【数学】2020届数学文一轮复习第二章第9讲函数模型及其应用作业

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【数学】2020届数学文一轮复习第二章第9讲函数模型及其应用作业

1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个 函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y=2x-2 B.y=1 2(x2-1) C.y=log2x D.y=log 1 2 x 解析:选 B.由题中表可知函数在(0,+∞)上是增函数,且 y 的变化随 x 的增大而增大 得越来越快,分析选项可知 B 符合,故选 B. 2.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速度越来越快,后 3 年 年产量保持不变,则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是 ( ) 解析:选 A.前 3 年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有 A、C 图象符 合要求,而后 3 年年产量保持不变,故选 A. 3.一种放射性元素的质量按每年 10%衰减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初 质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到 0.1,已知 lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)( ) A.5.2 B.6.6 C.7.1 D.8.3 解析:选 B.设这种放射性元素的半衰期是 x 年,则(1-10%)x=1 2 ,化简得 0.9x=1 2 ,即 x=log0.9 1 2 = lg1 2 lg 0.9 = -lg 2 2lg 3-1 = -0.301 0 2×0.477 1-1 ≈6.6(年).故选 B. 4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过 10 m3 的, 按每立方米 m 元收费;用水超过 10 m3 的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费 16m 元, 则该职工这个月实际用水为( ) A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3 解析:选 A.设该职工用水 x m3 时,缴纳的水费为 y 元,由题意得 y= mx(010), 则 10m+(x-10)·2m=16m, 解得 x=13. 5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这 些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长 x, y 应为( ) A.x=15,y=12 B.x=12,y=15 C.x=14,y=10 D.x=10,y=14 解析:选 A.由三角形相似得24-y 24-8 = x 20.得 x=5 4(24-y),所以 S=xy=-5 4(y-12)2+180, 所以当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15.检验符合题意. 6.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2016 年 5 月 1 日 12 35 000 2016 年 5 月 15 日 48 35 600 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为________升. 解析:因为每次都把油箱加满,第二次加了 48 升油,说明这段时间总耗油量为 48 升, 而行驶的路程为 35 600-35 000=600(千米),故每 100 千米平均耗油量为 48÷6=8(升). 答案:8 7.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价 付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过 部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________km. 解析:设出租车行驶 x km 时,付费 y 元, 则 y= 9,0<x≤3, 8+2.15(x-3)+1,3<x≤8, 8+2.15×5+2.85(x-8)+1,x>8, 由 y=22.6,解得 x=9. 答案:9 8.里氏震级 M 的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最 大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000, 此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为________级;9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的________倍. 解析:M=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6. 设 9 级地震的最大振幅和 5 级地震的最大振幅分别为 A1,A2, 则 9=lg A1-lg A0=lg A1 A0 ,则A1 A0 =109, 5=lg A2-lg A0=lg A2 A0 ,则A2 A0 =105,所以A1 A2 =104. 即 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 10 000 倍. 答案:6 10 000 9.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每 毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效,求服药一次 后治疗疾病有效的时间. 解:(1)由题图,设 y= kt,0≤t≤1, 1 2 t-a ,t>1, 当 t=1 时,由 y=4 得 k=4, 由 1 2 1-a =4 得 a=3. 所以 y= 4t,0≤t≤1, 1 2 t-3 ,t>1. (2)由 y≥0.25 得 0≤t≤1, 4t≥0.25 或 t>1, 1 2 t-3 ≥0.25, 解得 1 16 ≤t≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5- 1 16 =79 16(小时). 10.某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄 水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为 120 6t 吨(0≤t≤24), (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内, 有几小时出现供水紧张现象. 解:(1)设 t 小时后蓄水池中的存水量为 y 吨, 则 y=400+60t-120 6t; 令 6t=x,则 x2=6t,即 y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40, 所以当 x=6,即 t=6 时,ymin=40, 即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池存水量最少,只有 40 吨. (2)令 400+10x2-120x<80,即 x2-12x+32<0, 解得 40,解得 x>2.3. 因为 x∈N*,所以 3≤x≤6,x∈N*. 当 x>6 时,y=[50-3(x-6)]x-115. 令[50-3(x-6)]x-115>0,有 3x2-68x+115<0. 又 x∈N*,所以 6185, 所以当每辆自行车的日租金定为 11 元时,才能使一日的净收入最多. 6.(2019·辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人 民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入 200 万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入 20 万元,其中甲大棚种西 红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位:万元)满足 P=80+4 2a,Q=1 4a+120,设甲大棚的投入为 x(单元:万元), 每年两个大棚的总收益为 f(x)(单位:万元). (1)求 f(50)的值; (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f(x)最大? 解:(1)由题意知甲大棚投入 50 万元, 则乙大棚投入 150 万元, 所以 f(50)=80+4 2×50+1 4 ×150+120=277.5(万元). (2)f(x)=80+4 2x+1 4(200-x)+120=-1 4x+4 2x+250, 依题意得 x≥20, 200-x≥20 ⇒ 20≤x≤180, 故 f(x)=-1 4x+4 2x+250(20≤x≤180). 令 t= x,则 t∈[2 5,6 5],y=-1 4t2+4 2t+250=-1 4(t-8 2)2+282, 当 t=8 2,即 x=128 时,f(x)取得最大值,f(x)max=282. 所以甲大棚投入 128 万元,乙大棚投入 72 万元时,总收益最大,且最大总收益为 282 万元.
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