2017-2018学年福建省东山第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年福建省东山第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018 学年福建省东山第二中学高二上学期期中考试数学（理科）期中考试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．已知命题 p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则﹁p 为 ( ) A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1 C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1 D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1 2．某公司 10 位员工的月工资(单位：元)为 x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为 x－和 s2， 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为 ( ) A. x－，s2＋1002 B． x－＋100，s2＋1002 C. x－，s2 D． x－＋100， s2 3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A． 至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 4．设点 P(x，y)，则 x＝2 且 y＝－1 是点 P 在直线 l：x＋y－1＝0 上的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．高三某班有学生 56 人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知 5 号、33 号、47 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为 ( ) A．13 B．17 C.19 D．21 6.一只蚂蚁一直在三边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行,该蚂蚁距离三角形的三 个顶点的距离均超过 1 的概率为 ( ) A. B. C. D. 7．右图是把二进制的数 11111(2)化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填 入的条件是( ) A．i>5? B．i≤5? C．i>4? D．i≤4? 8．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了 10 次实验，数据如下： 玩具个数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 加工时间 4 7 12 15 21 25 27 31 37 41 如回归方程的斜率是b^ ，则它的截距是( ) A.a^ ＝11b^ －22 ； B.a^ ＝22－11b^ ；C.a^ ＝11－22b^ ； D.a^ ＝22b^ －11 9．若直线 mx＋ny＝4 与圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与 椭圆 149 22  yx 的交点个数为( ) A．至多一个 B．2 C．1 D．0 10. 已知 0 0( , )M x y 是双曲线 2 2: 12 xC y  上的一点， 1 2,F F 是 C 上的两个焦点，若 1 2 0MF MF   ，则 0y 的取值范围是（ ） A.（- 3 3 ， 3 3 ）B.（- 3 6 ， 3 6 ）C.（ 2 2 3  ， 2 2 3 ） D.（ 2 3 3  ， 2 3 3 ） 11.已知双曲线 x y a ,ba b     2 2 2 2 1( 0 0) 的右焦点为 F ，过点 F 作斜率为 1 的直线 l 交双曲 线的渐近线于点 P （点 P 在第一象限）， O 为坐标原点，若 OFP 的面积为 a b2 2 8 ，则该 双曲线的离心率为（ ） Ａ、 5 3 Ｂ、 7 3 Ｃ、 10 3 Ｄ、 15 3 12.已知椭圆 的左顶点为 ，左焦点为 ，点 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的 上顶点到焦点的距离为 ，离心率 ，则 的取值范围是( ) A. [0,12] B. [0.10] C.[-4,10] D.[-4,12] 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)． 13．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第 3 次球恰好传 回给甲的概率是________ ； 14.已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 1/2，E 的右焦点与抛物线 2: 8C y x 的焦点重 合， ,A B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则| |AB  ； 15．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把 乙猜的数字记为 b，且 a，b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任 意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________ ; 16．已知 为坐标原点， 是椭圆 （ ）的左焦点， ， 分别为 的 左、右顶点， 为 上一点，且 轴，过点 的直线与线段 交于点 ，与 轴交于点 。 若直线 经过 的中点，则 的离心率为 . 三、解答题(17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分) 17. （10 分）已知命题 ，命题 q:  . 若命题“ ”是假命题，“p ∨ q”是真命题，求实数 a 的取值范围． 18. （12 分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进 行试销，得到如下数据： 单价 x（元） 8 8．2 8．4 8．6 8．8 9 销量 y（件） 90 84 83 80 75 68 （1）求回归直线方程 ＝bx＋a，其中 b＝－20，a＝ ； （2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是 4 元/件， 为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润＝销售收入－成本） 参考公式： 19. （12 分）已知抛物线 2x2y , (1)设点 A 的坐标为 2 ,03 （ ）,求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|PA|; (2)在抛物线上求一点 P,使 P 到直线 x-y+3=0 的距离最短,并求出距离的最小值. 20.(12 分)某中学的高二(1)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老师按照分层抽样的方法组建 了一个 4 人的课外兴趣小组. （1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; （2）经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出 2 名同学做某项实验,方法是先从小组 里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选 1 名同学做实验,求选出的 2 名同学中恰有一名女同学的概率; （3）实验结束后,第一次做实验的同学得到的实验数据为 68,70,71,72,74,第二次做实验的同 学得到的实验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由. 21.（12 分）已知椭圆 C： （ ），四点 ， ， ， 中恰有三点在椭圆 C 上。 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1， 证明：l 过定点。 22. （12 分）设圆 2 2 15 0y x   2x 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AC 于点 E。 （1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （2）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围。 高二年理科数学期中考试卷参考答案 1B;2D;3D;4A;5C;6D;7D;8B;9B;10A;11C;12A; 13． 1 4 14. 6 15. 7 25 16. 1/3 17 解: p: a≤1 q: a ≥1 或 a≤-2 若 p 真 q 假，则 －2＜a＜1 若 p 假 q 真，则 a ＞ 1 综上，a ∈(-2,1)∪(1,+∞) 18 解：（1）由于 ＝8．5， ＝80． 所以 a＝ －b ＝80＋20×8．5＝250， 从而回归直线方程为 ＝－20x＋250． （2）设工厂获得的利润为 L 元，依题意得 L＝x（－20x＋250）－4（－20x＋250）＝－20x2＋330x－1 000 ＝－20（x－ ）2＋361．25． 当且仅当 x＝8．25 时，L 取得最大值． 故当单价定为 8．25 元时，工厂可获得最大利润． 19 解 ： (1) 设 抛 物 线 上 上 的 点 , 则 , 当 时, 达到最小值 , 当点 P 的坐标为 时, ; (2) 设 为 该 抛 物 线 上 任 一 点 , 那 么 , 则 点 P 到 直 线 的 距 离 , 当且仅当 时,取“=” , 此时点 . 即抛物线上的点 P 的坐标为 时,点 P 到直线 的距离最短,最小值为 . 20 解:(1)∵P= ,∴某同学被抽到的概率为 . 设有 x 名男同学,则 ,∴x=3.∴男、女同学的人数分别为 3,1. (2) 把 3 名 男 同 学 和 1 名 女 同 学 记 为 a1,a2,a3,b, 则 选 取 2 名 同 学 的 基 本 事 件 有 (a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1), (b,a2),(b,a3)共 12 种,其中有 1 名女同学的有 6 种, ∴选出的 2 名同学中恰有 1 名女同学的概率为 P= . (3) =71, =71, s1= =2, s2= , ∴第二个同学的实验更稳定. 21 解：（1）由已知得，根据椭圆的对称性 ， 必然在椭圆上，代入得 ，则剩余一点必然为 ，代入得 ，所以 ， 。椭圆的方程为 。 （2）当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立 ，得 ，设 ， ，由韦达定理得 ， 。则 ， 。又由 ，得 。代入直线方程，及韦达定理的结论，得 ，化简，得 ，因为直线不过点 ，所以 ， 则 ，所以的方程为 ，即直线过定点 。 当直线的斜率不存在时，设 ， ，由斜率之和为 ，得 ，得 ，此时的方程为 ，但此时与椭圆只有一个交点，不符合题意，故舍去这种情况。 因此，直线必过定点 。 22 解：（1）将圆的方程化为标准方程： ，由于 ，则 ， 又 ，所以 ，因此 ，所以 ，这样就得 到了 为定值 ，由题设得 ， ， ，根据 椭圆的定义，点 的轨迹方程为： （ ）。 （2）设 （ ），则在 中应用余弦定理，有 ，结合 ，可解得 。 类似的，可得 ，从而 。此时直线 的方程 为 ，于是圆的弦长 。所以可 得四边形 的面积 ，因为 ，所以 ，于是四边形 的面积的取值范围是 。