2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二上学期期中考试数学试题 解析版

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绝密★启用前 浙江省台州市联谊五校2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为直线的倾斜角为，‎ 所以的斜率是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.‎ ‎2．过点且斜率为的直线方程为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用直线的点斜式方程写出所求直线方程，再化为一般式即可.‎ ‎【详解】‎ 直线过点且斜率为 ,‎ 则直线的方程为，‎ 即，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的点斜式方程的应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎3．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A． 若，则 B． 若，则 C． 若，则 D． 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】若,，则或，即选项A错误；若，则或，即选项B错误；若，则平行或垂直或相交，即选项D错误；故选C.‎ ‎4．下列直线中，与直线垂直的是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出选项中各直线的斜率，判断所求斜率与直线的斜率之积为是否为即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为，‎ 而直线的斜率为2 ,‎ 的斜率为，‎ 的斜率为 ,‎ 的斜率为，‎ 可得直线的斜率与的斜率之积为-1，‎ 与直线垂直的是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的一般式方程求直线斜率以及斜率与直线垂直的关系，考查了两直线垂直与斜率间的关系，是基础题.‎ ‎5．点到直线的距离是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用点到直线的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 点到直线的距离，故选A .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点到直线的距离公式，意在考查利用所学知识解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎6．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，求出与的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，‎ 在长方体中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设异面直线与所成角的为，‎ 则，‎ 异面直线与所成角的余弦值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成的角以及空间向量的应用，属于中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎7．对任意的实数，直线恒过定点( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由时,总有即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 为任意实数时,‎ 若时,总有 所以直线恒过定点,‎ 即定点,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 判断直线过定点主要方程形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.‎ ‎8．已知直线过点且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为( )‎ A． B． C． D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由的坐标求得直线和斜率,再根据直线的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线绕点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线斜率的范围，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 点、、‎ 直线的斜率，‎ 可得直线的斜率，‎ 直线与线段交于点，‎ 当直线的倾斜角为锐角时，随着从向移动的过程中，的倾斜角变大，‎ 的斜率也变大，直到平行轴时的斜率不存在，此时的斜率；‎ 当直线的倾斜角为钝角时，随着的倾斜角变大，的斜率从负无穷增大到直线的斜率，‎ 此时的斜率，‎ 综上所述，可得直线的取值范围为或，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过经过定点的直线与线段有公共点，求的斜率取值范围，着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用，以及数形结合思想、转化思想的应用，属于中档题.‎ ‎9．如图，在三棱锥中，面，，点是的中点，且，，则当变化时，直线与面所成角的取值范围为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，令直线与平面所成的角为，求出平面的一个法向量和，由向量夹角公式，得到，进而得到直线与平面所成角的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 平面的一个法向量，‎ ‎，，‎ 则由，‎ 得，可取，‎ 又，于是，‎ ‎，‎ 又，‎ 即直线与平面所成角的取值范围为,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎10．如图，设梯形所在平面与矩形所在平面相交于，若，，，则下列二面角的平面角大小为定值的是( )‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等腰梯形中,过作于，作于,连接,可得为二面角的平面角，为二面角的平面角，由平面平面，可得二面角的平面角为，进一步求得得结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 在等腰梯形中,过作于，作于,‎ 连接,‎ 在梯形中,由，可得，‎ 由三角形直角三角形，且，可得，‎ 则，‎ ‎，即，则平面，‎ 为二面角的平面角，‎ 同理可得为二面角的平面角，‎ 平面平面，‎ 则二面角的平面角为，‎ 与均为等腰三角形，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即二面角为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二面角的求解法，意在考查数形结合思想、转化思想以及空间想象能力，属于难题. 求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，或者利用“互补法”、“分割法”、“公式法”求解.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．直线的倾斜角为_______；在轴上的截距为_________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由斜截式方程可知，直线的斜率为1，由可得；令，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由斜截式方程可知，直线的斜率为1，‎ 设倾斜角为，则，‎ 由可得；‎ 令，‎ 所以，直线在轴上的截距为，‎ 故答案为 ， .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，以及直线的截距，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.‎ ‎12．已知，，则线段的中点坐标为________；_________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用中点坐标公式可得线段的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得的值.‎ ‎【详解】‎ 设线段的中点坐标为，‎ 由中点坐标公式可得，‎ 即线段的中点坐标为，‎ 可得 ，‎ 故答案为 ， .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查中点坐标公式的应用以及空间向量模的坐标表示，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.‎ ‎13．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为_______；该四面体四个面的面积中最大的是________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原几何体，利用三视图中数据，根据锥体的体积公式可得其体积，根据三视图的图形特征，判断四面体每一个面的形状，分别求出四面体四个面的面积，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图 ,‎ 该棱锥的底面是直角三角形，面积为，高为4，‎ 可得体积为；‎ 四个面都是直角三角形，‎ 由三角形面积公式可得，‎ 四个面的面积分别为，‎ 面积的最大值10，故答案为8，10.‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎14．已知直线与，则直线与的交点坐标为_________；过直线与的交点且与直线平行的直线方程为______________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线和的方程组成方程组，直接求解交点坐标；求出与直线平行的直线的斜率，利用点斜式方程求出过直线与的交点且与直线平行的直线方程.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 解得交点坐标为，‎ 所求直线与直线平行，则所求直线方程的斜率为，‎ 由点斜式方程可得，整理得，‎ 直线方程为，故答案为， .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.‎ ‎15．已知直线在两坐标轴上的截距相等.则实数的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别利用截距相等求出的值即可.‎ ‎【详解】‎ 当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距均为0 , ；‎ 当直线不过原点时,由截距相等且均不为0，‎ 求得直线轴上的截距为，‎ 直线轴上的截距为，‎ 由可得，‎ 故答案为2或0.‎ ‎【点睛】‎ 本题考査了直线的截距与直线方程，意在考查分类讨论思想的应用以及对基础知识掌握的熟练程度，是一道基础题.求解有关直线截距的问题时，一定要注意讨论截距是否为零，这是易错点.‎ ‎16．设，是直角梯形两腰的中点，于，如图所示，现将沿折起，使二面角为，此时点在面内的射影恰为点，则，的连线与所成角的大小为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先取的中点,可证明四边形为平行四边形，则，则锐角就是异面直线与所成的角,可证明三角形是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，取的中点,连接，‎ ‎，且，‎ 四边形为平行四边形，则，‎ 就是所求角 可得三角形是等腰直角三角形，‎ ‎，所以，‎ 即的连线与所成的角大小等于，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.‎ ‎17．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作 ‎，为垂足，设，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当位于的中点，点与中点重合，．‎ 随点到点，由，，‎ 得平面，则．‎ 又，，则．‎ 因为，，‎ 所以，故．‎ 综上，的取值范围为．‎ 点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．如图，在三棱锥中，，，，.‎ ‎(Ⅰ)求证:；‎ ‎(Ⅱ)求直线与面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）将解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，可证明平面从而可得结果；（2）设的中点为,由等边三角形的性质可得，由（1）可得平面可得，由此可得平面,就是直线与面所成角，在中利用直角三角形的性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 求线面角的方法：（1）传统法：根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；（2）对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.‎ ‎19．已知直线经过点.‎ ‎(Ⅰ)若直线与直线垂直，求直线的方程； ‎ ‎(Ⅱ)若直线在轴上的截距是轴上的截距倍，求直线的方程；‎ ‎(Ⅲ)若直线与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，求当的面积取得最小值时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用直线与直线垂直，求得直线的斜率，由点斜式可求直线的方程；(Ⅱ)讨论两种情况：直线过原点时求得斜率，由斜截式可得直线方程；直线不过原点时，设出截距式方程，将代入方程，结合直线在轴上的截距是轴上的截距倍，列方程可得结果; (Ⅲ)设直线方程为，可得，利用基本不等式得，，当，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.‎ ‎20．如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，，面，，，点、分别是、的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:面；‎ ‎(Ⅱ)求面与面所成的二面角的正切值；‎ ‎(Ⅲ)若点是线段上任一点，设直线与面所成的角为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)连接，由三角形中位线定理可得可证明 是平行四边形，可得由线面平行的判定定理可得结果；(Ⅱ)由线面垂直的性质可得，结合 可得平面，延长交于，作可证明就是面与面所成的二面角的平面角，利用直角三角形的性质求解即可；(Ⅲ)过作交于连接，可得就是与平面成的角，设，则，换元后，利用基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面角、面面角的求解方法以及线面平行的证明，属于难题.‎ 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎21．如图，四边形为正方形，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎(Ⅰ)证明:面面；‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)翻折后结合可得平面，利用面面垂直的判定定理可得结论；可得平面，可得平面平面，从而可得平面，则就是二面角的平面角，利用直角三角形的性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查面面垂直的证明以及二面角的求法，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎22．如图，已知圆的圆心在坐标原点，点 是圆上的一点.‎ ‎(Ⅰ)求圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)若过点的动直线与圆相交于，两点.在平面直角坐标系内，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)设圆的方程为，将代入，求得，从而可得结果；(Ⅱ)先设，由可得，再证明对任意，满足即可，，则利用韦达定理可得， ，由角平分线定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查待定系数法求圆方程及韦达定理、直线和圆的位置关系及曲线线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎