【精品讲义】人教版 七年级下册数学 专题9

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第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式 1．不等式的概念 像 3>2，2x<3 这样用符号“<”或“>”表示__________的式子，叫做不等式．像 a+2≠a-2 这样用符号 “≠”表示不等关系的式子也是不等式. 用不等号（“<”，“>”,“≥”，“≤”，“≠”）连接的式子，叫做不等式． 常见的不等号 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 1+2<4 > 大于号 大于、高出 大于 2+1>1 ≤ 小于等于号 不大于、不超过、至多 小于或等于 x≤3 ≥ 大于等于号 不小于、不低于、至少 大于或等于 x≥5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 2≠3 判断一个式子是不是不等式，主要看它是否含有常用的五种不等号中的一种或几种，若有，则是；否则 不是． 2．不等式的解及不等式的解集 1．不等式的解：使不等式成立的__________叫做不等式的解． 2．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的__________．求 __________的过程叫做解不等式． 3．用数轴表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数 轴上直观地表示出来．一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况（设 a<0）． 不等式的解集 x>a x–3，显然不成立． B、把 x=–1 代入 2x–1＝–3，显然成立． C、把 x=–1 代入–2x+1=3，显然成立． D、把 x=–1 代入–2x–1=1<3 显然成立． 故选 A． 三、不等式的解集在数轴上的表示 步骤：第一步，画数轴；第二步，定界点；第三步，定方向． 规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画. 【例 3】不等式__________的解集在数轴上的表示如图所示． A．x–3<0 B．x–3≤0 C．x–3>0 D．x–3≥0 【答案】C 【解析】如图所示： A、x–3<0，解得：x<3，不合题意； B、x–3≤0，解得：x≤3，不合题意； C、x–3>0，解得：x>3，符合题意； D、x–3≥0，解得：x≥3，不合题意； 故选 C． 四、不等式的性质 不等式的三个性质是不等式变形的重要依据．不等式的性质和等式的性质基本类似，其中性质 3 是不 等式特有的性质，容易出错.当不等式两边同乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变.反过来，若一 个不等式在乘（或除以）一个数之后，不等号的方向改变了，则这个数是负数；若不等号的方向未改 变，则这个数是正数． 【例 4】已知 3a>–6b，则下列不等式一定成立的是 A．a+1>–2b–1 B．–a–2 【答案】A 【解析】∵3a>–6b，∴a>–2b，∴a+1>–2b+1， 又–2b+1>–2b–1，∴a+1>–2b–1，故选 A． 1．不等式 x≥–1 的解在数轴上表示为 A． B． C． D． 2．“x 的 2 倍与 3 的差不大于 8”列出的不等式是 A． 2 3 8x   B． 2 3 8x   C． 2 3 8x   D． 2 3 8x   3．下列不等式中是一元一次不等式的是 ①2x–1＞1；②3+ 1 2 x<0；③x≤2.4；④ 1 x <5；⑤1＞–2；⑥ 3 x –1<0. A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 4．用不等式表示“x 的 2 倍与 3 的和大于 10”是___________． 5．若 1 1 2 3x   ，则 x___________ 2 3 . 6．一个长方形的长为 x 米，宽为 50 米，如果它的周长不小于 280 米，那么 x 应满足的不等式为____________． 7．用适当的不等式表示下列不等关系： （1）x 减去 6 大于 12； （2）x 的 2 倍与 5 的差是负数； （3）x 的 3 倍与 4 的和是非负数； （4）y 的 5 倍与 9 的差不大于 1 ； 8．用“>”或“<”填空： （1）如果 a–b3b，那么 a________b； （3）如果–a<–b，那么 a________b； （4）如果 2a＋1<2b＋1，那么 a________b. 9．把下列不等式化为“x＞a”或“x5 的一个解 B．x=2 是不等式 3x>5 的唯一解 C．x=2 是不等式 3x>5 的解集 D．x=2 不是不等式 3x>5 的解 11．用不等式表示图中的解集，其中正确的是 A．x＞–3 B．x<–3 C．x≥–3 D．x≤–3 12．已知 ax<2a(a≠0)是关于 x 的不等式，那么它的解集是 A．x<2 B．x＞–2 C．当 a＞0 时，x<2 D．当 a＞0 时，x<2；当 a<0 时，x＞2 13．不等式 y+3>4 变形为 y>1，这是根据不等式的性质__________，不等式两边同时加上__________． 14．若 a 1 3  两边都乘以−2 得：x< 2 3 .故答案为：<. 6．【答案】2(x＋50)≥280 【解析】∵一个长方形的长为 x 米，宽为 50 米， ∴周长为 2(x＋50)米， ∴周长不小于 280 米可表示为 2(x＋50)≥280， 故答案为 2(x＋50)≥280. 7．【解析】（1）由题意可得：x–6＞12； （2）由题意可得：2x–5<0； （3）由题意可得：3x+4≥0； （4）由题意可得：5y–9≤–1． 8．【解析】（1）由 a–b；>. 15．【答案】a＞3 【解析】因为不等号没有改变方向，所以 a–3＞0，则 a＞3，故答案为 a＞3. 16．【解析】（2）②； （2）错误地运用了不等式的基本性质 3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）因为 a＞b，所以–2019a<–2019b， 故–2019a＋1<–2019b＋1. 17．【解析】不等式的解集中不一定有无数多个数. |x|≤0 的解集是 x=0，x2<0 无解. x2＞0 的解集为 x＞0 或 x<0， x2+4＞0 的解集为一切实数. 18．【答案】B 【解析】A、将 m＞n 两边都减 2 得：m–2＞n–2，此选项错误； B、将 m＞n 两边都除以 4 得： 4 m ＞ 4 n ，此选项正确； C、将 m＞n 两边都乘以 6 得：6m＞6n，此选项错误； D、将 m＞n 两边都乘以–8，得：–8m<–8n，此选项错误； 故选 B． 19．【答案】D 【解析】A、在不等式 a

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