【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试49直线的方程作业
第七章 平面解析几何
考点测试49 直线的方程
高考概览
考纲研读
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式
2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直
3．掌握确定直线位置的几何要素
4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系
一、基础小题
1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )
A．m≠－ B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
答案 D
解析 由解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．
2．直线xsin＋ycos＝0的倾斜角α是( )
A．－ B． C． D．
答案 D
解析 ∵tanα＝－＝－tan＝tan，α∈[0，π)，∴α＝．
3．过点(－1，2)且倾斜角为30°的直线方程为( )
A．x－3y＋6＋＝0 B．x－3y－6＋＝0
C．x＋3y＋6＋＝0 D．x＋3y－6＋＝0
答案 A
解析 ∵k＝tan30°＝，∴直线方程为y－2＝(x＋1)．即x－3y＋6＋＝0．故选A．
4．已知直线l1：(k－3)x＋(5－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k的值为( )
A．1或3 B．1或5 C．1或4 D．1或2
答案 C
解析 由题意可得，(k－3)×2(k－3)＋(5－k)×(－2)＝0，整理得k2－5k＋4＝0，解得k＝1或k＝4．故选C．
5．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1
α3，所以00，在y轴上的截距－>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．
7．在平面直角坐标系中，直线l与直线x＋y－＝0关于x轴对称，则直线l的倾斜角为( )
A． B． C． D．
答案 B
解析 直线的斜截式方程为y＝－x＋，即直线的斜率k＝tanα＝－，即α＝，所以直线l的倾斜角为，故选B．
8．在下列四个命题中，正确的有( )
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；
②直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°]；
③若一直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；
④若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 A
解析 当倾斜角α＝90°时，其斜率不存在，故①④不正确；直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°)，故②不正确；直线的斜率k＝tan210°这是可以的，此时倾斜角α＝30°而不是210°，故③不正确．故选A．
9．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．0， B．，π
C．0，∪，π D．，∪，π
答案 B
解析 ∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k<0，则倾斜角的取值范围是，π．
10．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 ∵当m变动时，(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－，y＝－3，定点为．故选D．
11．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是( )
A．∪
B．
C．
D．∪
答案 B
解析 直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，∵kMA＝＝－，kMB＝＝，
画图可知－a>－且－a<，∴a∈．
12．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________．
答案 1或－2
解析 显然a＝0不符合题意，当a≠0时，令x＝0，则直线l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋．依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2．
二、高考小题
13．(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
答案 (2，4)
解析 由已知得kAC＝＝2，kBD＝＝－1，
所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0，①
直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0，②
联立①②解得
所以直线AC与直线BD的交点为P(2，4)，此点即为所求点．
因为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AC|＋|BD|，
取异于P点的任一点P′．
则|P′A|＋|P′B|＋|P′C|＋|P′D|
＝(|P′A|＋|P′C|)＋(|P′B|＋|P′D|)
>|AC|＋|BD|＝|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|．
故P点就是到点A，B，C，D的距离之和最小的点．故应填(2，4)．
14．(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
答案 5
解析 易知A(0，0)，B(1，3)，且PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时取“＝”)．
三、模拟小题
15．(2018·重庆一诊)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，1) B．(－1，2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 ∵过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，∴直线的斜率小于0，即<0，即<0，解得－20，cosθ<0，
∴sinθ－cosθ＝， ②
由①②解得∴tanθ＝－2，即l的斜率为－2，故选D．
21．(2018·江苏调研)已知经过点P(3，2)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________．
答案 2x－3y＝0或x＋y－5＝0
解析 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0．
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3，2)，∴＋＝1，∴a＝5，
∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0．
22．(2019·沧州月考)已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 令y＝0，则x＝－2k．令x＝0，则y＝k．故直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2．由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以实数k的取值范围是k≥1或k≤－1．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．(2018·山西长治月考)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的方程．
解 (1)设点C的坐标为(x，y)，则有
＝0，＝0．
∴x＝－5，y＝－3，
即点C的坐标为(－5，－3)．
(2)由题意知，M，N(1，0)，
∴直线MN的方程为x－＝1，
即5x－2y－5＝0．
2．(2018·四川达州月考)直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A，B两点．
(1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
解 依题意，l的斜率存在，且斜率为负．
设l：y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0，4－k)．
(1)|PA|·|PB|＝·
＝－(1＋k2)＝－4≥8．(注意k<0)
∴当且仅当＝k且k<0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．
这时l的方程为x＋y－5＝0．
(2)|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－≥9．
∴当且仅当k＝且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时l的方程为
2x＋y－6＝0．
3．(2018·福建华安月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a>－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时直线l的方程．
解 (1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0．
所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0．
(2)由直线方程可得M，N(0，2＋a)，
因为a>－1，所以S△OMN＝··(2＋a)＝×＝≥×
＝2，
当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．
此时直线l的方程为x＋y－2＝0．
4．
(2018·福建漳州月考)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，求AP的长．
解 以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，
由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，
设P(t，0)(0
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