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文档介绍
江苏省南京市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题 Word版含解析
www.ks5u.com 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上) 1.设集合M={m|﹣3<m<2,m∈Z},N=R,则M∩N=_____. 【答案】{﹣2,﹣1,0,1} 【解析】 【分析】 可以求出集合M,然后进行交集的运算即可. 【详解】∵M={﹣2,﹣1,0,1},N=R, ∴M∩N={﹣2,﹣1,0,1}. 故答案为:{﹣2,﹣1,0,1}. 【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义,交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题. 2.复数z复平面上对应点位于第_____象限. 【答案】一 【解析】 【分析】 首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个实数,分子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所在的象限. 【详解】∵复数, ∴复数对应的点的坐标是(,) ∴复数在复平面内对应的点位于第一象限, 故答案为:一 【点睛】本题考查复数的实部和虚部的符号,是一个概念题,考查了复数的四则运算,属于简单题. 3.某次测验,将20名学生平均分为两组,测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90,6;80,4.则这20名学生成绩的方差为_____. 【答案】51 【解析】 - 23 - 【分析】 由方差定义可得n个数与其平均数,方差间关系xxxnS2+n2,利用此关系可结合条件把20 个数据中的前10个数,后10个数分别找出其平方和,及平均数,进而求出20名学生成绩的方差. 【详解】设x1,x2…xn的方差S2[(x1)2+(x2)2+…+(xn)2][xxx2(x1+x2+…+xn)+n2][x12+xxn2] ∴xxxnS2+n2, 则xxx10×36+10×902=81360,xxx10×16+10×802=64160, 85. ∴S2[xxx202][81360+64160﹣20×852]=51, 故答案:51. 【点评】本题依托平均数,方差,标准差的定义关系,考查学生的数据处理能力和计算能力,属于中低档题. 4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】 - 23 - 根据程序框图进行模拟运算即可. 【详解】第1次循环:k=0,S=1; 第2次循环:S=1×21=2,k=2; 第3次循环:S=2×22=8,k=3; 此时不满足循环条件k<3,输出S=8. 故答案为:8. 【点睛】本题主要考查了程序框图的识别和判断问题,根据条件模拟运算是解题的关键,考查了计算能力,属于简单题. 5.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,记底面上的数字分别为,则为整数的概率是_____. 【答案】 【解析】 总数为 为整数有共8个,所以概率是 6.函数f(x)=(x﹣3)ex的单调递增区间是 . 【答案】(2,+∞) 【解析】 试题分析:首先对f(x)=(x﹣3)ex求导,可得f′(x)=(x﹣2)ex,令f′(x)>0,解可得答案. 解:f′(x)=(x﹣3)′ex+(x﹣3)(ex)′=(x﹣2)ex,令f′(x)>0,解得x>2. 故答案为(2,+∞). 考点:利用导数研究函数的单调性. 7.已知双曲线的离心率为,那么此双曲线的准线方程为_____. 【答案】 【解析】 - 23 - 【分析】 利用双曲线的离心率为,求出a,c,再求出双曲线的准线方程. 【详解】∵双曲线的离心率为, ∴(m﹣3)(m+5)<0,, ∴﹣5<m<3,, ∴m, ∴a,c=2, ∴双曲线的准线方程为 故答案为:. 【点睛】本题考查双曲线的准线方程,考查离心率,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 8.已知正四棱锥的体积为,底面边长为,则侧棱的长为 . 【答案】 【解析】 【分析】 先设底面正方形的中心为,根据题意得到,再由求出,结合勾股定理即可得出结果. 【详解】设底面正方形的中心为,又底面边长为2可得 由 【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征,熟记棱锥的结构特征及体积公式即可,属于基础题型. - 23 - 9.已知函数若则函数的最小正周期为 . 【答案】 【解析】 【详解】试题分析:,所以,由此可得: ,又因为,所以令得,所以函数的最小正周期 . 考点:三角函数的性质. 10.已知等差数列{an}满足:a1=﹣8,a2=﹣6.若将a1,a4,a5都加上同一个数m,所得的三个数依次成等比数列,则m的值为_____. 【答案】-1 【解析】 【分析】 【分析】由题意可得公差d=a2﹣a1=2,从而an=a1+(n﹣1)d=2n﹣10,设所加的这个数为x,根据 (a1+x)(a5+x),解出x的值. 【详解】已知等差数列{an}中,a1=﹣8,a2=﹣6, ∴公差d=a2﹣a1=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=2n﹣10. 将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,设所加的这个数为x, 则有 (a1+x)(a5+x),即 (﹣2+x)2=(﹣8+x)(0+x),解得 x=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质,求等差数列的通项公式,求得 an=2n﹣10,是解题的关键,属于中档题. 11.设函数和的图象在轴左、右两侧靠近 轴的交点分别为、,已知为原点,则 . - 23 - 【答案】 【解析】 试题分析:由得,即,所以,即,则,所以 ; 考点:1.三角函数的恒等变换;2.平面向量的数量积; 12.设f(x)=asin2x+bcos2x(a,b∈R),若f(x)的最大值为,则a+b的取值范围为_____. 【答案】[,]. 【解析】 【分析】 由条件利用辅助角公式、正弦函数的最值求得a2+b2=5,再利用基本不等式求得 (a+b)2≤10,从而求得a+b的取值范围. 【详解】∵f(x)=asin2x+bcos2xsin(2x+θ)(a,b∈R), 若f(x)的最大值为,∴a2+b2=5, ∴(a+b)2=a2+b2+2ab≤2( a2+b2 )=10, ∴a+b,故a+b的取值范围为[,], 故答案为:[,]. 【点睛】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的最值,基本不等式的应用,属于中档题. 13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,且cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1,则a+2c的最小值为_____. 【答案】 【解析】 - 23 - 【分析】 利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数,结合正弦定理以及基本不等式求解即可. 【详解】解:由cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1 ⇒1﹣2sin2B+cosB+cosAcosC+sinAsinC=1 ⇒1﹣2sin2B﹣cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=1 ⇒sinAsinC=sin2B, 由正弦定理得到ac=b2, 而,当且仅当 等号成立 由b=2,可得. 故答案为:. 【点评】本题考查两角和与差的三角函数,正弦定理基本不等式的应用,考查分析问题解决问题的能力. 14.已知正实数x,y满足x++3y+=10,则xy的取值范围为________. 【答案】 【解析】 10=+≥2,即25≥3xy++143(xy)2-11xy+8≤01≤xy≤. 二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量 (1)当时,求b的值; (2)当∥时,且,求的值. 【答案】(1)b=1.(2)2 【解析】 【分析】 - 23 - (1)由题意得,即,由正弦定理有:,联立即可得解b的值. (2)由平行条件得a=sinA•sinB,由,则可得,联立即可得解. 【详解】(1)由题意得:, 即得, 在三角形中由正弦定理有:, 由以上两式可知:b=1. (2)由平行条件得, , 则可得到:, ∴. 【点睛】本题主要考查了正弦定理,平面向量数量积的坐标运算,两角和的余弦函数公式的综合应用,考查了计算计算能力和转化思想,属于中档题. 16.如图,四棱锥A﹣BCDE中,AB、BC、BE两两垂直且AB=BC=BE,DE∥BC,DE=2BC,F是AE的中点. (1)求证:BF∥面ACD; (2)求证:面ADE⊥面ACD. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)取AD的中点M,连接CM、MF,推导出四边形BCMF为平行四边形,从而CM∥BF - 23 - ,由此能证明BF∥面ACD. (2)作DE中点N,连接CN,推导出CM⊥AD,BF⊥AE,CM⊥AE,由此能证明面ADE⊥面ACD. 【详解】证明:(1)取AD的中点M,连接CM、MF. ∵F、M分别为AE、AD中点,∴DE∥2MF,DE=2MF 又∵DE∥2BC,DE=2BC∴FM∥BC,FM=BC, ∴四边形BCMF为平行四边形,∴CM∥BF, 又∵BF⊄面ACD,CM⊂面ACD, ∴BF∥面ACD. (2)作DE中点N,连接CN, ∵DE∥2BC,DE=2BC,N为DE中点N,∴DN=BC, 又∵AB、BC、BE两两垂直,且AB=BC=BE,∴AC=CD, ∵M为AD中点,∴CM⊥AD, 又∵F是AE的中点,且AB=BE,∴BF⊥AE, ∵CM∥BF,∴CM⊥AE, 又∵AD∩AE=A,AE、AD⊂面ADE,∴CM⊥面ADE, ∵CM⊂面ACD,∴面ADE⊥面ACD. 【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查了空间思维能力和推理能力,属于中档题. 17.为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流,已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向(即).现准备修建一条城市高架道路L,L在MO上设一出入口A,在ON上设一出入口B.假设高架道路L在AB部分为直线段,且要求市中心O与AB的距离为10km. - 23 - (1)求两站点A,B之间距离的最小值; (2)公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C,为保护古建筑群,设立一个以C为圆心,5km为半径的圆形保护区.则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A,才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态)? 【答案】(1);(2)设计出入口A离市中心O的距离在到20km之间时,才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态). 【解析】 【分析】 (1)过点O作于点E,则,设,则,,则有,然后利用三角函数的知识求出分母的最大值即可 (2)以O为原点建立平面直角坐标系,设直线AB的方程为,可得和,解得或(舍),可得,又当时,,从而可得. 【详解】(1)过点O作于点E,则, 设,则, 所以, 所以; - 23 - 因为; 所以当时,AB取得最小值为; (2)以O为原点建立平面直角坐标系,如图所示; 则圆C的方程为, 设直线AB的方程为; ∴,∴, 解得或(舍),∴, 又当时,, 所以; 综上知,当时,即设计出入口A离市中心O的距离在到20km之间时,才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态). 【点睛】1.本题考查的是三角函数的实际应用,要善于利用三角函数的有界性求最值 2.由实际问题建立直角坐标系,运用直线与圆的位置关系,确定参数范围. 18.已知点M是圆C:(x+1)2+y2=8上的动点,定点D(1,0),点P在直线DM上,点N在直线CM上,且满足2,•0,动点N的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)若AB是曲线E的长为2的动弦,O为坐标原点,求△AOB面积S的最大值. 【答案】(1).(2). - 23 - 【解析】 【分析】 (1)由已知得NP为DM的垂直平分线,|ND|=|NM|,,由此能求了轨迹E的方程. (2)法一:设直线AB的方程为y=kx+m,由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式,结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值. (2)法二:设直线AB的方程为y=kx+m,由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式,结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值. 【详解】(1)解:因为,, 所以NP为DM的垂直平分线, 所以|ND|=|NM|,又因为, 所以 所以动点N的轨迹是以点C(﹣1,0),D(1,0)为焦点的长轴为的椭圆. 所以轨迹E的方程为. (2)解法一:因为线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点A、O、B能构成三角形, 则弦AB不能与x轴垂直,故可设直线AB的方程为y=kx+m, 由,消去y,并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),又△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0, 所以, - 23 - 因为|AB|=2,所以,即 所以,即, 因为1+k2≥1,所以. 又点O到直线AB的距离, 因为h, 所以S2=h2=2m2(1﹣m2) 所以,即S的最大值为. (2)解法二:因为线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点A、O、B能构成三角形, 则弦AB不能与x垂直,故可设直线AB的方程为y=kx+m, 由,消去y,并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),又△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0, 所以,. 因为|AB|=2,所以. 因为, 所以, 所以, 又点O到直线AB的距离,所以h. 所以S2=h2. - 23 - 设,则, 所以,即S的最大值为. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查了三角形面积的最大值的求法,解题时要注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用,要求较高的计算能力,本题属于难题. 19.设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn,q为非零常数,已知对任意正整数n,m,Sn+m=Sm+qmSn总成立. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若不等的正整数m,k,h成等差数列,试比较amm•ahh与ak2k的大小; (3)若不等的正整数m,k,h成等比数列,试比较与的大小. 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【解析】 【分析】 (1)令n=m=1,得a2=qa1,令m=1,得Sn+1=S1+qSn(1),从而Sn+2=S1+qSn+1两式相减即可得出an+2=qan+1,进而可判断出数列{an}是等比数列 (2)根据m,k,h成等差数列,可知m+h=2k,进而可判定,进而根据等比数列的通项公式分q大于、等于和小于1三种情况判断. (3)正整数m,k,h成等比数列,则m•h=k2,判断出,进而根据等差根据等比数列的通项公式分a1和q大于、等于和小于1三种情况判断. 【详解】(1)证:因为对任意正整数n,m,Sn+m=Sm+qmSn总成立, 令n=m=1,得S2=S1+qS1,则a2=qa1 令m=1,得Sn+1=S1+qSn(1),从而Sn+2=S1+qSn+1(2), (2)﹣(1)得an+2=qan+1,(n≥1) 综上得an+1=qan(n≥1),所以数列{an}是等比数列 (2)正整数m,k,h成等差数列, 则m+h=2k, - 23 - 所以, 则 ①当q=1时,amm•ahh=a12k=ak2k ②当q>1时, ③当0<q<1时, (3)正整数m,k,h成等比数列,则m•h=k2,则, 所以, ①当a1=q,即时, ②当a1>q,即时, ③当a1<q,即时, 【点睛】本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的性质,考查了等比数列与不等式综合,考查了分类讨论思想和计算能力,属于难题. 20. 已知函数(是自然对数的底数). (1)若曲线在处的切线也是抛物线的切线,求的值; (2)若对于任意恒成立,试确定实数的取值范围; (3)当时,是否存在,使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等?若存在,求符合条件的的个数;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)或;(2)(3)相等,一个. 【解析】 【分析】 - 23 - (1)求出在的切线,与联立,根据切线与抛物线只有一个交点,则;(2)分,,根据导数讨论;(3)转化为函数的零点通过导数求解. 【详解】(1), 所以在处的切线为 即: 与联立,消去得, 由知,或 (2) ①当时,在上单调递增,且当时,, ,故不恒成立,所以不合题意 ; ②当时,对恒成立,所以符合题意; ③当时令,得, 当时,, 当时,, 故在上是单调递减,在上是单调递增, 所以 又,, 综上: (3)当时, 由(2)知, 设, 则, - 23 - 假设存在实数,使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等,即为方程的解, 令得:, 因为, 所以. 令,则, 当是,当时, 所以在上单调递减,在上单调递增, ,故方程有唯一解为1, 所以存在符合条件的,且仅有一个. 【点睛】本题考查导数的综合应用. 复杂方程的根问题:1、转化为函数的交点求解;2、转化为函数的零点求解. [选做题](本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在答题相应的区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) [选修4-2:矩阵与变换] 21.设矩阵A,求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量. 【答案】λ1=﹣1,对应一个特征向量为,λ2,对应的一个特征向量为. 【解析】 【分析】 由矩阵A,求得丨A丨及A*,A﹣1A*,求得A﹣1,由特征多项式f(λ)=0,求得矩阵的特征值,代入求得特征向量. 【详解】丨A丨1﹣4=﹣3,A*, - 23 - A的逆矩阵为A﹣1A*, 则特征多项式为f(λ)=(λ)2λ2λ, 令f(λ)=0,解得:λ1=﹣1,λ2, 设特征向量为,则, 可知特征值λ1=﹣1,对应的一个特征向量为, 同理可得特征值λ2,对应一个特征向量为. 【点睛】本题考查求矩阵特征值及特征向量,考查逆矩阵的求法,考查计算能力,属于中档题. [选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在极坐标系中,求曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程. 【答案】 【解析】 【分析】 将曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程,从而求得对称曲线的直角坐标方程,再转化成极坐标方程. 【详解】以极点为坐标原点,极轴为x轴建立直角坐标系, 则曲线的直角坐标方程为,且圆心C为. 直线的直角坐标方程为, 因为圆心C关于的对称点为, 所以圆心C关于的对称曲线为. - 23 - 所以曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程为. 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力. [选修4-5:不等式选讲] 23.若关于x的不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2),求函数f(x)=(a﹣1)(b﹣1)的最大值. 【答案】. 【解析】 分析】 由题意可得1,2是方程x2﹣ax+b=0的两根,运用韦达定理可得a=3,b=2,即有f(x)=2,运用柯西不等式即可得到所求最大值. 【详解】关于x的不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2), 可得1,2是方程x2﹣ax+b=0的两根, 即有1+2=a,1×2=b, 解得a=3,b=2, 则函数f(x)=(a﹣1)(b﹣1)2, 由x﹣3≥0,4﹣x≥0可得3≤x≤4, 由柯西不等式可得,(2)2≤(4+1)(x﹣3+4﹣x), 即有2. 当2,即为x∈[3,4]时, f(x)取得最大值. 【点睛】本题考查函数的最值的求法,注意运用柯西不等式,考查二次方程和二次不等式的转化思想,考查运算能力,属于中档题. [必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) - 23 - 24.某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成. (1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)若考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力. 【答案】(1)见解析,2.(2)此甲的实验操作能力较强. 【解析】 【分析】 (1)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X,则 ,k=1,2,3,由此求得考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列. (2)设考生乙正确完成实验操作的题数为Y,则,求得P(Y≥2)的值、P(X≥2)的值,再根据P(X≥2)>P(Y≥2),得出结论. 【详解】(1)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X, 则 ,k=1,2,3. 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为: X 1 2 3 P ∴EX=1232. (2)设考生乙正确完成实验操作的题数为Y,则,所以,k=0,1,2,3, ; 又,且P(X≥2)>P(Y≥2), - 23 - 从至少正确完成2题的概率考察,甲通过的可能性大,因此甲的实验操作能力较强. 【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法和步骤,属于中档题. 25.已知(其中) (1)求及; (2)试比较与的大小,并说明理由. 【答案】(1),(2)见解析 【解析】 【详解】(Ⅰ)令,则,令, 则,∴; (Ⅱ)要比较与的大小,即比较:与的大小, 当时,;当时,; 当时,; 猜想:当时,,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知,时结论成立, 假设当时结论成立,即, 两边同乘以3 得: 而 ∴ 即时结论也成立, ∴当时,成立. 综上得,当时,; 当时,;当时, - 23 - 考点:数学归纳法 - 23 - - 23 -查看更多