‎1.方程与不等式的区别:方程表示的是相等关系,不等式表示的是不等关系。‎ ‎2.常用的不等号有“”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系,还明确表示左右两边的大小;“”“”也表示不等关系,前者表示“不小于”(大于或等于),后者表示“不大于”(小于或等于);“”表示左右两边不相等。‎ ‎3.在不等式a>b或ab,则a+c>b+c,a-c>b-c。 基本性质2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变,即 若a>b,c>0,则ac>bc(或) 基本性质3:不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式,不等号方向改变,即 若a>b,c<0,则acb,则bb>c,则a>c。‎ 基本性质6:如果,,那么.‎ ‎【注意】‎ ‎1、根据不等式的性质,可以将一个不等式变形,尤其要注意性质2和性质3的区别,当不等式两边乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变。‎ ‎2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。‎ 不等式性质与等式性质的相同和不同点:‎ 相同点:都可以在两边加上或减去同一个式子 不同点:‎ 1、 对于等式两边,乘(或除)以同一个正数(或负数),结果依然成立 2、 对于不等式两边,乘(或除)以同一个正数,不等号方向不变;乘(或除)以同一个负数,不等号方向发生改变;‎ 解不等式的概念:求不等式的解集的过程叫作解不等式。‎ ‎【典型例题】‎ 考查题型一 不等式的定义 典例1(2019·临川市期中)在下列式子中①;②a=3;③x+2>x+1;④2a+3;⑤x≠-2;⑥4x+5>0,是不等式的有( )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【答案】C ‎ 17 / 17‎ ‎【详解】‎ 解:①-2<0是不等式;‎ ‎②a=3不是不等式;‎ ‎③x+2>x+1是不等式;‎ ‎④2a+3不是不等式;‎ ‎⑤x≠-2是不等式;‎ ‎⑥4x+5>0是不等式;‎ 所以不等式有①③⑤⑥,共4个.‎ 故选C.‎ 变式1-1(2019·重庆市期中)下面个式子中,其中( )是不等式.‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ A中含有等号,是等式;‎ B、D不含不等符号,不是不等式;‎ C中含有“>”,是不等式 故选:C 变式1-2(2020·毕节市期中)老师在黑板上写了下列式子:①x-1≥1;②-2<0;③x≠3;④x+2;⑤x-y=0;⑥x+2y≤0,其中不等式有( )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 因为用不等号连接的式子叫做不等式,其中常用不等号有:>,<,≥,≤,≠,所以属于不等式的是:①②③⑥.‎ 故选C.‎ 变式1-3(2018·成都市期末)根据天气预报,2018年6月20日双流区最高气温是,最低气温是,则双流区气温的变化范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ 17 / 17‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:由于最高气温是30℃,最低气温是23℃,‎ ‎∴23≤t≤30,‎ 故选:D.‎ 典例2(2020·杭州市期末)用不等式表示:“的与的和为正数”,正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由题意得.‎ 故选A.‎ 变式2-1(2019·丹江口市期中)与-x2的和的一半是非负数,用不等式表示为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ a与-x2的和的一半是非负数,先求和再求和的一半,故用不等式表示为:.‎ 故本题答案为:D.‎ 变式2-2(2019·南阳市期中)的一半与的差是负数,用不等式表示为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:根据题意得 故选D.‎ 考查题型二 不等式的解集 典例3(2018·成都市期末)已知,则下列结论正确的是(  )‎ ‎ 17 / 17‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:不等式两边都除以2,‎ 得:,‎ 故选:D.‎ 变式3-1(2019·深圳市期末)下列各数中,能使不等式成立的是(  )‎ A.6 B.5 C.4 D.2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:当时,=1>0,‎ 当x=5时,=0.5>0,‎ 当x=4时,=0,‎ 当x=2时,=-1<0,‎ 由此可知,可以使不等式成立.‎ 故选D.‎ 变式3-2(2019·泉州市期末)已知两个不等式的解集在数轴上如图表示,由这两个不等式组成的不等式组的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解:由两个不等式的解集在数轴上的表示可知,这两个不等式是:x≥-1与x>-3,其公共部分是x ‎ 17 / 17‎ ‎≥-1,即不等式组的解集是x≥-1.故选A.‎ 变式3-3(2019·北京市期末)如图,天平左盘中物体A的质量为,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,则的取值范围在数轴上可表示为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:根据题意得:, 解得:1<m<2, 故选:D.‎ 变式3-4(2019·晋中市期末)下列实数中,能够满足不等式的正整数是( )‎ A.-2 B.3 C.4 D.2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ A选项,-2不是正整数,不符合题意;‎ B选项,,不符合题意;‎ C选项,,不符合题意;‎ D选项,,符合题意;‎ 故选:D.‎ 变式3-5(2019·大庆市期末)若不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1,则a必满足(  )‎ A.a<﹣1 B.a>﹣1 C.a<0 D.a<1‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎ 17 / 17‎ ‎∵不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1,‎ ‎∴a+1<0,‎ 解得:a<−1.‎ 故选A.‎ 变式3-6(2019·沙洋县期末)已知a<b,则下列不等式一定成立的是(  )‎ A.a+5>b+5 B.-2a<-2b C.a>b D.7a-7b<0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ A.∵a<b,∴a+5<b+5,故本选项错误;‎ ‎ B.∵a<b,∴﹣2a>﹣2b,故本选项错误;‎ ‎ C.∵a<b,∴a<b,故本选项错误;‎ ‎ D.∵a<b,∴7a<7b,∴7a﹣7b<0,故本选项正确.‎ ‎ 故选D.‎ 考查题型三 不等式的性质 典例4(2019·诸城市期中)若则下列不等式变形错误的是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:A、在不等式a>b的两边同时加上3,不等式仍成立,即.故本选项变形正确; B、在不等式a>b的两边同时除以5,不等式仍成立,即.故本选项变形正确; C、在不等式a>b的两边同时乘以2再加1,不等式仍成立,即.故本选项变形正确; D、在不等式a>b的两边同时乘以−3再加5,不等号方向改变,即5−3a<5−3b.故本选项变形错误; 故选D.‎ 变式4-1(2019·哈尔滨市期末)已知a<b,则下列不等式中不成立的是(   ).‎ A.a+4<b+4 B.2a<2b C.—5a<—5b D.‎ ‎【答案】C ‎ 17 / 17‎ ‎【详解】‎ A.由不等式a<b的两边同时加4,不等号的方向不变,等式成立,故本项错误.‎ B.由不等式a<b的两边同时乘以2,不等式仍成立,即2a<2b;故本选项错误;‎ C. 由不等式a<b的两边同时乘以−5,不等号的方向不变,即−5a<−5不成立,故本选项正确;‎ D.由不等式a<b的两边同时除以3再-1,不等式的方向不变,即成立,故本选项错误.‎ 变式4-2(2018·运城市期中)设a、b、c表示三种不同物体的质量,用天枰称两次,情况如图所示,则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 观察图形可知:b+c =3c,即b =" 2c" ;且a>b.所以.故选A.‎ 变式4-3(2019·聊城市期中)下列不等式的变形正确的是( )‎ A.若则 B.若,则 C.若则 D.若且则 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解:当时,若,则,故A错误;‎ 若,则,故B正确;‎ 当时,,故C错误;‎ 若,则,故D错误;‎ 故选:B.‎ 变式4-4(2019·佳木斯市期末)下列命题正确的是( )‎ A.若a>b,b<c,则a>c B.若a>b,则ac>bc ‎ 17 / 17‎ C.若a>b,则ac2>bc2 D.若ac2>bc2,则a>b ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:A、可设a=4,b=3,c=4,则a=c.故本选项错误;‎ B、当c=0或c<0时,不等式ac>bc不成立.故本选项错误;‎ C、当c=0时,不等式ac2>bc2不成立.故本选项错误;‎ D、由题意知,c2>0,则在不等式ac2>bc2的两边同时除以c2,不等式仍成立,即a>b,故本选项正确.‎ 故选D.‎ 变式4-5(2020·单县期中)已知a>b,下列关系式中一定正确的是(  )‎ A.a2<b2 B.2a<2b C.a+2<b+2 D.﹣a<﹣b ‎【答案】D ‎【详解】‎ A.若,当时,关系式不成立,如:,但,故本选项错误;‎ B.若,则,故本选项错误;‎ C.若,则,故本选项错误;‎ D.若,则,故本选项正确.‎ 故选:D.‎ 变式4-6(2018·成都市期中)下列不等式变形正确的是( )‎ A.由,得 B.由,得 C.由,得 D.由,得 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解:A、由a>b,不等式两边同时减去2可得a-2>b-2,故此选项错误; B、由a>b,不等式两边同时乘以-2可得-2a<-2b,故此选项正确;‎ C、当a>b>0时,才有|a|>|b|;当0>a>b时,有|a|<|b|,故此选项错误; D、由a>b,得a2>b2错误,例如:1>-2,有12<(-2)2,故此选项错误.‎ 故选:B.‎ 变式4-7(2020·诸城市期中)数a,b,c,d所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示,那么 ‎ 17 / 17‎ 与的大小关系是(  ). ‎ A.< B.‎ C.> D.不能确定 ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由数轴可知ab,得ac>bc;②由a>b,得ac2>bc2; ③由,得;④由,得;⑤由,得;⑥由,得ac>bc.其中正确的有( )‎ A.④⑤⑥ B.①②③④ C.④⑤ D.②③④‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解:①当c≤0时,由a>b,不能得出ac>bc,此结论错误; ②当c=0时,由a>b不能得出ac2>bc2,此结论错误; ③当c<0时,由ac>bc,不能得出a>b,此结论错误; ④由a>b,得a(c2+1)>b(c2+1),此结论正确; ⑤由ac2>bc2得a>b,此结论正确; ⑥由,得ac>bc,此结论正确; 故选:A.‎ 巩固训练 一、 选择题(共10小题)‎ ‎ 17 / 17‎ ‎1.(2019·宿州市期中)下列说法中,错误的是(  )‎ A.不等式x<5的整数解有无数多个 B.不等式x>-5的负整数解集有有限个 C.不等式-2x<8的解集是x<-4 D.-40是不等式2x<-8的一个解 ‎【答案】C ‎【详解】‎ A. 由x<5,可知该不等式的整数解有4,3,2,1,-1,-2,-3,-4等,有无数个,所以A选项正确,不符合题意;‎ B. 不等式x>−5的负整数解集有−4,−3,−2,−1.故正确,不符合题意;‎ C. 不等式−2x<8的解集是x>−4,故错误.‎ D. 不等式2x<−8的解集是x<−4包括−40,故正确,不符合题意;‎ 故选:C.‎ ‎2.(2018·长春市期中)式子:①2>0;②4x+y≤1;③x+3=0;④y-7;⑤m-2.5>3.其中不等式有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎①是用“>”连接的式子,是不等式;‎ ‎②是用“≤”连接的式子,是不等式;‎ ‎③是等式,不是不等式;‎ ‎④没有不等号,不是不等式;‎ ‎⑤是用“>”连接的式子,是不等式;‎ ‎∴不等式有①②⑤共3个,故选C.‎ ‎3.(2019·江油市期末)以下说法中正确的是(  )‎ A.若a>|b|,则a2>b2 B.若a>b,则<‎ C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d ‎【答案】A ‎【解析】‎ A、若a>|b|,则a2>b2,正确;‎ B、若a>b,当a=1,b=﹣2时,则>,错误;‎ ‎ 17 / 17‎ C、若a>b,当c2=0时,则ac2=bc2,错误;‎ D、若a>b,c>d,如果a=1,b=﹣1,c=﹣2,d=﹣4,则a﹣c=b﹣d,错误;‎ 故选A.‎ ‎4.(2020·邯郸市期中)若,下列不等式不一定成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:A、不等式的两边都加3,不等号的方向不变,故A错误;‎ B、不等式的两边都乘以﹣3,不等号的方向改变,故B错误;‎ C、不等式的两边都除以3,不等号的方向不变,故C错误;‎ D、如;故D正确;‎ 故选:D.‎ ‎5.(2019·资阳市期中)如果(a+1)x<a+1的解集是x>1,那么a的取值范围是(  )‎ A.a<0 B.a<﹣1‎ C.a>﹣1 D.a是任意有理数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据不等式的性质3,可得答案.‎ 解:如果(a+1)x1,得a+1<0,a<-1.‎ 故选B.‎ ‎6.(2019·赤峰市期中)若,、、的大小关系是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵0<m<1,可得m²<m, >1, ∴可得:m²<m<. 故选B.‎ ‎ 17 / 17‎ ‎7.(2019宁波市期末)若,且,则的值可能是( )‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 由不等号的方向改变,得 a−3<0,‎ 解得a<3,‎ 四个选项中满足条件的只有0.‎ 故选:A.‎ ‎8.(2020·宁波市期末)实数a、b、c满足a>b且ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置可以是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解:因为a>b且ac<bc,‎ 所以c<0.‎ 选项A符合a>b,c<0条件,故满足条件的对应点位置可以是A.‎ 选项B不满足a>b,选项C、D不满足c<0,故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D.‎ 故选:A.‎ ‎9.(2019·石家庄市期末)下面列出的不等式中,正确的是(  )‎ A.“m不是正数”表示为m<0‎ B.“m不大于3”表示为m<3‎ C.“n与4的差是负数”表示为n﹣4<0‎ D.“n不等于6”表示为n>6‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ A. “m不是正数”表示为 故错误.‎ ‎ 17 / 17‎ B. “m不大于3”表示为故错误.‎ C. “n与4的差是负数”表示为n﹣4<0,正确.‎ D. “n不等于6”表示为,故错误.‎ 故选:C.‎ ‎10.(2019·太原市期中)用不等式表示图中的解集,其中正确的是(  )‎ A.x≥-2 B.x≤-2 C.x<-2 D.x>-2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解:∵表示不等式的解集的折线向右延伸,且表示-2的点是空心圆点 ‎∴x>-2‎ ‎ 故选:D.‎ 一、 填空题(共5小题)‎ ‎11.(2020·达州市期末)用一组,,的值说明命题“若,则”是错误的,这组值可以是_____,______,_______.‎ ‎【答案】2 3 -1 ‎ ‎【解析】‎ 根据不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.‎ 满足,即可,例如:,3,.‎ 故答案为:,3,.‎ ‎12.(2018·开封市期末)若不等式(a-2)x<1,两边除以a-2后变成x<,则a的取值范围是______.‎ ‎【答案】a>2‎ ‎【详解】‎ 解:∵不等式(a-2)x<1,两边除以a-2后变成 x<‎ ‎∴a-2>0, ∴‎ ‎ 17 / 17‎ a>2, 故答案为:a>2.‎ ‎13.(2019·淮南市期末)若,则______.(填“、或”号)‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】‎ 不等式两边乘以-6,根据不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变可得: 3m>n. 故答案为:>.‎ ‎14.(2018·杭州市期末)“5与m的2倍的和是负数”可以用不等式表示为_____.‎ ‎【答案】5+2m<0‎ ‎【详解】‎ 解:由题意得:5与m的2倍的和是负数,‎ 可列不等式:5+2m<0‎ 故答案为:5+2m<0.‎ ‎15.(2018·青岛市期末)不等号填空:若a<b<0,则﹣________ ﹣;________ ;2a﹣1________ 2b﹣1.‎ ‎【答案】> > < ‎ ‎【解析】‎ ‎∵a<b<0,‎ ‎∴﹣a>﹣b;‎ 根据不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,‎ 即不等式﹣a>﹣b两边同时除以5,不等号方向不变,所以﹣>﹣;‎ ‎∵a<b<0,‎ ‎∴ab>0,‎ 不等式a<b两边同时队以ab,不等号方向不变,即,‎ ‎∴> ;;‎ 再根据不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变和不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变可得:2a﹣1<2b﹣1,‎ ‎ 17 / 17‎ 故答案为> ,>, <.‎ 一、 解答题(共2小题)‎ ‎16.(2019·济南市期中)我们知道不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质呢?请解答下列问题.‎ ‎(1)完成下列填空:‎ 已知 用“<”或“>”填空 ‎5+2   3+1‎ ‎﹣3﹣1   ﹣5﹣2‎ ‎1﹣2   4+1‎ ‎(2)一般地,如果那么a+c   b+d(用“<”或“>”填空).请你说明上述性质的正确性.‎ ‎【答案】(1)>,>,<;(2)结论:a+c>b+d.理由见解析.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)5+2>3+1,﹣3﹣1>﹣5﹣2,1﹣2<4+1.‎ 故答案为>,>,<;‎ ‎(2)结论:a+c>b+d.‎ 理由:因为a>b,所以a+c>b+c,因为c>d,所以b+c>b+d,所以a+c>b+d.‎ 故答案为>.‎ ‎17.(2019·杭州市期中)(1)若x>y,比较-3x+5与-3y+5的大小,并说明理由.‎ ‎(2)若x<y,且(a-3)x>(a-3)y,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)-3x+5<-3y+5;(2)a<3‎ ‎【详解】‎ 解:(1)∵x>y,∴-3x<-3y,∴-3x+5<-3y+5;‎ ‎(2)∵x(a-3)y,‎ ‎∴a-3<0,∴a<3.‎ ‎ 17 / 17‎ ‎ 17 / 17‎
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