江苏省南京市六校联合体2019届高三数学上学期12月联考试题（含解析）

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高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数 学 ‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2，…，xn的方差，其中；‎ 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；‎ 圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为母线长．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1.已知集合，集合，则=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由M与N，求出两集合的交集即可．‎ ‎【详解】∵集合，集合，‎ ‎∴=‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2.双曲线的渐近线方程是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．‎ ‎【详解】令﹣=0得 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 y=±x，‎ ‎∴双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎3.复数满足，其中是虚数单位，则复数的模是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ ‎∴|z|==，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．‎ ‎4.若一组样本数据3，4，8，9，的平均数为6，则该组数据的方差s2＝______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可运用平均数的公式：=（x1+x2+…+xn）解出a的值，再代入方差的公式中计算得出方差即可．‎ ‎【详解】∵数据3，4，8，9，的平均数为6，‎ ‎∴3+4+8+9+a=30，解得a=6，‎ ‎∴方差s2=[（3﹣6）2+（4﹣6）2+（8﹣6）2+（9﹣6）2+（6﹣6）2]=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是平均数和方差的求法，解题的关键弄清计算公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．‎ ‎5.从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎【分析】‎ 列举可得共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为奇数的有1种情形，由概率公式可得．‎ ‎【详解】从1，2，3，4这4个数中依次随机地取2个数有 ‎（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，‎ 其中满足所取2个数的乘积为奇数的有（1，3）共1种情形，‎ ‎∴所求概率，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．‎ ‎6.如图所示的流程图的运行结果是______．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环：，第二次循环：，结束循环，输出 考点：循环结构流程图 ‎7.若圆锥底面半径为1，侧面积为,则该圆锥的体积是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆锥底面半径为1，侧面积为得到圆锥的母线长，进而得到圆锥的高，从而得到该圆锥的体积.‎ ‎【详解】设圆锥的母线长为，圆锥底面半径为1，侧面积为,‎ ‎∴，即，‎ ‎∴圆锥的高 ‎∴该圆锥的体积是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的体积与侧面积公式，属于基础题.‎ ‎8.设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是_____．‎ ‎【答案】4‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导函数，利用均值不等式求最小值即直线的斜率的最小值 ‎【详解】的定义域为（0，+∞）‎ y'=4x+，当且仅当x=时取等号·‎ 即直线的斜率的最小值是4‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及利用均值不等式求最值，掌握不等式成立时的条件，属于基础题．‎ ‎9.已知 ，则的值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到，进而得到，再结合两角和的正弦公式得到结果.‎ ‎【详解】∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、正切公式，同角基本关系式，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若f (a)＜4＋f (－a)，则实数a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数为奇函数，不等式可转化为f (a)＜2，结合函数图象可得结果.‎ ‎【详解】∵f (x)为奇函数，∴‎ ‎∴f (a)＜4＋f (－a)可转化为f (a)＜2‎ 作出的图象，如图：‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 由图易知：a＜2‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象与性质，解题关键利用奇偶性简化不等式，结合函数图象即可得到结果.‎ ‎11.中，为边的中点，，则的值为______．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基底表示，结合向量的运算法则即可得到结果.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ ‎∵为边的中点，‎ ‎∴,‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴2-6=-4‎ 故答案为：-4‎ ‎【点睛】求向量的数量积，应该先利用向量的运算法则将各个向量用已知的向量表示，再利用向量的运算法则展开即可．‎ ‎12.已知圆，直线与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线l与圆有公共点的问题，列不等式求解即可．‎ ‎【详解】圆C：‎ 直线l：与与轴交于点A（0，﹣2），‎ 设P（x，y），由PA=PT，可得=2（﹣2），‎ 即x2+y2﹣12y=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 所以问题可转化为直线l与圆有公共点，‎ 所以d≤r，‎ ‎≤6，‎ 解得或，‎ ‎∴实数k的取值范围是或．‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力，明确动点P的轨迹是解题的关键．‎ ‎13.已知n∈N*,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若 对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，明确的单调性，得到，进而得到，对任意的n∈N*恒成立即，转求的最小值即可.‎ ‎【详解】设 ‎，‎ 即 ‎∴‎ ‎∴‎ 即，‎ 由与图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有n=3时，‎ 即 ‎∴，即实数的最大值是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．‎ ‎14.已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 围．‎ ‎【详解】∵的对称轴为x=a，且，‎ ‎∴函数f（x）=在[0，]上是减函数，‎ 在[，2]上是增函数；‎ ‎∴函数f（x）=在的最小值为f（a）=﹣∈，‎ ‎①当2≤a＜3时，‎ 函数f（x）=（x∈）在x=0时取得最大值，‎ 且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，则3≤2a﹣1＜5；‎ ‎2a﹣1‎ ‎∴‎ ‎②0＜a＜2时，‎ 函数f（x）=（x∈）在x=4时取得最大值，‎ 且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，则3＜15﹣6a＜15；‎ ‎，‎ ‎∴‎ 综上， ∴；‎ 即t的取值范围是：．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了恒成立问题与存在性问题，是综合性题目．‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）‎ ‎15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求角B；‎ ‎（2）若，，求，．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．‎ ‎（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．‎ ‎【详解】（1）在中，‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 由正弦定理，得． ‎ 又因为在中．‎ 所以． ‎ 法一：因为，所以，因而．‎ 所以，‎ 所以． ‎ 法二：即， ‎ 所以，因为，‎ 所以． ‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ 而，‎ 所以　，①‎ 由余弦定理，得，‎ 即， ② ‎ 把①代入②得.‎ ‎【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.‎ ‎16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD， 点E为侧棱PB的中点．‎ 求证：(1) PD∥平面ACE；‎ ‎(2) 平面PAC⊥平面PBD．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接OE．易证PD∥OE，根据线面平行判定定理得证；‎ ‎（2）要证平面PAC⊥平面PBD，即证BD⊥平面PAC ‎【详解】(1) 连接OE．‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎ 因为O为正方形ABCD的对角线的交点，‎ ‎ 所以O为BD中点． ‎ ‎ 因为E为PB的中点，所以PD∥OE． ‎ ‎ 又因为OE⊂面ACE，PD平面ACE，‎ ‎ 所以PD∥平面ACE． ‎ ‎ (2) 在四棱锥P－ABCD中， ‎ ‎ 因为PC⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，‎ ‎ 所以BD⊥PC． ‎ ‎ 因为O为正方形ABCD的对角线的交点，‎ ‎ 所以BD⊥AC． ‎ ‎ 又PC、AC⊂平面PAC，PC∩AC＝C，‎ ‎ 所以BD⊥平面PAC． ‎ ‎ 因为BD⊂平面PBD，‎ ‎ 所以平面PAC⊥平面PBD．‎ ‎【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎17.已知椭圆：上一点与两焦点构成的三角形的周长为,离心率为 .‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为的直线l与椭圆C交于P、Q两点（点P在第一象限）.若四边形APBQ面积为，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（ 1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出；‎ ‎（2）设直线方程为：代入椭圆并整理得：，利用韦达定理表示，分别计算Ａ，Ｂ到直线PQ的距离，即可表示四边形APBQ面积，从而得到直线l的方程.‎ ‎【详解】（1）由题设得，又，‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 解得,‎ ‎∴. ‎ 故椭圆的方程为. ‎ ‎（2）设直线方程为：代入椭圆并整理得：，‎ 设，则. ‎ ‎ ， ‎ 到直线PQ的距离为，‎ 到直线PQ的距离为， ‎ 又因为在第一象限, 所以，‎ 所以，‎ 所以， ‎ 解得，‎ 所以直线方程为．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH (垂足均不与O重合)．‎ ‎ (1) 求新增观光道FG、FH长度之和的最大值； ‎ ‎ (2) 在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，2.5百米为半径的圆形E的区域内．则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由．‎ ‎【答案】 (1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是百米；(2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间 (单位：百米)内的任何一点处．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结OF，OF⊥CD于点F，则OF＝5．设∠FOD＝θ，则FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ，利用两角和与差的正弦公式化简，即可得到新增观光道FG、FH长度之和的最大值；‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎（2）以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．可得圆O的方程，圆E的方程，根据直线和圆的位置关系得到答案即可.‎ ‎【详解】(1) 连结OF，OF⊥CD于点F，则OF＝5．设∠FOD＝θ，‎ 则∠FOC＝－θ (＜θ＜)，故FH＝5sinθ，FG＝5sin(－θ)， ‎ ‎ 则FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ ‎＝5(cosθ＋sinθ＋sinθ)＝5(sinθ＋cosθ)＝5sin(θ＋)， ‎ 因为＜θ＜，所以＜θ＋＜，‎ 所以当θ＋＝，即θ＝时，(FG＋FH)max＝． ‎ ‎ (2) 以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．‎ 由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD下方，点E在直线CD上方．由OF＝5，圆E的半径为2.5，因为圆O的方程为x2＋y2＝25，‎ 圆E的方程为(x－15)2＋y2＝6.25， ‎ 设直线CD的方程为y＝kx＋t (－＜k＜0，t＞0)，‎ 即kx－y＋t＝0，设点D(xD，0)‎ 则 ‎ ‎ 由①得t＝5， ‎ ‎ 代入②得，解得k2>． ‎ ‎ 又由－＜k＜0，得0＜k2＜3，故＜k2＜3，即＜＜3．‎ ‎ 在y＝kx＋t中，令y＝0，解得xD＝＝＝，所以＜xD＜10．‎ 答：(1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是百米；‎ ‎(2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间 (单位：百米)内的任何一点处．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的应用问题，考查了直线与圆的位置关系，考查了逻辑推理能力及运算能力，属于中档题.‎ ‎19.已知数列{an}各项均不相同，a1＝1，定义，其中n，k∈N*．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若bn＋1(k)＝2bn(k)对均成立，数列{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（i）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（ii）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎【答案】（1）；（2）（i）；（ii）k＝2，t＝3．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，由新定义可得，利用累加法可得结果；‎ ‎（2）（i）若bn＋1(k)＝2bn(k)对均成立，由新定义可得，从而得到数列{an}的通项公式；（ii）由（i）可知Sn＝2n－1．因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，‎ 可得2t－2＝(2k－1)2－3×2k－2＋1对k分类讨论可知k和t的值．‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ 所以. ‎ ‎（2）（i）因为bn＋1(k)＝2bn(k)，‎ 得 ， ‎ 令k＝1, ，……………①‎ k＝2，，……………② ‎ 由①得，……………③‎ ‎②+③得，……………④ ‎ ‎①+④得，‎ 又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以． ‎ ‎（ii）由（i）可知Sn＝2n－1．‎ 因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，‎ 所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，‎ 所以2t＝(2k)2－3×2k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－3×2k－2＋1(*)．‎ 由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．‎ 当k＝2时，2t＝8，得t＝3． ‎ 当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－3×2k－2＋1为奇数，‎ 所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3×2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．‎ 综上，k＝2，t＝3．‎ ‎【点睛】本题以新定义为背景，考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎20.已知函数.‎ ‎(1)求的极大值；‎ ‎(2)当时，不等式恒成立，求的最小值；‎ ‎(3)是否存在实数，使得方程在上有唯一的根，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）-1；（3）存在，且当符合题意。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导,明确函数的单调性，从而得到的极大值；‎ ‎(2) 不等式恒成立，即恒成立，记，求其最大值，即可得到的最小值；‎ ‎(3) 记，由，存在，使在上有零点，再证明唯一性即可.‎ ‎【详解】（1），令，得. ‎ 当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故当时，的极大值为．‎ ‎（2）不等式恒成立，即恒成立，‎ 记，则， ‎ 当时，令，得，‎ 当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则，即，…8分 则， 记，则，令，得 当时，，此时单调递减，当时，，此时 单调递增，，故的最小值为. ‎ ‎（3）记，由， ‎ 故存在，使在上有零点，下面证明唯一性：‎ ‎① 当时，，故，在上无解 ‎②当时，，而，‎ 此时，单调递减，‎ 所以当符合题意．‎ ‎【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎ (4)考查数形结合思想的应用．‎ 南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数学Ⅱ(附加题)‎ 注意事项：‎ ‎1．附加题供选修物理的考生使用．‎ ‎2．本试卷共40分，考试时间30分钟．‎ ‎3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．‎ ‎【选做题】本题A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎[选修4—2：矩阵与变换]‎ ‎21.已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到的点 ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求矩阵的逆矩阵.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点，写出题目的关系式，列出关于a,b的等式，解方程即可,‎ ‎（2）计算，从而得到矩阵的逆矩阵.‎ ‎【详解】（1）因为 ， ‎ 所以,所以 ． ‎ ‎（2）， ‎ ‎ ．‎ ‎【点睛】本题考查二阶矩阵与逆矩阵，属于基础题.‎ ‎[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系中，已知直线的参数方程是（t是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【答案】‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 消去参数即可求直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化求解曲线C的直角坐标方程,利用直线与圆的位置关系，通过点到直线的距离以及圆的半径以及半弦长的关系求解|AB|．‎ ‎【详解】消去参数，得直线的普通方程为， ‎ 即，两边同乘以得， ‎ 所以， ‎ 圆心到直线的距离， ‎ 所以弦长为．‎ ‎【点睛】本题考查直线的参数方程以及圆的极坐标方程的应用，考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎[选修4—5：不等式选讲]‎ ‎23.若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ 分析：根据柯西不等式可得结果.‎ 详解：证明：由柯西不等式，得．‎ 因为，所以，‎ 当且仅当时，不等式取等号，此时，‎ 所以的最小值为4．‎ 点睛：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎24.将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习． ‎ ‎（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；‎ ‎（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，。‎ ‎【解析】‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎【分析】‎ ‎（1）将4人安排四个公司中，共有44=256种不同放法，记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A，则事件A包含=24个基本事件，由此能求出4名大学生恰好在四个不同公司的概率；‎ ‎（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．‎ ‎【详解】（1）将4人安排四个公司中，共有44=256种不同放法．‎ 记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A，‎ 事件A共包含个基本事件，‎ 所以，‎ 所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率． ‎ ‎（2）方法1：X的可能取值为0，1，2，3，4，‎ ‎，，，‎ ‎，． ‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以X的数学期望为：．‎ 方法2：每个同学分到B公司的概率为，． ‎ 根据题意～，所以，4，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以X的数学期望为．‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎25.设且，集合的所有个元素的子集记为．‎ ‎（1）当时，求集合中所有元素之和；‎ ‎（2）记为 中最小元素与最大元素之和，求的值．‎ ‎【答案】（1）30；（2）2019.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当n=4时，因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，从而得到结果；‎ ‎（2）分类讨论明确最小元素的子集与最大元素的子集个数，从而得到，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，‎ 于是所求元素之和为； ‎ ‎（2）集合的所有个元素的子集中：‎ 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；‎ 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；‎ ‎ ‎ 以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个． ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力．两题中得出含有相关数字出现的次数是关键．‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包 高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料 ‎ ‎ 关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包