2020年秋人教版七年级数学上册第4章 几何图形初步 测试卷（1）

2020年秋人教版七年级数学上册第4章 几何图形初步 测试卷（1）

第 1页（共 22页） 2020 年秋人教版七年级数学上册第 4 章 几何图形初步 测试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）分别从正面、左面和上面这三个方向看下面的四个几何体，得到如图 所示的平面图形，那么这个几何体是（ ） A． B． C． D． 2．（3 分）从左面看图中四个几何体，得到的图形是四边形的几何体共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．（3 分）如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是 （ ） A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 4．（3 分）如图，对于直线 AB，线段 CD，射线 EF，其中能相交的图是（ ） A． B． C． D． 5．（3 分）下面等式成立的是（ ） A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48° 第 2页（共 22页） C．24°24′24″=24.44°D．41.25°=41°15′ 6．（3 分）下列语句： ①一条直线有且只有一条垂线； ②不相等的两个角一定不是对顶角； ③不在同一直线上的四个点可画 6 条直线； ④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角． 其中错误的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．（3 分）如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，∠EOC=110°， 则∠BOD 的度数是（ ） A．25° B．35° C．45° D．55° 8．（3 分）如图，∠1+∠2 等于（ ） A．60° B．90° C．110°D．180° 9．（3 分）C 是线段 AB 上一点，D 是 BC 的中点，若 AB=12cm，AC=2cm，则 BD 的长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 10．（3 分）甲乙两人各用一张正方形的纸片 ABCD 折出一个 45°的角（如图）， 两人做法如下： 甲：将纸片沿对角线 AC 折叠，使 B 点落在 D 点上，则∠1=45°； 乙：将纸片沿 AM、AN 折叠，分别使 B、D 落在对角线 AC 上的一点 P，则∠MAN=45°． 对于两人的做法，下列判断正确的是（ ） 第 3页（共 22页） A．甲乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲乙都错 二、填空题（每空 3 分，共 30 分） 11．（3 分）如图，各图中的阴影部分绕着直线 l 旋转 360°，所形成的立体图形分 别是 ． 12．（3 分）如图，以图中 A，B，C，D，E 为端点的线段共有 条． 13．（3 分）如图所示：把两块完全相同的直角三角板的直角顶点重合，如果∠ AOD=128°，那么∠BOC= ． 14．（3 分）如图，直线 AB，CD 相交于点 0，OE 平分∠AOD，若∠BOC=80°，则 ∠AOE= °． 15．（3 分）如图是某几何体的平面展开图，则这个几何体是 ． 第 4页（共 22页） 16．（3 分）如图绕着中心最小旋转 能与自身重合． 17．（3 分）如图所示，一艘船从 A 点出发，沿东北方向航行至 B，再从 B 点出 发沿南偏东 15°方向航行至 C 点，则∠ABC 等于 度． 18．（3 分）一个圆绕着它的直径只要旋转 180 度，就形成一个球体；半圆绕着 直径旋转 度，就可以形成一个球体． 19．（3 分）已知∠A=40°，则它的补角等于 ． 20．（3 分）两条直线相交有 个交点，三条直线相交最多有 个交点，最 少有 个交点． 三、解答题（21、22、26、27 小题各 12 分，23、24、25 题各 14 分，共 90 分） 21．（12 分）如图，若 CB=4cm，DB=7cm，且 D 是 AC 的中点，求线段 DC 和 AB 的长度． 22．（12 分）如图所示，直线 AB、CD 相交于 O，OE 平分∠AOD，∠FOC=90°， ∠1=40°，求∠2 和∠3 的度数． 第 5页（共 22页） 23．（12 分）已知：如图，∠AOB 是直角，∠AOC=40°，ON 是∠AOC 的平分线， OM 是∠BOC 的平分线． （1）求∠MON 的大小； （2）当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小是否发生改变？为什么？ 24．（12 分）如图是一个正方体的平面展开图，标注了 A 字母的是正方体的正面， 如果正方体的左面与右面标注的式子相等． （1）求 x 的值． （2）求正方体的上面和底面的数字和． 25．（14 分）如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点 A 落在 A′处，BC 为折痕， BD 平分∠A′BE，求∠CBD 的度数． 26．（14 分）如图，已知 C 是 AB 的中点，D 是 AC 的中点，E 是 BC 的中点． （1）若 DE=9cm，求 AB 的长； 第 6页（共 22页） （2）若 CE=5cm，求 DB 的长． 27．（14 分）一个角的余角比它的补角的 还少 20°，求这个角． 第 7页（共 22页） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）分别从正面、左面和上面这三个方向看下面的四个几何体，得到如图 所示的平面图形，那么这个几何体是（ ） A． B． C． D． 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出 此几何体为三棱柱． 【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个三角形， ∴此几何体为三棱柱． 故选 C． 【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是 柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状． 2．（3 分）从左面看图中四个几何体，得到的图形是四边形的几何体共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第 8页（共 22页） 【考点】简单几何体的三视图． 【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方 体是正方形，由此可确定答案． 【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视 图是圆，正方体的左视图是正方形， 所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体； 故选 B． 【点评】本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属 于基础题． 3．（3 分）如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是 （ ） A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 【考点】几何体的展开图． 【分析】根据正方体、圆锥、三棱柱、圆柱及其表面展开图的特点解题． 【解答】解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形 顺次是正方体、圆柱、三棱柱、圆锥． 故选 A． 【点评】可根据所给图形判断具体形状，也可根据所给几何体的面数进行判断． 4．（3 分）如图，对于直线 AB，线段 CD，射线 EF，其中能相交的图是（ ） A． B． C． D． 【考点】直线、射线、线段． 【分析】根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、直线 AB 与线段 CD 不能相交，故本选项错误； 第 9页（共 22页） B、直线 AB 与射线 EF 能够相交，故本选项正确； C、射线 EF 与线段 CD 不能相交，故本选项错误； D、直线 AB 与射线 EF 不能相交，故本选项错误． 故选 B． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记定义并准确识图是解题的关键． 5．（3 分）下面等式成立的是（ ） A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48° C．24°24′24″=24.44°D．41.25°=41°15′ 【考点】度分秒的换算． 【专题】计算题． 【分析】进行度、分、秒的加法、减法计算，注意以 60 为进制． 【解答】解：A、83.5°=83°50′，错误； B、37°12′36″=37.48°，错误； C、24°24′24″=24.44°，错误； D、41.25°=41°15′，正确． 故选 D． 【点评】此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单，注意以 60 为进制即可． 6．（3 分）下列语句： ①一条直线有且只有一条垂线； ②不相等的两个角一定不是对顶角； ③不在同一直线上的四个点可画 6 条直线； ④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角． 其中错误的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】垂线；直线、射线、线段；对顶角、邻补角． 【分析】根据垂线的性质可得①错误；根据对顶角的性质可得②正确；根据两点 第 10页（共 22页） 确定一条直线可得③错误；根据邻补角互补可得④正确． 【解答】解：①一条直线有且只有一条垂线，说法错误； ②不相等的两个角一定不是对顶角，说法正确； ③不在同一直线上的四个点可画 6 条直线，说法错误，应为 4 或 6 条； ④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，说法正确． 故选：B． 【点评】此题主要考查了垂线、邻补角、对顶角，关键是熟练掌握课本知识． 7．（3 分）如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，∠EOC=110°， 则∠BOD 的度数是（ ） A．25° B．35° C．45° D．55° 【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角． 【专题】计算题． 【分析】根据角平分线的定义求出∠AOC 的度数，再根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：∵OA 平分∠EOC，∠EOC=110°， ∴∠AOC= ∠COE=55°， ∴∠BOD=∠AOC=55°． 故选 D． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及对顶角相等的性质，认准图形是解 题的关键． 8．（3 分）如图，∠1+∠2 等于（ ） 第 11页（共 22页） A．60° B．90° C．110°D．180° 【考点】余角和补角． 【专题】计算题． 【分析】根据平角的定义得到∠1+90°+∠2=180°，即有∠1+∠2=90°． 【解答】解：∵∠1+90°+∠2=180°， ∴∠1+∠2=90°． 故选 B． 【点评】本题考查了平角的定义：180°的角叫平角． 9．（3 分）C 是线段 AB 上一点，D 是 BC 的中点，若 AB=12cm，AC=2cm，则 BD 的长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【考点】两点间的距离． 【分析】先求出 BC，再根据线段中点的定义解答． 【解答】解：∵AB=12cm，AC=2cm， ∴BC=AB﹣AC=12﹣2=10cm． ∵D 是 BC 的中点， ∴BD= BC= ×10=5cm． 故选 C． 【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，熟记概念是解 题的关键，作出图形更形象直观． 10．（3 分）甲乙两人各用一张正方形的纸片 ABCD 折出一个 45°的角（如图）， 两人做法如下： 甲：将纸片沿对角线 AC 折叠，使 B 点落在 D 点上，则∠1=45°； 乙：将纸片沿 AM、AN 折叠，分别使 B、D 落在对角线 AC 上的一点 P，则∠MAN=45°． 对于两人的做法，下列判断正确的是（ ） 第 12页（共 22页） A．甲乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲乙都错 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】甲沿正方形的对角线进行折叠，根据正方形对角线的性质，可得∠1=45°， 故甲的做法是正确的；乙进行折叠后，可得两对等角，而四个角的和为 90°，故 ∠MAN=45°是正确的，这样答案可得． 【解答】解：∵AC 为正方形的对角线， ∴∠1= ×90°=45°； ∵AM、AN 为折痕， ∴∠2=∠3，4=∠5， 又∵∠DAB=90°， ∴∠3+∠4= ×90°=45°． ∴二者的做法都对． 故选 A． 【点评】本题考查了图形的翻折问题；解答此类问题的关键是找着重合的角，结 合直角进行求解． 二、填空题（每空 3 分，共 30 分） 11．（3 分）如图，各图中的阴影部分绕着直线 l 旋转 360°，所形成的立体图形分 别是 圆柱；圆锥；球 ． 第 13页（共 22页） 【考点】点、线、面、体． 【分析】三角形旋转可得圆锥，长方形旋转得圆柱，半圆旋转得球，结合这些规 律直接连线即可． 【解答】解：根据分析可得：各图中的阴影图形绕着直线 l 旋转 360°，各能形成 圆柱、圆锥、球． 故答案为：圆柱、圆锥、球． 【点评】本题考查面动成体的知识，难度不大，熟记常见平面图形旋转可得到什 么立体图形是解决本题的关键． 12．（3 分）如图，以图中 A，B，C，D，E 为端点的线段共有 10 条． 【考点】直线、射线、线段． 【分析】分别写出各个线段即可得出答案． 【解答】解：图中的线段有：线段 AB，线段 AC，线段 AD，线段 AE，线段 BC， 线段 BD，线段 BE，线段 CD，线段 CE，线段 DE，线段共 10 条． 故答案为：10． 【点评】本题考查了直线上点与线段的数量关系，同学们可以记住公式：线段数 = ． 13．（3 分）如图所示：把两块完全相同的直角三角板的直角顶点重合，如果∠ AOD=128°，那么∠BOC= 52° ． 第 14页（共 22页） 【考点】角的计算． 【专题】计算题． 【分析】根据题意得到∠AOB=∠COD=90°，再计算∠BOD=∠AOD﹣90°=38°，然 后根据∠BOC=∠COD﹣∠BOD 进行计算即可． 【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°， 而∠AOD=128°， ∴∠BOD=∠AOD﹣90°=38°， ∴∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣38°=52°． 故答案为 52°． 【点评】本题考查了角的计算：1 直角=90°；1 平角=180°． 14．（3 分）如图，直线 AB，CD 相交于点 0，OE 平分∠AOD，若∠BOC=80°，则 ∠AOE= 40 °． 【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义． 【分析】根据对顶角相等可得∠AOD=80°，再根据角平分线的性质可得∠AOE 的 度数． 【解答】解：∵∠BOC=80°， ∴∠AOD=80°， ∵OE 平分∠AOD， ∴∠AOE=80°÷2=40°， 故答案为：40． 【点评】此题主要考查了角平分线定义，以及对顶角性质，关键是掌握对顶角相 等，角平分线平分角． 15．（3 分）如图是某几何体的平面展开图，则这个几何体是 三棱柱 ． 第 15页（共 22页） 【考点】几何体的展开图． 【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱． 【解答】解：由几何体展开图可知，该几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键． 16．（3 分）如图绕着中心最小旋转 90° 能与自身重合． 【考点】旋转对称图形． 【分析】该图形被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是 90°，并且圆具 有旋转不变性，因而旋转 90°的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，最少顺时针旋转 360°÷4=90°后，能 与其自身重合． 故答案为：90°． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度 后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心， 旋转的角度叫做旋转角． 17．（3 分）如图所示，一艘船从 A 点出发，沿东北方向航行至 B，再从 B 点出 发沿南偏东 15°方向航行至 C 点，则∠ABC 等于 60 度． 第 16页（共 22页） 【考点】方向角． 【分析】根据南北方向是平行的得出∠ABF=45°，再和∠CBF 相加即可得出答案． 【解答】解： ∵AE∥BF， ∴∠ABF= ∁ EAB=45°， ∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=45°+15°=60°， 故答案为：60． 【点评】本题考查了方向角和角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力． 18．（3 分）一个圆绕着它的直径只要旋转 180 度，就形成一个球体；半圆绕着 直径旋转 360 度，就可以形成一个球体． 【考点】点、线、面、体． 【分析】一个半圆围绕直径旋转一周，根据面动成体的原理即可解． 【解答】解：半圆绕它的直径旋转 360 度形成球． 故答案为 360． 【点评】本题考查了平面图形与立体图形的联系，培养学生的观察能力和空间想 象能力． 19．（3 分）已知∠A=40°，则它的补角等于 140° ． 【考点】余角和补角． 第 17页（共 22页） 【专题】计算题． 【分析】根据补角的和等于 180°计算即可． 【解答】解：∵∠A=40°， ∴它的补角=180°﹣40°=140°． 故答案为：140°． 【点评】本题考查了补角的知识，熟记互为补角的两个角的和等于 180°是解题的 关键． 20．（3 分）两条直线相交有 1 个交点，三条直线相交最多有 3 个交点， 最少有 1 个交点． 【考点】直线、射线、线段． 【分析】解析：两条直线相交有且只有 1 个交点；三条直线两两相交且不交于一 点时，有 3 个交点；当三条直线交于同一点时，有 1 个交点． 【解答】解：两条直线相交有 1 个交点， 三条直线相交最多有 3 个交点，最少有 1 个交点． 故答案为：1；3；1． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，主要利用了相交线的交点，是基础题． 三、解答题（21、22、26、27 小题各 12 分，23、24、25 题各 14 分，共 90 分） 21．（12 分）如图，若 CB=4cm，DB=7cm，且 D 是 AC 的中点，求线段 DC 和 AB 的长度． 【考点】两点间的距离． 【分析】根据线段的和差，CB、DB 的长，可得 DC 的长，根据线段中点的性质， 可得 AD 与 DC 的关系，根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：DC=DB﹣CB 第 18页（共 22页） =7﹣4=3（cm）； D 是 AC 的中点， AD=DC=3（cm）， AB=AD+DB =3+7 =10（cm）． 【点评】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段中点的性质是解题关键． 22．（12 分）如图所示，直线 AB、CD 相交于 O，OE 平分∠AOD，∠FOC=90°， ∠1=40°，求∠2 和∠3 的度数． 【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义． 【专题】计算题． 【分析】由已知∠FOC=90°，∠1=40°结合平角的定义，可得∠3 的度数，又因为 ∠3 与∠AOD 互为邻补角，可求出∠AOD 的度数，又由 OE 平分∠AOD 可求出∠ 2． 【解答】解：∵∠FOC=90°，∠1=40°，AB 为直线， ∴∠3+∠FOC+∠1=180°， ∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°． ∠3 与∠AOD 互补， ∴∠AOD=180°﹣∠3=130°， ∵OE 平分∠AOD， ∴∠2= ∠AOD=65°． 【点评】本题主要考查邻补角的概念以及角平分线的定义． 23．（12 分）已知：如图，∠AOB 是直角，∠AOC=40°，ON 是∠AOC 的平分线， 第 19页（共 22页） OM 是∠BOC 的平分线． （1）求∠MON 的大小； （2）当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小是否发生改变？为什么？ 【考点】角的计算；角平分线的定义． 【专题】计算题． 【分析】（1）根据∠AOB 是直角，∠AOC=40°，可得∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°， 再利用 OM 是∠BOC 的平分线，ON 是∠AOC 的平分线，即可求得答案． （2）根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC，又利用∠AOB 是直角，不改变，可得 ． 【解答】解：（1）∵∠AOB 是直角，∠AOC=40°， ∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°， ∵OM 是∠BOC 的平分线，ON 是∠AOC 的平分线， ∴ ， ． ∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°， （2）当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小不发生改变． ∵ = ， 又∠AOB 是直角，不改变， ∴ ． 【点评】此题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点的理解和掌握，难度 不大，属于基础题． 24．（12 分）如图是一个正方体的平面展开图，标注了 A 字母的是正方体的正面， 第 20页（共 22页） 如果正方体的左面与右面标注的式子相等． （1）求 x 的值． （2）求正方体的上面和底面的数字和． 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字． 【分析】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相 对面，然后列出方程求解即可； （2）确定出上面和底面上的两个数字 3 和 1，然后相加即可． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “A”与“﹣2”是相对面， “3”与“1”是相对面， “x”与“3x﹣2”是相对面， （1）∵正方体的左面与右面标注的式子相等， ∴x=3x﹣2， 解得 x=1； （2）∵标注了 A 字母的是正方体的正面，左面与右面标注的式子相等， ∴上面和底面上的两个数字 3 和 1， ∴3+1=4． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形， 从相对面入手，分析及解答问题． 25．（14 分）如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点 A 落在 A′处，BC 为折痕， BD 平分∠A′BE，求∠CBD 的度数． 第 21页（共 22页） 【考点】角的计算；翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据翻折变换的性质可得∠ABC=∠A′BC，再根据角平分线的定义可得∠ A′BD=∠EBD，再根据平角等于 180°列式计算即可得解． 【解答】解：由翻折的性质得，∠ABC=∠A′BC， ∵BD 平分∠A′BE， ∴∠A′BD=∠EBD， ∵∠ABC+∠A′BC+∠A′BD+∠EBD=180°， ∴∠A′BC+∠A′BD=90°， 即∠CBD=90°． 【点评】本题考查了角的计算，主要利用了翻折变换的性质，角平分线的定义， 熟记概念与性质是解题的关键． 26．（14 分）如图，已知 C 是 AB 的中点，D 是 AC 的中点，E 是 BC 的中点． （1）若 DE=9cm，求 AB 的长； （2）若 CE=5cm，求 DB 的长． 【考点】比较线段的长短． 【专题】计算题． 【分析】（1）根据中点的概念，可以证明：AB=2DE，故 AB 的长可求； （2）由 CE 的长先求得 BC 的长，再根据 C 是 AB 的中点，D 是 AC 的中点求得 CD 的长，最后即可求得 BD 的长． 【解答】解：（1）∵D 是 AC 的中点，E 是 BC 的中点， ∴AC=2CD，BC=2CE， ∴AB=AC+BC=2DE=18cm； （2）∵E 是 BC 的中点， ∴BC=2CE=10cm， ∵C 是 AB 的中点，D 是 AC 的中点， ∴DC= AC= BC=5cm， ∴DB=DC+CB=10+5=15cm． 第 22页（共 22页） 【点评】考查了线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解 题的关键，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关 键的一点． 27．（14 分）一个角的余角比它的补角的 还少 20°，求这个角． 【考点】余角和补角． 【专题】计算题． 【分析】首先根据余角与补角的定义，设这个角为 x，则它的余角为（90°﹣x）， 补角为（180°﹣x），再根据题中给出的等量关系列方程即可求解． 【解答】解：设这个角为 x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x）， 根据题意可，得 90°﹣x= （180°﹣x）﹣20°， 解得 x=75°． 故答案为 75°． 【点评】此题综合考查余角与补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先 用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求 解．