【数学】2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课时作业

【数学】2020届一轮复习苏教版 矩阵与变换 课时作业

‎1、定义，如，那么 A. 6 B. 3 C. D. 0‎ ‎2、‎ 若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是　　．‎ ‎3、设二阶矩阵A＝．‎ ‎（Ⅰ）求A－1；‎ ‎（Ⅱ）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C？：6x2－y2＝1，求曲线C的方程．‎ ‎4、设是矩阵的一个特征向量.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求矩阵的特征值.‎ ‎5、已知矩阵属于特征值的一个特征向量为.‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若曲线在矩阵对应的变换作用下,得到的曲线为求曲线的方程.‎ ‎6、已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线变为直线，求直线的方程．‎ ‎7、已知矩阵，A的逆矩阵，求A的特征值．‎ ‎8、已知矩阵，点在对应的变换作用下得到点 ‎，求矩阵的特征值.‎ ‎9、‎ 如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中au（i，j=1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的实数，且au∈{1，﹣1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．‎ 对于A∈S（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积．令l（A=（A）+（A））．‎ ‎（Ⅰ）请写出一个A∈s（4，4），使得l（A）=0；‎ ‎（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）=0？说明理由；‎ ‎（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．‎ a11‎ a12‎ ‎…‎ a1n a21‎ a22‎ ‎…‎ a2n ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ an1‎ an2‎ ‎…‎ ann ‎10、已知矩阵的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为．若，求，的值．‎ 参考答案 ‎1、答案：D 解析：＝2－3＝0.选D.‎ ‎2、答案：‎ 解析：‎ 解：由题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴sinθ﹣sin3θ≠0‎ ‎∴sinθ≠0或sin2θ≠1‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎　‎ ‎3、答案：（1）（2）8y2－3x2＝1.‎ 试题分析：曲线上任意一点在矩阵对应的变换作用下得到点，，代入，即可得结果 试题解析：解：（1）根据逆矩阵公式，可得A－1＝．‎ ‎（2）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P，‎ 则，所以 因为在曲线上，所以，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2‎ ‎＝1，化简得8y2－3x2＝1，‎ 所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1.‎ 解析：‎ ‎4、答案：(Ⅰ)1；(Ⅱ)和．‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)结合特征向量的定义得到关于实数的方程组，求解方程组可得；‎ ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的矩阵得到矩阵的特征值方程，解方程可得矩阵的特征值为和．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设是矩阵属于特征值的一个特征向量，则，即 ‎，解得，故实数的值为；‎ ‎（Ⅱ）矩阵的特征多项式为，所以，，故矩阵的特征值为和．‎ 解析：‎ ‎5、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）由题意可得，并由此得到关于的方程组，解方程组可得结果。（2）设曲线上的一点，在矩阵的作用下得到点，利用矩阵变换得到，然后代入方程可得曲线C的方程。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得 即，‎ 解得 ‎（2）设曲线上的一点，在矩阵的作用下得到点.‎ ‎，‎ 所以 将上式代入方程 得，‎ 整理得.‎ 所以曲线C的方程为。‎ ‎6、答案：.‎ 试题分析：先计算矩阵的对应变换，再求出变换下点的坐标之间的对应关系，从而可得直线的方程.‎ 试题解析：∵，∴.‎ 在直线上任取一点，它是由上的点经矩阵所对应的变换所得，‎ 则一方面，∵点在直线上，∴.①‎ ‎，即，∴，‎ ‎∴②‎ 将②代入①得，即，‎ ‎∴直线的方程为.‎ 解析：‎ ‎7、答案：的特征值为3和1‎ 试题分析：‎ 利用题意得到特征多项式，据此即可求得相应的特征值为3和1‎ 试题解析：‎ 则解之得 的特征多项式 令，解之得 的特征值为3和1‎ ‎8、答案：的特征值为和.‎ 试题分析：借助题设条件及特征方程，建立方程组求解：‎ B.解：由题意，，即，解得，所以矩阵.所以矩阵的特征多项式为，令，得，所以的特征值为和.‎ ‎9、答案：‎ ‎（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．‎ ‎﹣1‎ ‎﹣1‎ ‎﹣1‎ ‎﹣1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎（Ⅱ）解：不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0． ‎ 证明如下：‎ 假设存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．‎ 因为ri（A）∈{1，﹣1}，cj（A）∈{1，﹣1}，（i，j=1，2，3，…，9），‎ 所以r1（A），…，r9（A）；c1（A），…，c9（A），这18个数中有9个1，9个﹣1．‎ 令M=r1（A）？…r9（A）c1（A）…c9（A）．‎ 一方面，由于这18个数中有9个1，9个﹣1，从而M=﹣1． ①‎ 另一方面，r1（A）？…r9（A）表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；c1（A）？…c9（A）也表示m，从而M=m2=1． ②‎ ‎①、②相矛盾，从而不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0． ‎ ‎（Ⅲ）解：记这n2个实数之积为P．‎ 一方面，从“行”的角度看，有P=r1（A）？r2（A）…rn（A）；‎ 另一方面，从“列”的角度看，有P=c1（A）c2（A）…cn（A）．‎ 从而有r1（A）？r2（A）…rn（A）=c1（A）c2（A）…cn（A）． ③‎ 注意到ri（A）∈{1，﹣1}，cj（A）∈{1，﹣1}，（i，j=1，2，3，…，n），‎ 下面考虑r1（A），…，rn（A）；c1（A），…，cn（A），这些数中﹣1的个数：‎ 由③知，上述2n个实数中，﹣1的个数一定为偶数，该偶数记为2k（0≤k≤n）；则1的个数为2n﹣2k，‎ 所以l（A）=（﹣1）×2k+1×（2n﹣2k）=2（n﹣2k）． ‎ ‎ 对数表A0：aij=1，（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A0）=2n．‎ 将数表A0中的a11由1变为﹣1，得到数表A1，显然l（A1）=2n﹣4．‎ 将数表A1中的a22由1变为﹣1，得到数表A2，显然l（A2）=2n﹣8．‎ 依此类推，将数表Ak﹣1中的akk由1变为﹣1，得到数表Ak．‎ 即数表Ak满足：a11=a22=…=akk=﹣1（1≤k≤n），其余aij=1．‎ 所以 r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=﹣1，c1（A）=c2（A）=…=ck（A）=﹣1．‎ 所以l（Ak）=2[（﹣1）×k+（n﹣k）]=2n﹣4k．‎ 由k的任意性知，l（A）的取值集合为{2（n﹣2k）|k=0，1，2，…n}．‎ ‎10、答案：，的值分别为，．‎ 试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得，的值分别为，．‎ 试题解析：‎ 由条件知，，即，即，‎ 所以解得所以．‎ 则，所以解得 所以，的值分别为，．‎