安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三一模考试数学（理）试卷

安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三一模考试数学（理）试卷

安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三一模考试数学（理）试卷 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟 考生注意：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目的要求的。‎ ‎1．已知集合A＝｛x｜1≤x≤4｝，B＝｛x｜｝，则A∩B＝‎ ‎　A、｛x｜2≤x≤4｝}B、｛x｜2＜x≤4｝}C、｛x｜1≤x≤2｝}D、｛x｜1≤x＜2｝‎ ‎2．下列各式的运算结果虚部为1的是 ‎　A、　　 　B、　　　C、 　D、2+＋‎ ‎3．若实数x，y满足则的最大值是 ‎　A、9　　　B、12　　　C.3　　　　D、6‎ ‎4．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国 到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”‎ 沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是 ‎①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 ‎②2013-2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ‎③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 ‎　A、①②③　　B、②③　　C、①②　　D、③‎ ‎5．已知函数是定义在R上的偶函数，且在)［0，＋∞）上单调递减，f(2)＝0，则不等式 的解集为 ‎　A、（，4）　B、（-2，2）　C、（+，＋∞）　D、（4，＋∞）‎ ‎6．已知函数的图象与直线y=a(0/2x ； 15.— ； 16.x-+ 1 = 0 .‎ ‎4‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（本小题12分）‎ 解：(1)当 n = 1 肘，S] + 2 = 2°],解得 1 分 当心 2 时，&+i+2 = 2%i 所以 + 2 -（瓦 + 2）= 2%] - 2%，即 ％】=2% 3 分 又因为&]=2所以％正0‎ 所以鱼 =2, 4分 an 所以数列匠｝是以2为首项，2为公比的等比数列 所以％ =2”‎ ‎⑵由⑴可得如="的-T（2J1）."T 甲％T 2019 Bn] 1 2019‎ 因为 Tn > ,即 1 : > ‎ ‎2020 2伸-1 2020‎ 所以 >2021 ‎ ‎10分 因为n w N*, 所以^>10 11分 所以刀的最小值为10 12分 ‎18.(本小题12分)‎ 解：(1)证明：不妨设AB^2a,则AC = CD = DA = a 7t 由山CD是等边三角形得，ZACD = 一 ‎3‎ n -AB//DC :. ZCAB = ~ 1 分 ‎ 1 ‎3‎ 由余弦定理得，‎ BC2=AC2+AB2 一2厲C•施・cos生二 3疽.… 2 分 ‎3‎ 即 BC = ga,所以BC2+AC2^AB‎ 所以 ZL4CB = 90°,即BCLAC 3 分 又平面PACL平面ABCD !‎ 平面PAC n平面ABCD = AC ，‎ ‎3Cu 平面 ABCD ‎:.BC1平面PAC.. 4 分 ‎-PA a平面以C —‎ ‎:.BC1PA 5 分 ‎ ‎（2）解：设ac=2,取中点o,连接po,则ponc,poK ‎,「平面乃匸丄平面ABCD /. PO丄平面Z5CD 6分 ‎ 以C为原点建系如图，C(0,0,0), 邓⑪,尸(1,0,心)，4(2,0,0), Q(l,-V§,0)‎ 灰=(i,o,顼)，53=(1,75,0), 不=(iq右)，瓦二(0,2右,0) 8分 ‎ ‎9分 ‎ ‎ 设平面PAD的法向量为％ = 3疗,2）,‎ ‎-PA-‎ jiY -AD = x + /3y = 0‎ 得蒿=（0,-1,1） ‎ 设平面F8C的法向量为房=（工况z）,‎ n> - CP = x-- = 0 一 r-‎ 则〈‎ ‎1 _ 厂 得仇=（占,0, -1）‎ ‎«2' CB = 23y = 0‎ n, -n7 2 V5‎ cos =^r― = —=——‎ 匡|.|切V5-2 5‎ 所以平面 与平面FBC所成的锐二面角的余弦值为 ‎ ‎-12分 ‎19.(本小题12分)‎ 解：(1)因为样本零件直径的平均值// = 65,标准差cr = 2.2‎ 由样本估计总体，以频率值作为概率的估计值，得 1分 on P(//-cr 0.6826, 2 分 ‎ 尸(//一2cr vX£# + 2<丄我8=‎ ‎1650 1650 1650 1650 25‎ z ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ p ‎1457‎ ‎• 1650‎ ‎94‎ ‎825‎ ‎1‎ ‎330‎ ‎12分 ‎20.(本小题12分)‎ 解:(1)设所求的椭圆C方程为号,+方=10>3>0), 点。到直线工一*+必=0的距离为方逐 又c = l,所以a2=b2+c2‎ ‎4,‎ V2‎ 故所求的椭圆C方程为--+^- = 1‎ ‎4 3‎ ‎(2)假设存在常数>1,使AB-h CD= AAB-CD恒成立，则人=点+冷 ‎%2‎ ‎①当小匕中一条斜率不存在时，可知^B,CD其中一个长为2^ = 4,另一个长为—- = 3,此时 ‎.117‎ A 一一 一 -J_ 一 .一 —** ■‎ ‎-AB |GD「12 ；‎ ‎②当l,J2的斜率存在且不为零时，不妨设：* = r* + 1,。更0),‎ x = y + lJfNO),由*‎ x =頒 + 1‎ x2 v2 得(3户+4),2 + 6〃 一 9 = 0 ,…7 分 ——1_ ——=]‎ I 4 3‎ ‎△ = 36尸一 4(3。+ 4). (-9) = 144(产 +1) > 0 ,‎ 设』(仍+1,北),硏格+-1，力)，则3 + y2‎ 网-庆侦EF=序机+疔石J=蚩*‎ ‎10分 用-：上式中的f得|CD| =号却 所以昌當MM)篇"9‎ ‎11分 ‎7 7‎ 综上①②存在常数人=一，使AB-i CD=— -AB-CD恒成宜 ‎12 12‎ ‎12分 ‎21.(本小题12分)‎ 解:(1)f(x)‎ 设u(x) = x2 +ax-^l t 则 w(0) = I >0 ,对称轴为工=一5‎ ‎①当一*0,‎ 即时,‎ 在(0,4-CO)上,‎ f(x) > 0,是增函数;‎ 即。<0时，△ = 々2 —4 = 0,得q = ±2‎ ‎②当-->0,‎ ‎2‎ ‎(i )当~20, f(x)是增函数;‎ ‎(ii)当a<-2时,‎ 尸(x)= o,得:x =‎ ‎—// —* J /7 — 4 —/? --I- 1 a — 4‎ 在（0,亠号=+贝）上，广（对＞0, /3是增函数；……4分 乙 匕 在（土竺3,主专W）上’尸⑴杯 川）是减函数 5分 ‎（2）由（1）函数/■（盼的两个极值点知工2满足X2 +ax -^ 1-0 t 所以而,尤2 = L尤 1 +工2 = ~a 6分 不妨设0 v珀＜ 1 ＜ x2 ,则/（x）在（x15x2）上是减函数,‎ ‎f (x2)|~ r(x? ~x2 ) + a(.xi ~Ar2)4-ln —‎ 1 x2‎ ‎-~(^2 一 *2?)—31 +尤2)(工1」叼)+111—‎ ‎2 x2‎ ‎= 7：(x22 -x^ + ln—l ‎2 x2‎ Vx22_7~T^ln;v22---- ‎ ‎2 2x2‎ 令f = x22 设函数h(t) = ^~~~lnt (t > 1) 因为 ”(/) 二 5 + ^7 — = ~^~2 ?_ N 0 ‘‎ ‎10分 所以方0）在（l,+oo）上为增函数 由|^-x2| = x2‎ 光2 Z 解得1<号2, Sfcl‎ 则所求不等式的解集为卜|沁4或泠V ‎(2)证明：由已知，£>0, /(-l) = |a-l|< /(i-a-2) = |^-2j<| 7 分 则|2a + Z)_4|=|2g —2 + /)—2 杉2" 一 1| + | 方一2|v等+ ： = £‎ 所以|2々+力--4|vf得证 10分