数学文卷·2018届江苏省南京市燕子矶中学高二5月月考（2017-05）

数学文卷·2018届江苏省南京市燕子矶中学高二5月月考（2017-05）

南京市燕子矶中学高二年级部五月份考试 数学试卷（文）‎ 命题人  姜雪如      审核人 李哲全 一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)‎ ‎1.已知集合A={x|x2-16＜0}，集合B={x|x2-4x+3＞0}，则A∩B= ______ ．‎ ‎2.函数f（x）=log3（x2-2x+10）的值域为 ______ ．‎ ‎3.已知集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若A，则实数a的取值范围是 ______ ．‎ ‎4.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为 ______ ．‎ ‎5.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15人，则不低于80分的学生人数是 ______ ．‎ ‎6.在如图所示的算法中，输出的i的值是______ ． ‎ ‎7.f（x）是周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x，则= ______ ．‎ ‎8.函数的递增区间为 ______ ．‎ ‎9.已知函数f（x）=x--alnx，若f（x）无极值点，则a的取值范围是 ______‎ ‎10.函数f（x）=2x3+x，实数m满足f（m2-2m）+f（m-6）＜0，则m的取值范围是 ______ ．‎ ‎11.定义在实数集R上的奇函数f（x）满足：①f（x）在（0，+∞）内单调递增，②f（-2）=0，则不等式（x+2）f（x）＞0的解集为 ______ ．‎ ‎12.设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），下面关于f（x）的判定：其中正确命题的序号为 ______ ． ①f（4）=0；           ②f（x）是以4为周期的函数； ③f（x）的图象关于x=1对称；      ④f（x）的图象关于x=2对称．‎ ‎13.设a＞0，函数f（x）=x+，g（x）=x-lnx，若对任意x1∈（0，+∞），任意x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为 ______ ．‎ ‎14.已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]-1的图象与x轴有 ‎ ______ 个交点．‎ 二、解答题(本大题共6小题，共72.0分)‎ ‎15.已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}． （1）当a=3时，求A∩B； （2）若a＞0，且A∩B=∅，求实数a的取值范围． ‎ ‎ 16.已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值32． （1）求实数a的值； （2）求函数f（x）的单调区间． ‎ ‎ 17.已知函数f（x）=6lnx-ax2-8x+b，其中a，b为常数且x=3是f（x）的一个极值点． （1）求a的值； （2）求函数f（x）的单调减区间； （3）若y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围． 18.某厂家拟在暑期举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-（其中0≤x≤a，a为正常数）现拟定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件． （1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数 （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 19.已知函数f（x）=ax2+2（a-1）x-2lnx． （1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为1，求a的值． ‎ ‎20.已知函数f（x）=x2+（1-x）ex（e为自然对数的底数），g（x）=x-（1+a）lnx-，a＜1．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数g（x）的极小值；（3）若对任意的x1∈[-1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围． ‎ ‎【答案】 1.{x|-4＜x＜1或 3＜x＜4} 2.[2，+∞） 3.（-∞，1]4.5.156.107.18.（-∞，-19. a≤210.（-2，3） 11.{x|-2＜x＜0，或x＞2，或x＜-2}12.①②③13.a≥14.2 ‎ ‎15.解：（1）当a=3时，A={-1≤x≤5}，B={x≤1或x≥4} ∴A∩B={-1≤x≤1或4≤x≤5} （2）∵A∩B=∅，A={x|2-a≤x≤2+a}（a＞0），B={x≤1或x≥4} ∴，∴a＜1，∵a＞0，∴0＜a＜1． 16.解：（1）∵f（x）=ax（x-2）2=ax3-4ax2+4ax，∴f′（x）=3ax2-8ax+4a． 由f′（x）=0，得3ax2-8ax+4a=0．∵a≠0，∴3x2-8x+4=0． 解得x=2或x=．∵a＞0，∴x＜或x＞2时，f′（x）＞0；＜x＜2时，f′（x）＜0．∴当x=时，f（x）有极大值32，即a-a+a=32，∴a=27． （2）∵x＜或x＞2时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增 当＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）单调递减 f（x）在（-∞，）和（2，+∞）上是增函数，在（，2）上是减函数． 17.解：（1）∵f（x）=6lnx-ax2-8x+b，∴f′（x）=-2ax-8， 又∵x=3是f（x）的一个极值点∴f′（3）=2-6a-8=0，则a=-1． （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．由（I）知f（x）=6lnx+x2-8+b． ∴f′（x）=+2x-8=． 由f′（x）＞0可得x＞3或x＜1，由f′（x）＜0可得1＜x＜3． ∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3）． （3）由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增．且当x=1或x=3时，f′（x）=0． ∴f′（x）的极大值为f（1）=6ln1+1-8+b=b-7， f′（x）的极小值为f（3）=6ln3+9-24+b=6ln3+b-15． ∵当x充分接近0时，f′（x）＜0．当x充分大时，f（x）＞0． ∴要使的f′（x）图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只 需f（1）•f（3）＜0即（b-7）•（6ln3+b-15）＜0解得：7＜b＜15-6ln318.解：（1）由题意知，该产品售价为2×（）万元，y=2×（）t-10-2t-x， 代入化简得：y=20--x（0≤x≤a）…5分 （2）因为y=20-（+x）≤20-2=16，当且仅当=x即x=2时，上式取等号． 所以当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大…9分 ‎ 又当0＜a＜2时，函数y=20-（+x）在区间[0，a]上单调递增， 所以当x=a时，函数有最大值，即促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大． 综上所述，当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大； 当0＜a＜2时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大…12分 19.解：（1）当a=1时，f（x）=x2-2lnx，f′（x）=2x-．…（1分） 因为f′（1）=0，f（1）=1，切点为（1，1），切线斜率为0， 所以切线方程是y=1．…（4分） （2）函数f（x）=ax2+2（a-1）x-2lnx的定义域是（0，+∞）． 当a＞0时，f′（x）=2ax+2（a-1）-=（x＞0）， 令f′（x）=0，即f′（x）===0， 所以x=-1（舍）或x=．…（8分） 当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增， 所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1），由f（1）=3a-2=1，得a=1； 当1＜＜e，即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（，e）上单调递增， ∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（），由，得， ∵，，∴当时，f（x）在区间[1，e]上的最小值不为1； 当≥e，即时，f（x）在（1，e）上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）， 由f（e）=ae2+2（a-1）e-2=1，得， ∴，即， ∴当时，f（x）在区间[1，e]上的最小值不为1． 综上可知，当a=1时，函数f（x）在区间[1，e]上的最小值为1．…（12分） 20.解：（1）∵f′（x）=x（1-ex）， ∴f′（1）=1-e，即切线的斜率是1-e， 又f（1）=，则切点坐标是（1，）， 故f（x）在x=1处的切线方程是y-=（1-e）（x-1）， 即2（e-1）x+2y-2e+1=0； ‎ ‎（2）∵g′（x）==，a＜1， 函数g（x）的定义域是{x|x＞0}， ∴0＜a＜1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1， 令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1， ∴g（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，在（1，+∞）递增， ∴g（x）的极小值为g（1）=1-a， a≤0时，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1， ∴g（x）的极小值是g（1）=1-a， 综上，函数g（x）的极小值是1-a； （3）若对任意的x1∈[-1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立， 等价于f（x）在[-1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值， x∈[-1，0]时，f′（x）=x（1-ex）≤0， 当且仅当x=0时不等式取“=”， ∴f（x）在[-1，0]上单调递减， ∴f（x）在[-1，0]上的最小值是f（0）=1， 由（2）得，g（x）在[e，3]递减， ∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e-（a+1）-， 故1＞e-（a+1）-，解得：a＞， 又a＜1， 故a∈（，1）．‎