江苏省南京市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题 Word版含解析

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江苏省南京市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎1.设集合M={m|﹣3<m<2,m∈Z},N=R,则M∩N=_____.‎ ‎【答案】{﹣2,﹣1,0,1}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出集合M,然后进行交集的运算即可.‎ ‎【详解】∵M={﹣2,﹣1,0,1},N=R,‎ ‎∴M∩N={﹣2,﹣1,0,1}.‎ 故答案为:{﹣2,﹣1,0,1}.‎ ‎【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义,交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎2.复数z复平面上对应点位于第_____象限.‎ ‎【答案】一 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个实数,分子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所在的象限.‎ ‎【详解】∵复数,‎ ‎∴复数对应的点的坐标是(,)‎ ‎∴复数在复平面内对应的点位于第一象限,‎ 故答案为:一 ‎【点睛】本题考查复数的实部和虚部的符号,是一个概念题,考查了复数的四则运算,属于简单题.‎ ‎3.某次测验,将20名学生平均分为两组,测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90,6;80,4.则这20名学生成绩的方差为_____.‎ ‎【答案】51‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 由方差定义可得n个数与其平均数,方差间关系xxxnS2+n2,利用此关系可结合条件把20 个数据中的前10个数,后10个数分别找出其平方和,及平均数,进而求出20名学生成绩的方差.‎ ‎【详解】设x1,x2…xn的方差S2[(x1)2+(x2)2+…+(xn)2][xxx2(x1+x2+…+xn)+n2][x12+xxn2]‎ ‎∴xxxnS2+n2,‎ 则xxx10×36+10×902=81360,xxx10×16+10×802=64160,‎ ‎85.‎ ‎∴S2[xxx202][81360+64160﹣20×852]=51,‎ 故答案:51.‎ ‎【点评】本题依托平均数,方差,标准差的定义关系,考查学生的数据处理能力和计算能力,属于中低档题.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为_____.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 根据程序框图进行模拟运算即可.‎ ‎【详解】第1次循环:k=0,S=1;‎ 第2次循环:S=1×21=2,k=2;‎ 第3次循环:S=2×22=8,k=3;‎ 此时不满足循环条件k<3,输出S=8.‎ 故答案为:8.‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序框图的识别和判断问题,根据条件模拟运算是解题的关键,考查了计算能力,属于简单题.‎ ‎5.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,记底面上的数字分别为,则为整数的概率是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 总数为 为整数有共8个,所以概率是 ‎ ‎6.函数f(x)=(x﹣3)ex的单调递增区间是 .‎ ‎【答案】(2,+∞)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:首先对f(x)=(x﹣3)ex求导,可得f′(x)=(x﹣2)ex,令f′(x)>0,解可得答案.‎ 解:f′(x)=(x﹣3)′ex+(x﹣3)(ex)′=(x﹣2)ex,令f′(x)>0,解得x>2.‎ 故答案为(2,+∞).‎ 考点:利用导数研究函数的单调性.‎ ‎7.已知双曲线的离心率为,那么此双曲线的准线方程为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的离心率为,求出a,c,再求出双曲线的准线方程.‎ ‎【详解】∵双曲线的离心率为,‎ ‎∴(m﹣3)(m+5)<0,,‎ ‎∴﹣5<m<3,,‎ ‎∴m,‎ ‎∴a,c=2,‎ ‎∴双曲线的准线方程为 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的准线方程,考查离心率,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎8.已知正四棱锥的体积为,底面边长为,则侧棱的长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设底面正方形的中心为,根据题意得到,再由求出,结合勾股定理即可得出结果.‎ ‎【详解】设底面正方形的中心为,又底面边长为2可得 由 ‎【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征,熟记棱锥的结构特征及体积公式即可,属于基础题型.‎ - 23 -‎ ‎9.已知函数若则函数的最小正周期为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:,所以,由此可得:‎ ‎,又因为,所以令得,所以函数的最小正周期 ‎.‎ 考点:三角函数的性质.‎ ‎10.已知等差数列{an}满足:a1=﹣8,a2=﹣6.若将a1,a4,a5都加上同一个数m,所得的三个数依次成等比数列,则m的值为_____.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【分析】由题意可得公差d=a2﹣a1=2,从而an=a1+(n﹣1)d=2n﹣10,设所加的这个数为x,根据 (a1+x)(a5+x),解出x的值.‎ ‎【详解】已知等差数列{an}中,a1=﹣8,a2=﹣6,‎ ‎∴公差d=a2﹣a1=2,‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=2n﹣10.‎ 将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,设所加的这个数为x,‎ 则有 (a1+x)(a5+x),即 (﹣2+x)2=(﹣8+x)(0+x),解得 x=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质,求等差数列的通项公式,求得 an=2n﹣10,是解题的关键,属于中档题.‎ ‎11.设函数和的图象在轴左、右两侧靠近 轴的交点分别为、,已知为原点,则 .‎ - 23 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由得,即,所以,即,则,所以 ‎;‎ 考点:1.三角函数的恒等变换;2.平面向量的数量积;‎ ‎12.设f(x)=asin2x+bcos2x(a,b∈R),若f(x)的最大值为,则a+b的取值范围为_____.‎ ‎【答案】[,].‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件利用辅助角公式、正弦函数的最值求得a2+b2=5,再利用基本不等式求得 (a+b)2≤10,从而求得a+b的取值范围.‎ ‎【详解】∵f(x)=asin2x+bcos2xsin(2x+θ)(a,b∈R),‎ 若f(x)的最大值为,∴a2+b2=5,‎ ‎∴(a+b)2=a2+b2+2ab≤2( a2+b2 )=10,‎ ‎∴a+b,故a+b的取值范围为[,],‎ 故答案为:[,].‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的最值,基本不等式的应用,属于中档题.‎ ‎13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,且cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1,则a+2c的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数,结合正弦定理以及基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】解:由cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1‎ ‎⇒1﹣2sin2B+cosB+cosAcosC+sinAsinC=1‎ ‎⇒1﹣2sin2B﹣cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=1‎ ‎⇒sinAsinC=sin2B,‎ 由正弦定理得到ac=b2,‎ 而,当且仅当 等号成立 由b=2,可得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查两角和与差的三角函数,正弦定理基本不等式的应用,考查分析问题解决问题的能力.‎ ‎14.已知正实数x,y满足x++3y+=10,则xy的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎10=+≥2,即25≥3xy++143(xy)2-11xy+8≤01≤xy≤.‎ 二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量 ‎(1)当时,求b的值;‎ ‎(2)当∥时,且,求的值.‎ ‎【答案】(1)b=1.(2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎(1)由题意得,即,由正弦定理有:,联立即可得解b的值.‎ ‎(2)由平行条件得a=sinA•sinB,由,则可得,联立即可得解.‎ ‎【详解】(1)由题意得:,‎ 即得,‎ 在三角形中由正弦定理有:,‎ 由以上两式可知:b=1.‎ ‎(2)由平行条件得,‎ ‎, ‎ 则可得到:,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理,平面向量数量积的坐标运算,两角和的余弦函数公式的综合应用,考查了计算计算能力和转化思想,属于中档题.‎ ‎16.如图,四棱锥A﹣BCDE中,AB、BC、BE两两垂直且AB=BC=BE,DE∥BC,DE=2BC,F是AE的中点.‎ ‎(1)求证:BF∥面ACD;‎ ‎(2)求证:面ADE⊥面ACD.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取AD的中点M,连接CM、MF,推导出四边形BCMF为平行四边形,从而CM∥BF - 23 -‎ ‎,由此能证明BF∥面ACD.‎ ‎(2)作DE中点N,连接CN,推导出CM⊥AD,BF⊥AE,CM⊥AE,由此能证明面ADE⊥面ACD.‎ ‎【详解】证明:(1)取AD的中点M,连接CM、MF.‎ ‎∵F、M分别为AE、AD中点,∴DE∥2MF,DE=2MF 又∵DE∥2BC,DE=2BC∴FM∥BC,FM=BC,‎ ‎∴四边形BCMF为平行四边形,∴CM∥BF,‎ 又∵BF⊄面ACD,CM⊂面ACD,‎ ‎∴BF∥面ACD.‎ ‎(2)作DE中点N,连接CN,‎ ‎∵DE∥2BC,DE=2BC,N为DE中点N,∴DN=BC,‎ 又∵AB、BC、BE两两垂直,且AB=BC=BE,∴AC=CD,‎ ‎∵M为AD中点,∴CM⊥AD,‎ 又∵F是AE的中点,且AB=BE,∴BF⊥AE,‎ ‎∵CM∥BF,∴CM⊥AE,‎ 又∵AD∩AE=A,AE、AD⊂面ADE,∴CM⊥面ADE,‎ ‎∵CM⊂面ACD,∴面ADE⊥面ACD.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查了空间思维能力和推理能力,属于中档题.‎ ‎17.为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流,已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向(即).现准备修建一条城市高架道路L,L在MO上设一出入口A,在ON上设一出入口B.假设高架道路L在AB部分为直线段,且要求市中心O与AB的距离为10km.‎ - 23 -‎ ‎(1)求两站点A,B之间距离的最小值;‎ ‎(2)公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C,为保护古建筑群,设立一个以C为圆心,5km为半径的圆形保护区.则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A,才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态)?‎ ‎【答案】(1);(2)设计出入口A离市中心O的距离在到20km之间时,才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)过点O作于点E,则,设,则,,则有,然后利用三角函数的知识求出分母的最大值即可 ‎(2)以O为原点建立平面直角坐标系,设直线AB的方程为,可得和,解得或(舍),可得,又当时,,从而可得.‎ ‎【详解】(1)过点O作于点E,则,‎ 设,则,‎ 所以,‎ 所以;‎ - 23 -‎ 因为;‎ 所以当时,AB取得最小值为;‎ ‎(2)以O为原点建立平面直角坐标系,如图所示;‎ 则圆C的方程为,‎ 设直线AB的方程为;‎ ‎∴,∴,‎ 解得或(舍),∴,‎ 又当时,,‎ 所以;‎ 综上知,当时,即设计出入口A离市中心O的距离在到20km之间时,才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态).‎ ‎【点睛】1.本题考查的是三角函数的实际应用,要善于利用三角函数的有界性求最值 ‎2.由实际问题建立直角坐标系,运用直线与圆的位置关系,确定参数范围.‎ ‎18.已知点M是圆C:(x+1)2+y2=8上的动点,定点D(1,0),点P在直线DM上,点N在直线CM上,且满足2,•0,动点N的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)若AB是曲线E的长为2的动弦,O为坐标原点,求△AOB面积S的最大值.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知得NP为DM的垂直平分线,|ND|=|NM|,,由此能求了轨迹E的方程.‎ ‎(2)法一:设直线AB的方程为y=kx+m,由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式,结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值.‎ ‎(2)法二:设直线AB的方程为y=kx+m,由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式,结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值.‎ ‎【详解】(1)解:因为,,‎ 所以NP为DM的垂直平分线,‎ 所以|ND|=|NM|,又因为,‎ 所以 所以动点N的轨迹是以点C(﹣1,0),D(1,0)为焦点的长轴为的椭圆.‎ 所以轨迹E的方程为. ‎ ‎(2)解法一:因为线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点A、O、B能构成三角形,‎ 则弦AB不能与x轴垂直,故可设直线AB的方程为y=kx+m,‎ 由,消去y,并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0. ‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),又△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0,‎ 所以,‎ - 23 -‎ 因为|AB|=2,所以,即 所以,即,‎ 因为1+k2≥1,所以. ‎ 又点O到直线AB的距离,‎ 因为h,‎ 所以S2=h2=2m2(1﹣m2)‎ 所以,即S的最大值为. ‎ ‎(2)解法二:因为线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点A、O、B能构成三角形,‎ 则弦AB不能与x垂直,故可设直线AB的方程为y=kx+m,‎ 由,消去y,并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),又△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0,‎ 所以,.‎ 因为|AB|=2,所以.‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 又点O到直线AB的距离,所以h.‎ 所以S2=h2.‎ - 23 -‎ 设,则, ‎ 所以,即S的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查了三角形面积的最大值的求法,解题时要注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用,要求较高的计算能力,本题属于难题.‎ ‎19.设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn,q为非零常数,已知对任意正整数n,m,Sn+m=Sm+qmSn总成立.‎ ‎(1)求证:数列{an}是等比数列;‎ ‎(2)若不等的正整数m,k,h成等差数列,试比较amm•ahh与ak2k的大小;‎ ‎(3)若不等的正整数m,k,h成等比数列,试比较与的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令n=m=1,得a2=qa1,令m=1,得Sn+1=S1+qSn(1),从而Sn+2=S1+qSn+1两式相减即可得出an+2=qan+1,进而可判断出数列{an}是等比数列 ‎(2)根据m,k,h成等差数列,可知m+h=2k,进而可判定,进而根据等比数列的通项公式分q大于、等于和小于1三种情况判断.‎ ‎(3)正整数m,k,h成等比数列,则m•h=k2,判断出,进而根据等差根据等比数列的通项公式分a1和q大于、等于和小于1三种情况判断.‎ ‎【详解】(1)证:因为对任意正整数n,m,Sn+m=Sm+qmSn总成立,‎ 令n=m=1,得S2=S1+qS1,则a2=qa1‎ 令m=1,得Sn+1=S1+qSn(1),从而Sn+2=S1+qSn+1(2),‎ ‎(2)﹣(1)得an+2=qan+1,(n≥1)‎ 综上得an+1=qan(n≥1),所以数列{an}是等比数列 ‎(2)正整数m,k,h成等差数列,‎ 则m+h=2k,‎ - 23 -‎ 所以,‎ 则 ‎①当q=1时,amm•ahh=a12k=ak2k ‎②当q>1时,‎ ‎③当0<q<1时,‎ ‎(3)正整数m,k,h成等比数列,则m•h=k2,则,‎ 所以,‎ ‎①当a1=q,即时,‎ ‎②当a1>q,即时,‎ ‎③当a1<q,即时,‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的性质,考查了等比数列与不等式综合,考查了分类讨论思想和计算能力,属于难题.‎ ‎20.‎ 已知函数(是自然对数的底数).‎ ‎(1)若曲线在处的切线也是抛物线的切线,求的值;‎ ‎(2)若对于任意恒成立,试确定实数的取值范围;‎ ‎(3)当时,是否存在,使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等?若存在,求符合条件的的个数;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)或;(2)(3)相等,一个.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎(1)求出在的切线,与联立,根据切线与抛物线只有一个交点,则;(2)分,,根据导数讨论;(3)转化为函数的零点通过导数求解.‎ ‎【详解】(1),‎ 所以在处的切线为 即: ‎ 与联立,消去得,‎ 由知,或 ‎(2)‎ ‎①当时,在上单调递增,且当时,,‎ ‎,故不恒成立,所以不合题意 ; ‎ ‎②当时,对恒成立,所以符合题意;‎ ‎③当时令,得, ‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 故在上是单调递减,在上是单调递增, ‎ 所以 又,,‎ 综上: ‎ ‎(3)当时,‎ 由(2)知,‎ 设,‎ 则,‎ - 23 -‎ 假设存在实数,使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等,即为方程的解, ‎ 令得:,‎ 因为, 所以.‎ 令,则,‎ 当是,当时,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎,故方程有唯一解为1,‎ 所以存在符合条件的,且仅有一个.‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用. 复杂方程的根问题:1、转化为函数的交点求解;2、转化为函数的零点求解.‎ ‎[选做题](本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在答题相应的区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎[选修4-2:矩阵与变换]‎ ‎21.设矩阵A,求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量.‎ ‎【答案】λ1=﹣1,对应一个特征向量为,λ2,对应的一个特征向量为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由矩阵A,求得丨A丨及A*,A﹣1A*,求得A﹣1,由特征多项式f(λ)=0,求得矩阵的特征值,代入求得特征向量.‎ ‎【详解】丨A丨1﹣4=﹣3,A*,‎ - 23 -‎ A的逆矩阵为A﹣1A*,‎ 则特征多项式为f(λ)=(λ)2λ2λ,‎ 令f(λ)=0,解得:λ1=﹣1,λ2,‎ 设特征向量为,则,‎ 可知特征值λ1=﹣1,对应的一个特征向量为,‎ 同理可得特征值λ2,对应一个特征向量为.‎ ‎【点睛】本题考查求矩阵特征值及特征向量,考查逆矩阵的求法,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在极坐标系中,求曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程,从而求得对称曲线的直角坐标方程,再转化成极坐标方程.‎ ‎【详解】以极点为坐标原点,极轴为x轴建立直角坐标系,‎ 则曲线的直角坐标方程为,且圆心C为.‎ 直线的直角坐标方程为,‎ 因为圆心C关于的对称点为,‎ 所以圆心C关于的对称曲线为.‎ - 23 -‎ 所以曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲] ‎ ‎23.若关于x的不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2),求函数f(x)=(a﹣1)(b﹣1)的最大值.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意可得1,2是方程x2﹣ax+b=0的两根,运用韦达定理可得a=3,b=2,即有f(x)=2,运用柯西不等式即可得到所求最大值.‎ ‎【详解】关于x的不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2),‎ 可得1,2是方程x2﹣ax+b=0的两根,‎ 即有1+2=a,1×2=b,‎ 解得a=3,b=2,‎ 则函数f(x)=(a﹣1)(b﹣1)2,‎ 由x﹣3≥0,4﹣x≥0可得3≤x≤4,‎ 由柯西不等式可得,(2)2≤(4+1)(x﹣3+4﹣x),‎ 即有2.‎ 当2,即为x∈[3,4]时,‎ f(x)取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查函数的最值的求法,注意运用柯西不等式,考查二次方程和二次不等式的转化思想,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ - 23 -‎ ‎24.某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.‎ ‎(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;‎ ‎(2)若考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.‎ ‎【答案】(1)见解析,2.(2)此甲的实验操作能力较强.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X,则 ,k=1,2,3,由此求得考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列.‎ ‎(2)设考生乙正确完成实验操作的题数为Y,则,求得P(Y≥2)的值、P(X≥2)的值,再根据P(X≥2)>P(Y≥2),得出结论.‎ ‎【详解】(1)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X,‎ 则 ,k=1,2,3.‎ 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴EX=1232.‎ ‎(2)设考生乙正确完成实验操作的题数为Y,则,所以,k=0,1,2,3,‎ ‎;‎ 又,且P(X≥2)>P(Y≥2),‎ - 23 -‎ 从至少正确完成2题的概率考察,甲通过的可能性大,因此甲的实验操作能力较强.‎ ‎【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法和步骤,属于中档题.‎ ‎25.已知(其中)‎ ‎(1)求及;‎ ‎(2)试比较与的大小,并说明理由.‎ ‎【答案】(1),(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】(Ⅰ)令,则,令,‎ 则,∴;‎ ‎(Ⅱ)要比较与的大小,即比较:与的大小, ‎ 当时,;当时,;‎ 当时,;‎ 猜想:当时,,下面用数学归纳法证明:‎ 由上述过程可知,时结论成立,‎ 假设当时结论成立,即,‎ 两边同乘以3 得:‎ 而 ‎∴‎ 即时结论也成立,‎ ‎∴当时,成立.‎ 综上得,当时,;‎ 当时,;当时, ‎ - 23 -‎ 考点:数学归纳法 - 23 -‎ - 23 -‎
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