河北省2021届高三上学期10月联考数学试题 Word版含答案

河北省2021届高三上学期10月联考数学试题 Word版含答案

2020~2021 学年河北省高三年级上学期 10 月联考 数学 考生注意； 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。 2.请将各题答案填写在答题卡上。 3.本试卷主要考试内容：集合，逻辑，函数，导数，三角函数，向量，数列，不等式。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合  0 2 5A x x    ，  2 4B x x  ，则 A B  A. 2,3 B. 2,3 C. 2,2 D. 2,2 2.已知向量  1,1m   ，  2,2n   ，若   2m n m n   ，则   A. 1 B. 11 3  C. 8 3  D.2 3.“1 3a  ”是“ lg lg3a  ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知 5 2sin 6 3      ，则 cos 23       A. 5 3  B. 1 9  C. 1 9 D. 5 3 5.已知数列 na ， nb ， nc 均为等差数列，且 1 1 1 1a b c   ， 2 2 2 3a b c   ，则 2020 2020 2020a b c   A.4037 B.4039 C.4041 D.4043 6.函数    33 sinf x x x x   的部分图象大致为 A. B. C. D. 7.图 1 是第七届国际数学教育大会（ 7ICME  ）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图 2）， 其中 1 1 2 2 3 7 8 1OA A A A A A A     ，则 6 8sin A OA  A. 7 2 2 21 28  B. 7 2 2 21 28  C.14 3 1 28  D.14 3 1 28  8.设  f x 是定义在    ,0 0,  上的函数，  f x 为其导函数，已知    1 2 2 1f x f x   ，  2 0f   ，当 0x  时，    xf x f x  ，则使得   0f x  成立的 x 的取值范围是 A.   2,0 0,2  B.   , 2 2,   C.   , 2 0,2   D.   0,2 2, 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.若命题“ x R  ，   2 21 4 1 3 0k x k x     ”是假命题，则 k 的值可能为 A. 1 B.1 C.4 D.7 10.函数     sin 0, 0f x A x A      的部分图象如图所示，则 A. 2   B. 6A  C. 4    D.  0 3f   11.已知四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， P 为平面 ABCD 内一点，则   PA PB PC PD      A.最小值为 4 B.最大值为 4 C.无最小值 D.无最大值 12.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，前 n 项积为 nT ，且 3 2019 1 1 11 1a ae e    ，则 A.当数列 na 为等差数列时， 2021 0S  B.当数列 na 为等差数列时， 2021 0S  C.当数列 na 为等比数列时， 2021 0T  D.当数列 na 为等比数列时， 2021 0T  第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上。 13.若 0 1x y   ，则 x y 的取值范围是_______________. 14.设 nS 是数列 na 的前 n 项和，若点 ,n nS a 在直线 2 1y x  上，则 5a  __________. 15.已知正数 m ， n 满足 4 8 2m n  ，则 3 2m n 的最小值为________. 16.在 ABC△ 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ， 2 2 1 22sin a b abC a b     ，则 ABC△ 外 接圆面积的最小值为___________. 四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 在① 2 12AB BD  ，②sin 2 sinBAD ABD   ，D 为 BC 的中点，③ 6DAB   ， 10 3AB  这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 AC 的长；若问题中的三角形不存 在，说明理由. 问题：是否存在 ABC△ ，在 ABC△ 中， 4ACB   ，点 D 在线段 BC 上， 10AD  ，_______？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（12 分） 已知 na 是各项均为正数的等比数列， 26a 为 3a ， 4a 的等差中项。 （1）求 na 的公比； （2）若 1 1a  ，设 3 1 3 2 3log log logn nb a a a    ，求数列 1 1 nb        的前 n 项和。 19.（12 分） 在 ABC△ 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b 、 c ，且 2 2 2 2 2 2 2 a c b c a b c a c      . （1）求角 B 的值； （2）若 ABC△ 的面积为 3 4 abc ，求 ABC△ 周长的最大值. 20.（12 分） 已知数列 na 的首项为 0， 1 12 3 2 0n n n na a a a     . （1）证明数列 1 1na      是等差数列，并求出数列 na 的通项公式； （2）已知数列 nb 的前 n 项和为 nS ，且数列 nb 满足 2 1 n n n b a   ，若不等式   11 3 2n n nS     对一 切 n N  恒成立，求  的取值范围. 21.（12 分） 已知函数      3 22 2 1 1 0f x ax a x a     . （1）讨论  f x 的单调性； （2）当 2a  时，若 , R   ，    sin sinf f m   ，求 m 的取值范围. 22.（12 分） 已知函数      1 ln 0axf x e x a   . （1）当 1a  时，求曲线  y f x 在   1, 1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若关于 x 的方程   2f x ax ax  在 1, 上恰有三个不同的实数解，求 a 的取值范围. 2020~2021 学年河北省高三年级上学期 10 月联考 数学参考答案 1.D【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力. 因为    0 2 5 2 3A x x x x        ，    2 4 2 2B x x x x      . 所以  2 2A B x x    . 2.C【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力. 因为  2 3 4,4m n    ，  1, 1m n    ，且    2m n m n   ， 所以     1 3 4 4 1 0       ，解得 8 3    . 3.A【解析】本题考查充分条件、必要条件，考查逻辑推理能力. 由 lg lg3a  ，得到 0 3a  ，因此，“1 3a  ”是“ lg lg3a  ”的充分不必要条件. 4.C【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力. 2 25 5 2 1cos 2 cos 2 1 2sin 1 23 3 6 3 9                                    . 5.B【解析】本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力。 数列 n n na b c  是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 2020 2020 2020 1 2019 2 4039a b c      . 6.D【解析】本题考查函数的图象，考查数形结合的数学思想. 因为函数  f x 的定义域为 R ，且            3 33 sin 3 sinf x x x x x x x f x             ， 所以函数  f x 为偶函数，排除 B. 由    23 sinf x x x x  ，可知当  0, 3x 时，   0f x  ； 当  3,x  时，   0f x  .故选 D. 7.A【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力. ∵ 1 1 2 1OA A A  ，且 1 2OA A△ 是直角三角形，∴ 2 2OA  ， 同理得 6 6OA  ， 7 7OA  ， ∴  6 8 6 7 7 8 1 7 6 1 7 2 2 21sin sin 287 8 7 8 A OA A OA A OA           . 8.B【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理能力. 由    1 2 2 1f x f x   ，可知  f x 为偶函数， 构造新函数    g x xf x ，则      g x xf x f x   ，当 0x  时   0g x  . 所以    g x xf x 在 0, 上单调递增，又  2 0f  ，即  2 0g  . 所以由     0g x xf x  可得 2x  ，此时   0f x  . 又  f x 为偶函数，所以   0f x  在   ,0 0,  上的解集为    , 2 2,   . 9.BC【解析】本题考查存在量词命题，考查运算求解能力. 由题可知，命题“ x R  ，   2 21 4 1 3 0k x k x     ”是真命题， 当 2 1 0k   时， 1k  或 1k   . 若 1k  ，则原不等式为 3 0 ，恒成立，符合题意； 若 1k   ，则原不等式为8 3 0x   ，不恒成立，不符合题意. 当 2 1 0k   时，依题意得     2 2 2 1 0, 16 1 4 1 3 0 k k k         . 即       1 1 0, 1 7 0, k k k k       解得1 7k  . 综上所述，实数 k 的取值范围为 1 7k k  ，故选 BC. 10.ABD【解析】本题考查三角函数的图象，考查数形结合的数学思想. 由已知， 8.5 6.5 22 T    ，所以 24T    ，解得 2   ， 所以   sin 2f x A x      . 又    8.5 0.5 0f f  ，所以 sin 04A       ， 则 24 k    ， k Z ，即 24 k    ， k Z ①. 又  5 3f  ，即 5sin 32A       ，所以 cos 3A   ②. 由①②可得 6A  ，所以   6 sin 2 4f x x      . 故  0 6 sin 34f        .故选 ABD. 11.AD【解析】本题考查平面向量，考查运算求解能力. 建立如图所示的直角坐标系 则  0,0A ，  2,0B ，  2,2C ，  0,2D . 设  ,P x y ，则  ,PA x y   ，  2 ,PB x y   ，  2 ,2PC x y   ，  ,2PD x y   ， 所以           2 22 2 , 2 2 2 ,4 2 2 2 2 2 4PA PB PC PD x y x y x y                 ， 所以当 1x  ， 1y  时，    PA PB PC PD      取得最小值 4 ，无最大值. 12.AC【解析】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，化归与转化的数学思想. 由 3 2019 1 1 11 1a ae e    ，可得 3 2019 1 1 1 1 01 2 1 2a ae e      ， 易知   1 1 1 2xf x e   是奇函数，且在 R 上单调递减，所以 3 2019 0a a  ， 所以当数列 na 为等差数列时，  3 2019 2021 2021 02 a aS   ； 当数列 na 为等比数列时，且 3a ， 1011a ， 2019a 同号，所以 3a ， 1011a ， 2019a 均大于零， 故  2021 2021 1011 0T a  . 13. 1,0 【解析】本题考查不等式的性质，考查逻辑推理能力. 因为 0 1x y   ，所以 0 1x  ， 1 0y    ，所以 1 1x y    ， 又因为 0x y  ，所以 x y 的取值范围是 1,0 . 14. 1 【解析】本题考查数列的递推关系，考查运算求解能力. 由题意知 2 1n na S  ，当 2n  时， 1 12 1n na S   ，两式相减，得 1 2n n na a a  ，即 1n na a   ，当 1n  时， 1 1a   ，所以数列 na 是首项为 1 ，公比为 1 的等比数列，则    4 5 1 1 1a       . 15.24【解析】本题考查指数运算以及基本不等式，考查运算求解能力. 由 4 8 2m n  可得 2 3 2 2m n   ， 所以 2 3 1m n   ，   2 3 4 93 2 3 2 6 6 12 2 36 24n mm n m n m n m n               ，当且仅当 4m  ， 6n  时取等号。 16. 8  【解析】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力. 因为  22 2 11 2 1 2a ba b ab a ba b a b a b            ， 2sin 2C  ， 所以当且仅当 1a b  ，sin 1C  时， 2 2 1 22sin a b abC a b     . 又因为 22 2 2 2 a b a b      ，所以 2 2 1 2a b  ，则 2 1 2c  ， ABC△ 外接圆的面积为 2 2 8 c       . 17.解：选择条件①， 在 ABD△ 中，由余弦定理可得 2 2 2 5cos 2 9 AB BD ADB AB BD    ，…………………………4 分 ∴ 2 2 14sin 1 cos 9B B   .…………………………………………………………………7 分 在 ABC△ 中，由正弦定理得 sin sin AB AC C B  ，可得 2 1412sin 16 79 sin 32 2 AB BAC C     .……10 分 选择条件②， 在 ABD△ 中， sin 2 sinBAD ABD   ，可得 2 10 2BD AD  ，………………………3 分 又 D 为 BC 的中点，所以 10 2CD  .…………………………………………………………………5 分 在 ADC△ 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosAD CD AC CD AC ACB     ，………………………7 分 得 2100 200 20AC AC   ，即 10AC  .……………………………………………………………10 分 选择条件③， 在 ABD△ 中，由余弦定理可得 2 2 2 2 cos 100BD AD AB AD AB DAB      ，即 10BD  ，……3 分 则 10AD BD  ， 2 3ADB   ， 3ADC   .………………………………………………………6 分 在 ADC△ 中，由正弦定理得 sin sin AD AC C ADC   ，可得 sin 5 6sin AD ADCAC C   .…………10 分 18.解：（1）设 na 的公比为 q ，又 26a 为 3a ， 4a 的等差中项， ∴ 2 3 412a a a  ，……………………………………………………………………………………2 分 ∴ 2 12 0q q   ，…………………………………………………………………………………4 分 ∵ 0q  ，∴ 3q  .……………………………………………………………………………………5 分 （2）由（1）可知 13n na  ，………………………………………………………………………6 分 ∴  10 1 2 3 1 2n n nb n         .…………………………………………………………8 分 设 1 1 nb        的前 n 项和为 nS ，  1 1 2 1 121 1nb n n n n        ，………………………………10 分 ∴ 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 2 3 3 4 1 1n nS n n n               .………………………………………12 分 19.解：（1）由余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 a c b ac B c a b c ab C a c       ，……………………………2 分 则 cos sin cos 2sin sin B B C A C   ，……………………………………………………………………3 分 即 2sin cos cos sin sin cosA B B C B C  ， 所以  2sin cos sin sinA B B C A   .……………………………………………………4 分 又  0,A  ，所以sin 0A  ，则 1cos 2B  ，所以 3B  .………………………………5 分 （2） 1 3sin2 4ABCS ac B abc △ ，则 1b  .………………………………………………7 分 由余弦定理可知 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，即  22 21 3a c ac a c ac      ，…………8 分 所以 2 21 2a c ac ac ac     ，则 1ac  .……………………………………………………10 分 所以 2 3 1 4a c ac    ，即 2a c  ， 所以 ABC△ 周长的最大值为 3. ………………………………………………………………12 分 20.（1）证明：∵ 1 12 3 2 0n n n na a a a     ，∴   1 12 1 1 0n n n na a a a      ，………1 分 ∴       1 12 1 1 1 1 0n n n na a a a        ，……………………………………………2 分 ∴ 1 1 1 21 1n na a    ，…………………………………………………………………………3 分 ∴数列 1 1na      是首项为 1，公差为 2 的等差数列.……………………………………………4 分 ∴  1 1 2 1 2 11n n na      ，∴ 1 2 212 1 2 1n na n n     .……………………………………5 分 （2）解：由题可知  2 1 2n nb n   ，  1 2 31 2 3 2 5 2 2 1 2n nS n          ，………6 分  2 3 4 12 1 2 3 2 5 2 2 1 2n nS n           ， 两式相减得  1 2 3 11 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n nS n              ， ∴  12 2 3 6n nS n   .…………………………………………………………………………………8 分 ∴  21 2 6n nn     ， 若 n 为偶数，则 22 6nn    ，∴ 38  ；………………………………………………………10 分 若 n 为奇数，则 22 6nn     ，∴ 14  ，∴ 14   . 综上， 14 38   .……………………………………………………………………………………12 分 21.解：（1）    2 2 16 2 2 1 6 3 af x ax a x ax x a          .…………………………………………1 分 当 0a  时， 2 1 03 a a   ，由   0f x  ，得 2 10 3 ax a   ，则  f x 在 2 10, 3 a a      上单调递增；…… 2 分 由   0f x  ，得 0x  或 2 1 3 ax a  ，则  f x 在  ,0 ， 2 1,3 a a     上单调递减.…………3 分 当 10 2a  时，2 1 03 a a   ，  f x 在 2 1,03 a a      上单调递减，在 2 1, 3 a a     ， 0, 上单调递增.…4 分 当 1 2a  时，   23 0f x x   ，  f x 在 R 上单调递增. …………………………………………………5 分 当 1 2a  时， 2 1 03 a a   ，  f x 在 2 10, 3 a a      上单调递减，在  ,0 ， 2 1,3 a a     上单调递增. …6 分 （2）因为  sin 1,1x  ，所以  ， R  ，    sin sinf f m   等价于  f x 在 1,1 上的最大 值与最小值的差小于 m .……………………………………………………………………………………8 分 当 2a  时，   3 24 3 1f x x x   ，由（1）知，  f x 在 1,0 ， 1 ,12      上单调递增，在 10, 2      上单调递 减. …………………………………………………………………………………………………………9 分 因为  1 6f    ，  0 1f  ， 1 3 2 4f      ，  1 2f  ，所以  min 6f x   ，  max 2f x  ，………11 分 所以  2 6 8m     ，即 m 的取值范围为  8, .…………………………………………………………12 分 22.解：（1）当 1a  时，    1 lnxf x e x  ，所以  1 0f  .……………………………………………1 分 又   1ln x x ef x e x x    ，所以切线的斜率  1 1k f e   ， 则切线方程为   1 1y e x   .………………………………………………………………………………2 分 该切线与 x 轴交于点  1,0A ，与 y 轴交于点  0,1B e ，…………………………………………………3 分 所以围成的三角形的面积为  1 11 12 2 ee     .…………………………………………………………4 分 （2）显然 1x  是方程   2f x ax ax  的根，………………………………………………………5 分 当 0x  且 1x  时，方程   2f x ax ax  等价于 1 1 ln axe x ax x   ，则 ln1 1 ln ax xe e ax x   .………………8 分 记    1 0 xeg x xx   ，则       2 2 1 1 1x x xxe e x eg x x x       ， 令      1 1 0xh x x e x    ，则   0xh x xe   ，故  h x 在 0, 上单调递增， 故    0 0h x h  ，即   0g x  ， 所以  g x 在  0, 上单调递增，又方程等价于    lng ax g x ， 故只需 lnax x 在 1, 上有两个不同的根.………………………………………………………10 分 ln xa x  ，令   ln xk x x  ，则   2 1 ln xk x x   ， 当  1,x e 时，   0k x  ；当  ,x e  时，   0k x  . 所以  k x 在 1,e 上单调递增，在  ,e  上单调递减， 故    max 1k x k e e   . 又  1 0k  ，可得 10,a e     .……………………………………………………………………………12 分