人教版七年级数学上册第二章整式的加减 导学案

人教版七年级数学上册第二章整式的加减 导学案

第二章　整式的加减 ‎2．1　单项式 ‎1．理解单项式及单项式系数、次数的概念；‎ ‎2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数；‎ ‎3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识．‎ 重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念；‎ 难点：区别单项式的系数和次数．‎ 一、温故知新 ‎1．列代数式：‎ ‎(1)边长为a的正方体的表面积为__6a2__，体积为__a3__；‎ ‎(2)铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，圆珠笔的单价是__2.5x__元；‎ ‎(3)一辆汽车的速度是v千米/小时，行驶t小时所走的路程是__vt__千米；‎ ‎(4)设n是一个数，则它的相反数是__－n__．‎ ‎2．请学生说出所列代数式的意义．‎ ‎3．请学生观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征．(由小组讨论后，经小组推荐人员回答)‎ 二、自主学习 ‎1．单项式 通过上述特征的描述，从而概括单项式的概念：‎ 单项式：即由__数__与__字母__的乘积组成的代数式称为单项式．‎ 补充：单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5.‎ ‎2．练习：判断下列代数式哪些是单项式？‎ ‎(1)；　(2)abc；　(3)b2；　(4)－5ab2；‎ ‎(5)y＋x；　(6)－xy2；　(7)－5.‎ 解：是单项式的有(填序号)：(2)(3)(4)(6)(7)．‎ ‎3．单项式的系数和次数 四个单项式a2h，2πr，abc，－m中，请说出它们的系数和次数分别是什么？‎ 单项式 a2h ‎2πr abc ‎－m 系数 ‎2π ‎1‎ ‎－1‎ 次数 ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ 小结：一个单项式中，单项式中的数字因数称为这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．‎ ‎4．学生阅读课本P57，完成例3.‎ ‎1．课本P57练习1，2题．‎ ‎2．判断下列各代数式是否是单项式．如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数．‎ ‎①x＋1；②；③πr2；④－a2b.‎ 答：①②不是，它们不是数字与字母积的形式．③④是，③的系数是π，次数是2，④的系数是－，次数是3.‎ ‎3．下面各题的判断是否正确？‎ ‎①－7xy2的系数是7；(　×　)‎ ‎②－x2y3与x3没有系数；(　×　)‎ ‎③－ab3c2的次数是0＋3＋2；(　×　)‎ ‎④－a3的系数是－1；(　√　)‎ ‎⑤－32x2y3的次数是7；(　×　)‎ ‎⑥πr2h的系数是.(　×　)‎ ‎1．单项式：‎ ‎2．单项式的系数和次数：‎ ‎3．通过例题及练习，应注意以下几点：‎ ‎①圆周率π是常数；‎ ‎②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；‎ ‎③单项式次数只与字母指数有关．‎ ‎2．1　多项式 ‎1．通过本节课的学习，使学生掌握多项式的项及其次数、常数项的概念；‎ ‎2．能确定一个多项式的项数及其次数．‎ 重点：多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念；‎ 难点：多项式的次数．‎ 一、温故知新 ‎1．下列说法或书写是否正确：‎ ‎①1x(×)　②－1x(×)　③a×3(×)‎ ‎④a÷2(×)　⑤1xy2(×)　⑥b的系数为1，次数为0(×)　⑦2πR的系数为2，次数为2(×)‎ ‎2．列代数式：‎ ‎(1)长方形的长与宽分别为a，b，则长方形的周长是2a＋2b；‎ ‎(2)某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生(21＋x)人；‎ ‎(3)一个数比x的2倍小3，则这个数为2x－3；‎ ‎(4)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头(a＋b)个，脚(2a＋4b)只．‎ ‎3．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别．(由小组讨论后，经小组推荐人员回答)‎ 二、自主学习 ‎1．多项式 学生阅读课本P58完成下列问题：‎ 上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的．像这样，几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的__项__．其中，不含字母的项叫做常数项．‎ 例如，多项式有3x2－2x＋5有__三__项，它们是3x2，－2x，5．其中常数项是__5__．一个多项式含有几项，就叫几项式．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．例如，多项式3x2－2x＋5是一个__二__次__三__项式．‎ 问题：‎ ‎(1)多项式的次数是所有项的次数之和吗？‎ ‎(2)多项式的每一项都包括它前面的符号吗？‎ 例题讲解 例1　指出下列多项式的项和次数：‎ ‎(1)3x－1＋3x2；‎ 解：项分别为3x，－1，3x2，次数为2；‎ ‎(2)4x3＋2x－2y2.‎ 解：项分别为4x3，2x，－2y2，次数为3.‎ 例2　已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m，n的条件．‎ 解：由题意得n＝3，m－1＝0，‎ ‎∴n＝3，m＝1.‎ ‎2．自学书本例4.(教师指导)‎ 注：单项式与多项式统称整式．‎ ‎1．课本P58练习1，2题．(直接做在课本上)‎ ‎2．指出下列多项式是几次几项式．‎ ‎(1)x3－x＋1；‎ 解：三次三项式；‎ ‎(2)x3－2x2y2＋3y2.‎ 解：四次三项式．‎ ‎3．用多项式表示：‎ ‎(1)一辆汽车以x千米/小时行驶d小时，若速度加快10千米/小时，则可多行多少千米？‎ 解：d(10＋x)－dx；‎ ‎(2)一批运动服按原价85%(八五折)出售，每套售价为y元，则这批运动服装原价为多少？‎ 解：y÷0.85＝y.‎ ‎1．你知道多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念了吗？‎ ‎2．整式的概念：单项式与多项式统称整式．‎ ‎2．2　同类项 ‎1．理解同类项的概念，在具体情景中，认识同类项；‎ ‎2．初步体会数学与人类生活的密切联系．‎ 重点：理解同类项的概念；‎ 难点：根据同类项的概念，在多项式中找同类项．‎ 一、温故知新 ‎1．运用有理数的运算律计算：‎ ‎(1)100×2＋252×2＝2×(100＋252)＝704；‎ ‎(2)100×(－2)＋252×(－2)＝(－2)×(100＋252)＝－704；‎ ‎(3)100t＋252t＝352t．‎ 思路点拨：反用分配律可得．‎ ‎2．请根据上面得到结论的方法，探究下面各式的结果：‎ ‎(1)100t－252t＝(－152)t；‎ ‎(2)3x2＋2x2＝(　5　)x2；‎ ‎(3)3ab2－4ab2 ＝ (　－　)ab2.‎ 上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？‎ 二、自主学习 同类项的定义：‎ ‎1．观察：3x2和2x2，3ab2与－4ab2在结构上有哪些相同点和不同点？‎ ‎2．归纳：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．如3和－5是同类项．‎ ‎1．判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”．‎ ‎(1)3x与3mx是同类项．(　×　)‎ ‎(2)2ab与－5ab是同类项．(　√　)‎ ‎(3)3x2y与－yx2是同类项．(　√　)‎ ‎(4)5ab2与－2ab2c是同类项. (　×　)‎ ‎(5)23与32是同类项．(　√　)‎ ‎2．下列各组式子中，是同类项的是(　B　)‎ A．3x2y与－3xy2　　　　　B．3xy与－2yx C．2x与2x2 D．5xy与5y2‎ ‎3．在下列各组式子中，不是同类项的一组是(　B　)‎ A．2，－5　　　　　B．－0.5xy2，3x2y C．－3t，200πt D．ab2，－b2a ‎4．已知xmy2与－5ynx3是同类项，则m＝__3__，n＝__2__.‎ ‎5．指出下列多项式中的同类项：‎ ‎(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5；‎ 同类项是：3x与－2x，－2y与3y，＋1与－5；‎ ‎(2)3x2y－2xy2＋xy2－yx2.‎ 同类项是：3x2y与－yx2，－2xy2与xy2.‎ ‎6．游戏 规则：一学生说出一个单项式后，指定一位同学回答它的两个同类项．要求出题同学尽可能使自己的题目与众不同．请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的经验，从而揭示同类项的本质特征，透彻理解同类项的概念．‎ ‎1．同类项的概念：‎ ‎2．注意：‎ 两个相同：字母相同；相同字母的指数相同．‎ 两个无关：与系数无关；与字母顺序无关．‎ 所有的常数项都是同类项．‎ 两个项虽然所含字母相同，但相同字母的指数不全相同就不是同类项．‎ ‎1．若5x3ym和－9xn＋1y2是同类项，则m＝__2__，n＝__2__.‎ ‎2．若把(s＋t)、(s－t)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项．‎ ‎(1)(s＋t)－(s－t)－(s＋t)＋(s－t)；‎ 解：(s＋t)与－(s＋t)，－(s－t)与(s－t)；‎ ‎(2)2(s－t)＋3(s－t)2－5(s－t)－8(s－t)2＋(s－t)．‎ 解：2(s－t)，－5(s－t)与(s－t)，3(s－t)2与－8(s－t)2.‎ ‎3．观察下列一串单项式的特点：‎ xy，－2x2y，4x3y，－8x4y，16x5y，…‎ ‎(1)按此规律写出第6个单项式．‎ ‎(2)试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？‎ 解：(1)－32x6y　(2)(－2)n－1xny，系数是(－2)n－1，次数是n＋1.‎ ‎2．2　合并同类项 理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则．‎ 正确合并同类项．‎ 一、温故知新 ‎1．下列各组式子中是同类项的是(　C　)‎ A．－2a与a2　　　　　B．2a2b与3ab2‎ C．5ab2c与－b2ac D．－ab2和4ab2c ‎2．思考：‎ ‎(1)6个人＋4个人＝________________；‎ ‎(2)6只羊＋4只羊＝________________；‎ ‎(3)6个人＋4只羊＝________________．‎ 二、自主学习 ‎1．思考：具备什么特点的多项式可以合并呢？‎ 要有同类项 ‎2．因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律，把多项式中的同类项进行合并．例如，‎ ‎4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2(找出多项式中的同类项)‎ ‎＝4x2－8x2＋2x＋3x＋7－2(交换律)‎ ‎＝(4x2－8x2)＋(2x＋3x)＋(7－2)(结合律)‎ ‎＝(4－8)x2＋(2＋3)x＋(7－2)(分配律)‎ ‎＝－4x2＋5x＋5‎ 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．‎ ‎3．合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？‎ 归纳：‎ ‎(1)合并同类项法则：‎ 在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．‎ ‎(2)若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，如－3ab2＋3ab2＝(－3＋3)ab2＝0·ab2＝0.‎ 多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．‎ 例1.合并下列各式的同类项：‎ ‎(1)xy2－xy2；‎ ‎(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；‎ ‎(3)4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.‎ 解：(1)xy2；(2)－x2y＋xy2；(3)－b2＋2ab.‎ 例2.(1)求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x＝；‎ ‎(2)求多项式3a＋abc－c2－3a＋c2的值，其中a＝－，b＝2，c＝－3.‎ 解：(1)2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2(仔细观察，标出同类项)‎ 合并同类项，原式＝－x－2.‎ 当x＝时，原式＝－－2＝－.‎ ‎(2)3a＋abc－c2－3a＋c2.‎ 合并同类项，原式＝abc.‎ 当a＝－，b＝2，c＝－3时，原式＝1.‎ ‎1．下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正．‎ ‎(1)2x2＋3x2＝5x4；‎ 改：5x2‎ ‎(2)3x＋2y＝5xy；‎ 不是同类项 ‎(3)7x2－3x2＝4；‎ 改：4x2‎ ‎(4)9a2b－9ba2＝0.‎ 对 ‎2．课本P65，练习第1，2，3，4题．‎ ‎(教师巡视，关注中下程度的学生，适时给予指导，学生独立练习，‎ 选择中等程度的学生上黑板演算)．‎ ‎1．什么叫合并同类项？‎ ‎2．怎样合并同类项？‎ ‎3．合并同类项的依据是什么？‎ ‎2．2　去括号 能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．‎ 重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简；‎ 难点：括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误．‎ 一、温故知新 ‎1．合并同类项：‎ ‎(1)7a－3a；　　　　　(2)4x2＋2x2；‎ 解：4a; 解：6x2；‎ ‎(3)5ab2－13ab2; (4)－9x2y3＋9x2y3.‎ 解：－8ab2; 解：0.‎ 二、自主探究 ‎1．利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？现在我们来看本章引言中的问题(3)：‎ 在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时间为(t－0.5)小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120(t－0.5)千米，因此，这段铁路全长为100t＋120(t－0.5)千米①，冻土地段与非冻土地段相差：100t－120(t－0.5)千米②.‎ 上面的式子①②都带有括号，它们应如何化简？‎ ‎100t＋120(t－0.5)＝100t＋120t－60＝220t－60，‎ ‎100t－120(t－0.5)＝100t－120t＋60＝－20t＋60.我们知道，化简带有括号的整式，应首先去括号．上面两式去括号部分变形分别为：‎ ‎＋120(t－0.5)＝120t－60，　③‎ ‎－120(t－0.5)＝－120t＋60.　④‎ 比较③④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？‎ 归纳去括号的法则：‎ 法则1：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；‎ 法则2：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．‎ 特别地，＋(x－3)与－(x－3)可以分别看作1与－1分别乘(x－3)．‎ ‎2．范例学习 例4.化简下列各式：‎ ‎(1)8a＋2b＋(5a－b)；‎ 解：原式＝13a＋b；‎ ‎(2)(5a－3b)－3(a2－2b)．‎ 解：原式＝－3a2＋5a＋3b.‎ 例5.两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，‎ 两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时．‎ ‎(1)2小时后两船相距多远？‎ ‎(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米？‎ 解：(1)2(50＋a)＋2(50－a)＝100＋2a＋100－2a＝200.‎ ‎(2)2(50＋a)－2(50－a)＝100＋2a－100＋2a＝4a 去括号时强调：括号内每一项都要乘以2，括号前是负因数时，去掉括号后，括号内每一项都要变号．为了防止出错，可以先用分配律将数字2与括号内的各项分别相乘，然后再去括号，熟练后，再省去这一步，直接去括号．‎ ‎1．课本P67练习1，2题．‎ 去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项，可利用分配律来理解．‎ ‎2．2　整式的加减 让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性，并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算．‎ 重点：正确进行整式的加减；‎ 难点：总结出整式的加减的一般步骤．‎ 一、温故知新 ‎1．多项式中具有什么特点的项可以合并，怎样合并？‎ ‎2．如何去括号，它的依据是什么？‎ 二、自主学习 例6　计算：‎ ‎(1)(2x－3y)＋(5x＋4y)；‎ 解：原式＝2x－3y＋5x＋4y ‎＝(2x＋5x)＋(－3y＋4y)‎ ‎＝7x＋y；‎ ‎(2)(8a－7b)－(4a－5b)．‎ 解：原式＝8a－7b－4a＋5b ‎＝8a－7b－4a＋5b ‎＝4a－2b.‎ ‎(解答由学生自己完成，教师巡视，关注学习有困难的学生)．‎ 例7　一种笔记本的单价是x(元)，圆珠笔的单价是y(元)，小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2枝；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3枝，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明共花费多少钱？‎ 解：(3x＋2y)＋(4x＋3y)‎ ‎　＝7x＋5y 例8　做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：厘米)：‎ 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 ‎1.5a ‎2b ‎2c ‎(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米？‎ ‎(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？‎ ‎(学生分小组学习，讨论解题方法．)‎ ‎(思路点拨：让学生自己归纳整式加减的运算法则，提高表达能力．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．)‎ 例9　求x－2(x－y2)＋(－x＋y2)的值，其中x＝－2，y＝.‎ ‎(思路点拨：先去括号，合并同类项化简后，再代入数值进行计算比较简便，去括号时，特别注意符号问题．)‎ 解答过程见课本 ‎1．课本P69练习1，2，3题．‎ ‎1．整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合．‎ ‎2．整式的加减的一般步骤：‎ ‎①如果有括号，那么先去括号；②如果有同类项，则合并同类项．‎ ‎3．求多项式的值，一般先将多项式化简再代入求值，这样可使计算简便．‎ 第二章　整式的加减复习 ‎1．进一步理解单项式、多项式、整式及其有关概念，准确确定单项式的系数、次数、多项式的项、次数；‎ ‎2．理解同类项概念，掌握合并同类项法则和去括号法则，熟练地进行整式加减．‎ 整式加减运算．‎ 知识回顾 ‎1．单项式和多项式统称整式．‎ ‎(1)单项式：__数__与字母乘积的形式称为单项式．单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5.‎ 单项式的系数：单项式里的数字因数叫做单项式的系数．‎ 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．‎ ‎(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的__项__，不含字母的项叫做常数项．‎ 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做多项式的次数．‎ ‎2．同类项必须同时具备的两个条件(缺一不可)：‎ ‎①所含的字母相同；‎ ‎②相同字母的指数也相同．‎ 方法：把各项的系数相加，而字母部分不变．‎ ‎3．去括号法则 法则1：__________________________；‎ 法则2：__________________________．‎ 去括号法则的依据实际是分配律．‎ ‎4．整式的加减 整式的加减的运算法则：如遇到括号，则先去括号，再合并同类项．‎ ‎5．本章需要注意的几个问题 ‎①整式(即单项式和多项式)中，分母一律不能含有字母；‎ ‎②π不是字母，而是一个数字；‎ ‎③多项式相加(减)时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算；‎ ‎④去括号时，要特别注意括号前面的因数．‎ ‎1．在xy，－3，－x3＋1，x－y，－m2n，，4－x2，ab2，，中，单项式有：xy，－3，－m2n，ab2，；多项式有：－x3＋1，x－y，4－x2；整式有：xy，－3，－m2n，ab2，，－x3＋1，x－y，4－x2．‎ ‎2．已知－7x2ym是7次单项式，则m＝__5__．‎ ‎3．一种商品每件a元，按成本增加20%定出的价格是1.2a；后来因库存积压，又以原价的八五折出售，则现价是1.02a元，每件还能盈利0.02a元．‎ ‎4．单项式－的系数是－，次数是__3__．‎ ‎5．已知－5xmy3与4x2yn能合并，则mn＝__8__．‎ ‎6．7－2xy－3x2y3＋5x3y2z－9x4y3z2是__九__次__五__项式，其中最高次项是－9x4y3z2，最高次项的系数是－9，常数项是__7__，是按字母__x__作__升__幂排列．‎ ‎7．已知x－y＝5，xy＝3，则3xy－7x＋7y＝－26．‎ ‎8．已知A＝3x＋1，B＝6x－3，则3A－B＝3x＋6．‎ ‎9．已知单项式3amb2与－a4bn－1的和是单项式，那么m＝__4__，n＝__3__‎ ‎10．化简3x－2(x－3y)的结果是x＋6y．‎ ‎11．计算：‎ ‎(1)3(xy2－x2y)－2(xy＋xy2)＋3x2y；‎ 解：原式＝3xy2－3x2y－2xy－2xy2＋3x2y　　　　　 ＝xy2－2xy；‎ ‎(2)5a2－[a2＋(5a2－2a)－2(a2－3a)]．‎ 解：原式＝5a2－(a2＋5a2－2a－2a2＋6a)‎ ‎　 ＝5a2－4a2－4a ‎　 ＝a2－4a.‎ 思路点拨：整式加减运算，有括号时，应先去括号，再合并同类项．多种括号时，一般地先去小括号，再去中括号，最后再去大括号．‎ ‎12．求5ab－2[3ab－ (4ab2＋ab)]－5ab2的值，其中a＝，b＝－.‎ 解：5ab－2[3ab－(4ab2＋ab)]－5ab2‎ ‎　＝5ab－2(3ab－4ab2－ab)－5ab2‎ ‎　＝5ab－5ab＋8ab2－5ab2‎ ‎　＝3ab2.‎ 当a＝，b＝－时，原式＝3××(－)2＝×＝.‎ ‎13．电影院第1排有a个座位，后面每排都比前一排多1个座位，第2排有多少个座位？第3排呢？用m表示第n排座位数，m是多少？当a＝20，n＝19时，计算m的值．‎ 解：第2排有(a＋1)个座位，第3排有(a＋2)个座位，第n排m＝a＋n－1.‎ 当a＝20，n＝19时，m＝20＋19－1＝38.‎ ‎14．某中学3名老师带18名学生，门票每张a元，有两种购买方式：第一种是老师每人a元，学生半价；第二种是不论老师学生一律七五折，请你帮他们算一下，按哪种方式购买门票比较省钱．‎ 解：第一种方式：3a＋18×a＝12a；‎ 第二种方式：(3＋18)·0.75a＝a.‎ ‎∵12a＜a，‎ ‎∴第一种购买方式比较省钱．‎