2019-2020学年广东省佛山市第一中学高二上学期期中考试 数学 Word版

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广东省佛山市第一中学2019-2020学年上学期高二级期中考试题 数学 命题人：李维 审题人：何历程 一、单选题(本题共10小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1．若直线的倾斜角为30°，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．在等差数列中，表示数列的前项和，则(　　)‎ A．66 B．99 C．198 D．297‎ ‎3．已知，那么下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．满足的的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．两条平行直线与之间的距离为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知点的坐标为，直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，网格纸上虚线围成的最小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎8．直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎9．若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有且仅有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)‎ A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1)‎ ‎10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A． B．16π C．9π D． 二、多选题(本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，至少有两一项是符合题目要求的。)‎ ‎11．已知表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面．下列命题中，正确的命题是(　　)‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 ‎12．已知圆M：，直线l：．下列命题中，正确的命题是(　　)‎ A．对任意实数 k 和θ，直线 l 和圆 M 有公共点 B．对任意实数θ，必存在实数 k，使得直线 l 与圆 M 相切 C．对任意实数 k，必存在实数θ，使得直线 l 与圆 M 相切 D．存在实数 k 与θ，使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3‎ 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。)‎ ‎13．已知直线ax＋a2y＋1＝0与直线(a－2)x＋y－2＝0垂直，则a的值为________． ‎ ‎14．已知a，b均为正数，且a＋b＝1，则＋的最小值为________．‎ ‎15．在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．‎ ‎16．已知直线l：与圆交于A, B两点，过A, B分别作l的垂线与x轴交于C, D两点，若，则m＝________，|CD|＝________． ‎ 四、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17．（10分）已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎18．（12分）已知△ABC的内角分别为A, B, C，其对应边分别是a, b, c，且满足 ‎．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求a＋2c的最大值.‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，BC＝CC1＝4，D是A1C1中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥平面B1CD；‎ ‎（2）当AA1⊥平面ABC时，求点B到平面B1CD的距离．‎ x y O C A B ‎20．（12分）如图,等腰直角△的直角顶点,斜边所在的直线方程为．‎ ‎（1）求△ABC的面积；‎ ‎（2）求斜边AB中点D的坐标．‎ ‎21．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，现将△ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在线段AB上.‎ ‎（1）证明：AP⊥PB；‎ ‎（2）求二面角B-PC-E的余弦值．‎ ‎22．（12分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：‎ ‎(1)如图，设母球A的位置为(0，0)，目标球B的位置为(4，0)，要使目标球B向C(8，－4)处运动，求母球A球心运动的直线方程；‎ ‎(2)如图，若母球A的位置为(0，－2)，目标球B的位置为(4，0)，能否让母球A击打目标B球后，使目标B球向(8，－4)处运动?‎ ‎(3)若A的位置为(0，a)时，使得母球A击打目标球B时，目标球B(4，0)运动方向可以碰到目标球C(7，－5)，求a的最小值（只需要写出结果即可）‎ ‎2019-2020学年上学期高二级期中考数学试题参考答案 ‎1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；‎ ‎11.AD 12.AC 13.1 14.4 15. 16.;.‎ ‎17. (1)设等差数列的公差为，‎ ‎ 是与的等比中项.‎ ‎ 即 ……………………………………2分 或；‎ ‎ …………………………………………………………………………………………4分 ‎ …………………………………………………………………………………5分 ‎(2)因为，………………………8分 所以数列的前项和 ‎ .………………………………10分 ‎18. (1)，‎ ‎ 由正弦定理得：……………………1分 ‎ 即，……………………………………………………2分 ‎ 又，………………………………………3分 ‎ 故， ‎ ‎ 又因为，所以，………………………………………………4分 ‎ 因此，，…………………………………………………………………5分 ‎ 又因为，所以.…………………………………………………6分 ‎ (2)由正弦定理得：，‎ ‎ ，……………………………………………………………8分 ‎ ‎ ‎ ，…………………………………10分 ‎ （其中，）‎ ‎ 当时，的最大值为.……………………………………12分 ‎19.(1)证明：连接，交于点，连接.‎ 在三棱柱中，四边形为平行四边形，‎ ‎ ，又点是中点，，…………………………2分 ‎ 而平面，且平面，…………………………………4分 ‎ 平面.……………………………………………………6分 ‎ (2)由（1）知：，‎ ‎ 到平面的距离与到平面的距离相等。…………………………7分 ‎ 平面，平面，，‎ ‎ 是等边三角形，是等边三角形 ‎ 点是中点，‎ ‎ 又，平面，平面，‎ ‎ 平面，……………………………………………………9分 ‎ 由计算得：，，……………………………10分 ‎ 设到平面的距离为，由得：‎ ‎ ‎ ‎ 点到平面的距离是.……………………………………………………12分 ‎20. (1)顶点到斜边的距离为 ‎, …………………3分 所以斜边, …………………………4分 故的面积为． ………6分 ‎(2)由题意知,,又,所以,…………………………………7分 所以直线的方程为:,即, ………………………9分 由,解得,………11分 所以点的坐标为．……12分 ‎21.（1）由题知平面，又平面，，………………1分 又且， ‎ 平面，……………………………………………………………………3分 又平面，，…………………………………………………4分 又且， ‎ 平面，………………………………………………………………5分 又平面，。………………………………………………6分 ‎（2）如图，过点作BO⊥EC，垂足为O；过点作BH⊥PC，垂足为H． 联接OH．‎ H O 平面，又平面，，‎ 又BO⊥EC，，‎ 平面，……………………………………………………………………7分 又平面， ‎ 平面，……………………………………………………………………8分 又平面，，…………………………………………………9分 因此，为面与面的二面角，…………………………………………10分 因为，，是以为直角的直角三角形，‎ ‎．‎ 同理，．‎ 由△OHC∽△PEC，可得．‎ 因此，．…………………………………………12分 ‎22.（1）过点B（4，0）与点C（8，－4）的直线方程为：x＋y－4＝0，……………1分 依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x＋y－4＝0上，且在第一象限，此时｜AB｜＝2。设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，则有：，‎ 解得：，，‎ 即：A，B两球碰撞时球A的球心坐标为（，），…………………………2分 所以，母球A运动的直线方程为：。…………………………3分 所以而 ‎（2）因为=(4-2+)，=(-)，‎ ‎=(4-2+)(-)= 4->0‎ 故∠AA’B为锐角。………………………………………………………………………………5分 所以，点B 到线段AA’的距离小于，…………………………………………………6分 故球的球心未到直线BC之前就会与球碰撞。……………………………………………7分 故不可能让母球击打目标球后，使目标球向处运动。………………………8分 ‎(3)的最小值为.要使得最小，临界条件为球A从球B的左上方A’处撞击球B后， B球从球C的右上方B’处撞击球C.如下图所示，……………………………………………9分 设B’是球B的所有路径中最远离BC的那条路径上离球C最近的点，则有，联立，‎ 解得，所有直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，易得.过作倾斜角为的直线，交轴于点，易得，就是一个符合题意的初始位置.若，则球会在达到之前就与球碰撞，不合题意.因此的最小值为.……………………………………………………………12分