【数学】2019届一轮复习北师大版归纳与类比学案

【数学】2019届一轮复习北师大版归纳与类比学案

‎ 13.1　归纳与类比 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．‎ ‎3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.‎ 以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题.‎ ‎1．归纳推理 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．‎ 归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，‎ 结论：任意d∈M，d也具有某属性．‎ ‎2．类比推理 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．‎ 类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；‎ B：具有属性a′，b′，c′；‎ 结论：B具有属性d′.‎ ‎(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)‎ ‎3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．‎ ‎4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　×　)‎ ‎(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　√　)‎ ‎(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　×　)‎ ‎(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　√　)‎ ‎(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋)．(　×　)‎ ‎(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ A．an＝3n－1 B．an＝4n－3‎ C．an＝n2 D．an＝3n－1‎ 答案　C 解析　a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想an＝n2.‎ ‎3．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．‎ 答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)‎ 解析　利用类比推理，借助等比数列的性质，‎ b＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．‎ 题组三　易错自纠 ‎4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 答案　C 解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．‎ ‎5．(2017·济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：‎ ‎①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；‎ ‎②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；‎ ‎③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；‎ ‎④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．‎ 则正确的结论是________．(填序号)‎ 答案　①④‎ 解析　显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．‎ ‎6．(2018·中山模拟)在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在凸四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在凸五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立…依此类推，在凸n边形A1A2…An中，不等式＋＋…＋≥____________________成立．‎ 答案　(n∈N＋，n≥3)‎ 解析　∵＋＋≥＝，‎ ＋＋＋≥＝，‎ ＋＋＋＋≥＝，…，‎ ‎∴＋＋…＋≥(n∈N＋，n≥3).‎ 题型一　归纳推理 命题点1　与数字有关的等式的推理 典例(2016·山东)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎…，‎ 据此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝__________.‎ 答案　×n×(n＋1)‎ 解析　观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.‎ 命题点2　与不等式有关的推理 典例 (2017·济宁模拟)已知ai>0(i＝1,2,3，…，n)，观察下列不等式：‎ ≥；‎ ≥；‎ ≥；‎ ‎…；‎ 照此规律，当n∈N＋，n≥2时，≥______.‎ 答案　 解析　根据题意得≥(n∈N＋，n≥2)．‎ 命题点3　与数列有关的推理 典例 (2017·湖北七市教 研协作体联考)观察下列等式：‎ ‎1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；‎ ‎1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；‎ ‎1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；‎ ‎…；‎ 可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝____________________.‎ 答案　n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N＋)‎ 解析　根据式子中的规律可知，等式右侧为 n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)‎ ‎＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) (n∈N＋)．‎ 命题点4　与图形变化有关的推理 典例(2017·大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为(　　)‎ A．21 B．34 C．52 D．55‎ 答案　D 解析　由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.‎ 思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．‎ ‎(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．‎ ‎(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．‎ ‎(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．‎ 跟踪训练 (1)将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：‎ 根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是(　　)‎ 答案　A 解析　从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016‎ ‎→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.‎ ‎(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 答案　C 解析　由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6·＝3n2－3n＋1，由题意，得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．‎ 题型二　类比推理 典例 (1)等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为(　　)‎ A. B．q2‎ C. D. 答案　C 解析　由题设，得Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝b.‎ ‎∴＝b1，∴等比数列{}的公比为，故选C.‎ ‎(2)在平面上，设ha，hb，hc是△ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．‎ 答案　＋＋＋＝1‎ 解析　设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.‎ 思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．‎ ‎(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．‎ 跟踪训练 (2018·晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C＋C＝C，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是____________．‎ ‎1　1‎ ‎1　2　1‎ ‎1　3　3　1‎ ‎1　4　6　4　1‎ ‎1　5　10　10　5　1‎ ‎…‎ C　C　…　C　…　C　C 图1‎ 　 　　 　　　 　　　　 　　　　　 ‎…‎ 　　…　　…　　 图2‎ 答案　＝＋ 解析　类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数 ‎，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C＋C＝C，‎ 有＝＋.‎ 题型三　演绎推理 典例 (2018·保定模拟)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn (n∈N＋)．证明：‎ ‎(1)数列是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ 证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ ‎∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.‎ ‎∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)‎ 故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)‎ ‎(大前提是等比数列的定义，这里省略了)‎ ‎(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，‎ ‎∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1‎ ‎＝4an(n≥2)，(小前提)‎ 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ ‎(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)‎ 思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．‎ 跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则(　　)‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 答案　D 解析　由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．‎ 故选D.‎ ‎(2)已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．‎ 证明　设x1，x2∈R，取x1x1f(x2)＋x2f(x1)，‎ ‎∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，‎ ‎[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，‎ ‎∵x10，f(x2)>f(x1)．‎ ‎∴y＝f(x)为R上的单调增函数．‎ 高考中的合情推理问题 考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．‎ 解决此类问题的注意事项与常用方法：‎ ‎(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．‎ ‎(2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．‎ 典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：‎ 将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：‎ ‎①b2 018是数列{an}的第________项；‎ ‎②b2 －1＝________.(用 表示)‎ ‎(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x10，f(1)>0，证明：‎ ‎(1)a>0且－2<<－1；‎ ‎(2)方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．‎ 证明　(1)因为f(0)>0，f(1)>0，‎ 所以c>0,3a＋2b＋c>0.‎ 由a＋b＋c＝0，消去b得a>c>0；‎ 再由条件a＋b＋c＝0，消去c得a＋b<0且2a＋b>0，‎ 所以－2<<－1.‎ ‎(2)因为抛物线f(x)＝3ax2＋2bx＋c的顶点坐标为，‎ 又因为－2<<－1，‎ 所以<－<.‎ 因为f(0)>0，f(1)>0，‎ 而f＝＝－ ‎＝－<0，‎ 所以方程f(x)＝0在区间与内分别有一个实根，故方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．‎ ‎15．(2017·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积为________．‎ 答案　πb2a 解析　椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．‎ V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2 ‎＝πb2a.‎ ‎16．(2017·青岛模拟)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，‎ ‎(1)求函数f(x)的对称中心；‎ ‎(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f.‎ 解　(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，‎ 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.‎ f＝×3－×2＋3×－＝1.‎ 由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.‎ ‎(2)由(1)知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，‎ 所以f＋f＝2，‎ 即f(x)＋f(1－x)＝2.‎ 故f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ ‎…，‎ f＋f＝2.‎ 所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 016＝2 016.‎