2020高中数学 课时分层作业16 数学归纳法 新人教A版选修2-2

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2020高中数学 课时分层作业16 数学归纳法 新人教A版选修2-2

课时分层作业(十六) 数学归纳法 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证(  )‎ A.n=1  B.n=2‎ C.n=3 D.n=4‎ C [由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3是否成立.]‎ ‎2.设Sk=+++…+,则Sk+1为(  )‎ A.Sk+ B.Sk++ C.Sk+- D.Sk+- C [因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由Sk=++…+,①‎ 得Sk+1=++…+++.②‎ 由②-①,得Sk+1-Sk=+- ‎=-.‎ 故Sk+1=Sk+-.]‎ ‎3.利用数学归纳法证明不等式1+++…+<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了(  ) ‎ ‎【导学号:31062168】‎ A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项 D [当n=k时,不等式左边的最后一项为,而当n=k+1时,最后一项为=,并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.]‎ ‎4.对于不等式≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下:‎ ‎(1)当n=1时,≤1+1,不等式成立.‎ 5‎ ‎(2)假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即2的自然数n都成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与k取值无关 D.以上答案都不对 B [由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立.且n=2,故对所有的正偶数都成立.]‎ 二、填空题 ‎6.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”时,第一步的验证为________.‎ ‎[解析] 当n=1时,左≥右,不等式成立,‎ ‎∵n∈N*,‎ ‎∴第一步的验证为n=1的情形.‎ ‎[答案] 当n=1时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立 ‎7.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1·(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是________. ‎ ‎【导学号:31062170】‎ ‎[解析] 当n=k时,左端为:(1+1)(2+2)…(k+k),‎ 当n=k+1时,‎ 左端为:(1+1)(2+2)…(k+k)(k+1+k+1),‎ 由k到k+1需添加的因式为:(2k+2).‎ ‎[答案] 2k+2‎ ‎8.数列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N*),依次计算出a2,a3,a4后,归纳、猜测得出an的表达式为________.‎ 5‎ ‎[解析] a1=2,a2=,a3=,a4=,猜测an=.‎ ‎[答案] an= 三、解答题 ‎9.(1)用数学归纳法证明:‎ ‎12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N*).‎ ‎(2)求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).‎ ‎[解] (1)①当n=1时,左边=12=1,‎ 右边=(-1)0×=1,‎ 左边=右边,等式成立.‎ ‎②假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即 ‎12-22+32-42+…+(-1)k-1k2‎ ‎=(-1)k-1·.‎ 则当n=k+1时,‎ ‎12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2‎ ‎=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2‎ ‎=(-1)k(k+1)· ‎=(-1)k·.‎ ‎∴当n=k+1时,等式也成立,‎ 根据①、②可知,对于任何n∈N*等式成立.‎ ‎(2)①n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.‎ ‎②假设n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)2.‎ 当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1时,等式也成立.‎ 由①②得,等式对任何n∈N*都成立.‎ ‎10.已知{fn(x)}满足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)). ‎ ‎(1)求f2(x),f3(x),并猜想fn(x)的表达式;‎ ‎(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想. ‎ 5‎ ‎【导学号:31062171】‎ ‎[解] (1)f2(x)=f1[f1(x)]==,‎ f3(x)=f1[f2(x)]== 猜想:fn(x)=,(n∈N*)‎ ‎(2)下面用数学归纳法证明 ,fn(x)=(n∈N*)‎ ‎①当n=1时,f1(x)=,显然成立;‎ ‎②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=,‎ 则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]==,‎ 即对n=k+1时,猜想也成立;‎ 结合①②可知,猜想fn(x)=对一切n∈N*都成立.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.利用数学归纳法证明+++…+<1(n∈N*,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是(  )‎ A.增加了这一项 B.增加了和两项 C.增加了和两项,同时减少了这一项 D.以上都不对 C [不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为+++…+;当n=k+1时,左端为+++…+++,对比两式,可得结论.]‎ ‎2.某命题与自然数有关,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,则可推得n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,则可推得(  )‎ ‎ 【导学号:31062172】‎ 5‎ A.当n=6时,该命题不成立 B.当n=6时,该命题成立 C.当n=4时,该命题不成立 D.当n=4时,该命题成立 C [若n=4时,该命题成立,由条件可推得n=5命题成立.‎ 它的逆否命题为:若n=5不成立,则n=4时该命题也不成立.]‎ ‎3.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+________.‎ ‎[解析] 由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,‎ 故f(k+1)=f(k)+π.‎ ‎[答案] π ‎4.对任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,则最小的自然数a=________. ‎ ‎【导学号:31062173】‎ ‎[解析] 当n=1时,36+a3能被14整除的数为a=3或5;当a=3且n=2时,310+35不能被14整除,故a=5.‎ ‎[答案] 5‎ ‎5.是否存在a,b,c使等式2+2+2+…+2=对一切n∈N*都成立,若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.‎ ‎[解] 取n=1,2,3可得,解得:a=,b=,c=.‎ 下面用数学归纳法证明2+2+2+…+2==.‎ 即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),‎ ‎①n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;‎ ‎②假设n=k时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,‎ 则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),∴当n=k+1时等式成立;‎ 由数学归纳法,综合①②当n∈N*等式成立,‎ 故存在a=,b=,c=使已知等式成立.‎ 5‎
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