人教版七年级数学上册第三章3.4实际问题与一元二次 方程

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人教版七年级数学上册第三章3.4实际问题与一元二次 方程

第三章 一元一次方程 3.4实际问题与一元二次 方程 第4课时 1. 体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用, 能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费 问题”进行整体分析,从而得出整体选择方案. (重点、难点) 2. 进一步深化对数学建模方法的体验,增强应用 方程模型解决问题的意识和能力.(重点) 学习目标 讲授新课 互动探究 下表中有两种移动电话计费方式: 免费0.1935088方式二 免费0.2515058方式一 被叫 主叫超时 费/(元/分) 主叫限定 时间/分 月使用 费/元 电话计费问题 想一想 你觉得哪种计费方式更省钱? 填填下面的表格,你有什么发现? 主叫时间(分) 100 150 250 300 350 450 方式一计费(元) 方式二计费(元) 58 58 83 95.5 108 133 88 88 88 88 88 107 计费方式一 0 加超时费0.19元/分基本费88元 基本费58元 加超时费0.25元/分 150分 350分 计费方式二 哪种计费方式更省钱与“主叫时间有关”. 考虑 t 的取值时,两个主叫限定时间 150 min和 350 min是不同时间范围的划分点. 计费时首先要看主叫是否超过限定时间, 主叫不超过限定时间,月使用费一定; 主叫超过限定时间,超时部分加收超时费. 问题1 设一个月内移动电话主叫为 t min (t是正整 数),列表说明:当 t 在不同时间范围内取值时,按 方式一和方式二如何计费. 当 t 在不同时间范围内取值时,方式一和方式二 的计费如下表: 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 t 等于150 t 大于150且小于 350 t 等于350 t 大于350 58 88 58 88 58+0.25(t-150) 88 88108 58+0.25(t-150) 88+0.19(t-350) 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 58 88 t 等于150 58 88 t 大于150且小于 350 58+0.25(t-150) 88 t 等于350 108 88 t 大于350 58+0.25(t-150) 88+0.19(t-350) 问题2 观察你的列表,你能从中发现如何根据主叫时 间选择省钱的计费方式吗?通过计算验证你的看法. 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 小于150 58 88 t 等于150 58 88 ①当t ≤150时,方式一计费少(58元); (1) 比较下列表格的第2、3行,你能得出什么结论? < < 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 等于150 58 88 t 大于150且小于 350 58+0.25(t-150) 88 t 等于350 108 88 (2) 比较下列表格的第2、4行,你能得出什么结论? > < 当t 大于150且小于 350时,存在某一个值,使得两种方式计费 相等. 依题意 ,得58+0.25(t-150) = 88, 解得 t =270. 主叫时间t /分 方式一计费/元 方式二计费/元 t 大于350 58+0.25(t-150) 88+0.19(t-350) 解析:当t>350分时,方式一的计费其实就是在108元的基 础上,加上超过350分部分的超时费[0.25(t-350)]. (3) 当t >350分时,两种计费方式哪种更合算呢? 当t >350时, 方式一: 58+0.25(t-150)= 108+0.25(t-350), 方式二: 88+0.19(t-350), 所以,当t >350分时,方式二计费少. 加超时费0.19元/分基本费88元 加超时费0.25元/分 基本费58元 3500 150 计费方式一 计费方式二 108 88 58 88 ( t 是正整数) t /分 88 88 270 综合以上的分析,可以发现: 时,选择方式一省钱; 时,选择方式二省钱; 时,方式一、方式二均可. t 小于 270 t 大于 270 t 等于 270 (1)回顾问题的解决过程,谈谈你的收获. (2)解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些? 本题中运用了哪些方法突破这些难点? (3)电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程 解决了什么问题? 想一想 列表分析 借助数轴 审 题 分类讨论 更 优 惠 费 用 相 同 列 方 程 用 未 知 数 表 示 费 用 设 未 知 数 如何比较两个 代数式的大小 要找不等关系 先找等量关系 例 小明和小强为了买同一种火车模型,决定从春节 开始攒钱,小明原有200元,以后每月存50元;小强 原有150元,以后每月存60元.设两人攒钱的月数为x (个)(x为整数). (1)根据题意,填写下表: 攒钱的月数/个 3 6 … x 小明攒钱的总 数/元 350 … 小强攒钱的总 数/元 510 …330 500 200+50x 150+60x (2)在几个月后小明与小强攒钱的总数相同? 此时他们各有多少钱? (2) 根据题意,得200+50x=150+60x, 解得x=5. 所以150+60x=450. 答:在5个月后小明与小强攒钱的总数相同, 此时每人有450元钱. (3)若这种火车模型的价格为780元,他们谁能够 先买到该模型? (3) 根据题意,由200+50x=780,解得x=11.6, 故小明在12个月后攒钱的总数超过780元. 由150+60x=780,解得x=10.5, 故小强在11个月后攒钱的总数超过780元. 所以小强能够先买到该模型. 方法总结:解决此类问题的关键是能够根据已知条 件找到合适的分段点,然后建立方程模型分类讨论, 从而得出整体选择方案. 做一做 移动公司推出两种智能手机上网流量包: 月使用费 (元) 含上网流量 (M) 流量超出部分 (元/M) A种 30 320 0.2 B种 50 550 0.1 如何选择流量包更划算? 解:设一个月内使用的流量为 x M,根据题意,当x 在不同范围内取值时,两种流量包计费如下表: 使用流量 x(M) A种计费(元) B种计费(元) x小于等于320 30 50 x大于320且小于550 30+0.2(x-320) 50 x等于550 76 50 x大于550 30+0.2(x-320) 50+0.1(x-550) (1) 当 x ≤ 320 时,流量包A 计费少(30元); (2) 当 320<x<420 时,流量包A 计费少(<50元); (3) 当 x = 420时,两种流量包计费相等,都是50元; (4) 当 420<x<550 时,流量包B 计费少(50元); (5) 当 x = 550 时,流量包B 计费少(50元); (6) 当 x>550 时,流量包B 计费少. 综上所述, 当月使用流量小于 420 M 时,选择流量包A 划算; 当月使用流量等于 420 M 时,两种流量包费用一样; 当月使用流量大于 420 M 时,选择流量包B 划算. 1.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是:每户用 水不超过5吨,每吨水费x元;超过5吨,超过部分每 吨加收2元,小明家今年5月份用水9吨,共交水费为 44元,根据题意列出关于x的方程正确的是(  ) A.5x+4(x+2)=44 B.5x+4(x-2)=44 C.9(x+2)=44 D.9(x+2)-4×2=44 当堂练习 A 2. 某市为鼓励居民节约用水,对自来水用户按分段 计费方式收取水费:若每户每月用水不超过 7m3, 则按 2 元/m3 收费;若每户每月用水超过 7 m3, 则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年 12月缴纳了 53 元水费,那么这户居民去年12月 的用水量为_______m3.20 3. 某市生活拨号上网有两种收费方式,用户可以任选 其一. A计时制:0.05 元/分钟;B包月制:60 元/月 (限一部个人住宅电话上网). 此外,两种上网 方式都得加收通信费 0.02 元/分钟. (1) 某用户某月上网时间为x小时,请分别写出两种 收费方式下该用户应该支付的费用; (2) 你认为采用哪种方式比较合算? 解:(1) 采用计时制:(0.05+0.02)×60x=4.2x, 采用包月制:60+0.02×60x=60+1.2x; (2) 由 4.2x = 60+1.2x,得 x=20. 又由题意可知,上 网时间越长,采用包月制越合算.所以, 当 0 < x < 20 时,采用计时制合算; 当 x=20 时,采用两种方式费用相同; 当 x > 20 时,采用包月制合算. 4. 用A4纸在某复印社复印文件,复印页数不超过20 时每页收费0.12元;复印页数超过20时,超过部 分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件, 不论复印多少页,每页收费0.1元. 问:如何根据 复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜? (复印的页数不为零) 复印页数x 复印社复印费用/元 图书馆复印费用/元 x 小于20 0.12x 0.1x x 等于20 0.12×20=2.4 0.1×20=2 x 大于20 2.4+0.09(x-20) 0.1x 解:设复印页数为x,依题意,列表得: (1) 当 x <20 时,0.12x 大于 0.1x 恒成立,图书馆价 格便宜; (2) 当 x = 20 时,图书馆价格便宜; (3) 当 x 大于20时,依题意得 2.4+0.09(x-20) = 0.1x. 解得 x = 60 所以,当x大于20且小于60时,图书馆价格便宜; 当x等于60时,两者价格相同; 当x大于60时,复印社价格便宜. 综上所述:当 x 小于60页时,图书馆价格便宜; 当 x 等于60时,两者价格相同; 当 x 大于60时,复印社价格便宜. 5. 小明可以到甲或乙商店购买练习本.已知两商店的标 价都是每本1元,甲商店的优惠方法是:购买10本 以上时,从第11本开始按标价的70%出售;乙商店 的优惠方法是:从第一本开始就按标价的80%出售. (1) 小明要买20本时,到哪家商店购买省钱; (2) 买多少本时,到两个商店花的钱一样多; (3) 小明现有24元钱,最多可买多少本练习本. 答案:(1) 小明要买 20 本时,到乙家商店购买省钱; (2) 买 30 本时,到两个商店花的钱一样多; (3) 小明现有 24 元钱,最多可买 30 本练习本. 课堂小结 1. 解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省 钱”与“主叫时间”有关. 2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适 的分段点,然后建立方程模型分类讨论,从而 得出整体选择方案.
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