2020高中数学 第三章 不等式 阶段复习课 第3课 不等式学案 新人教A版必修5

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2020高中数学 第三章 不等式 阶段复习课 第3课 不等式学案 新人教A版必修5

第三课　不等式 ‎[核心速填]‎ ‎1．比较两实数a，b大小的依据 a－b>0⇔a>b.a－b＝0⇔a＝b.a－b<0⇔ab，那么bb，即a>b⇔bb，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c.‎ 性质3‎ 如果a>b，那么a＋c>b＋c.‎ 性质4‎ 如果a>b，c>0，那么ac>bc，‎ 如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a＋c>b＋d.‎ 性质6‎ 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.‎ 性质7‎ 如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N*，n≥1)．‎ 性质8‎ 如果a>b>0，那么>(n∈N*，n≥2).‎ ‎3.二元一次不等式表示的平面区域 Ax＋By＋C(B>0)表示对应直线方区域．‎ ‎4．二元一次不等式组表示的平面区域 每个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分就是不等式组所表示的区域．‎ ‎5．两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)‎ ‎“a＝b”时取等号 基本不等式 ≤(a>0，b>0)‎ ‎“a＝b”时取等号 ‎[体系构建]‎ - 9 -‎ ‎[题型探究]‎ 一元二次不等式的解法 ‎[探究问题]‎ ‎1．当a>0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则 不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？‎ 提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x<α或 x>β}．‎ ‎2．若[探究1]中的a<0，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？‎ 提示：解集为{x|α0的解集是什么？‎ 提示：当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时，不等式的解集为∅.‎ ‎　若不等式组的整数解只有－2，求k的取 值范围.‎ ‎【导学号：91432361】‎ 思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不 等式，取交集判断．‎ ‎[解]　由x2－x－2>0，得x<－1或x>2.‎ 对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－，x2＝－k.‎ ‎(1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为，显然－2∉‎ .‎ - 9 -‎ ‎(2)当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为∅.‎ ‎(3)当－<－k，即k<时，‎ 不等式的解集为.‎ ‎∴不等式组的解集由 或确定．‎ ‎∵原不等式组整数解只有－2，‎ ‎∴－2<－k≤3，‎ 故所求k的范围是－3≤k<2.‎ 母题探究：.(变条件，变结论)若将例题改为“已知a∈R，解关于x的不 等式ax2－2x＋a<‎0”‎．‎ ‎[解]　(1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}．‎ ‎　(2)若a>0，Δ＝4－‎4a2.‎ ‎①当Δ>0，即01时，原不等式的解集为∅.‎ ‎(3)若a<0，Δ＝4－‎4a2.‎ ‎①当Δ>0，即－10，‎ ‎∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．‎ ‎③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.‎ 综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；‎ 当00}；‎ 当－10(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；‎ ‎②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确 - 9 -‎ 定一元二次不等式的解集.,‎ ‎(2)含参数的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正负，其次考 虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.‎ 不等式恒成立问题 ‎　已知不等式mx2－mx－1<0.‎ ‎(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围. ‎ ‎【导学号：91432362】‎ 思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题．‎ ‎[解]　(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；‎ ‎②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0 恒成立⇔解得－‎ ‎40时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，∴解得m<，∴0g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.‎ ‎3．数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．设f(x)＝mx2－mx－6＋m，‎ ‎(1)若对于m∈[－2,2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)依题意，设g(m)＝(x2－x＋1)m－6，‎ 则g(m)为关于m的一次函数，且一次项系数x2－x＋1＝2＋>0，‎ 所以g(m)在[－2,2]上递增，‎ 所以欲使f(x)<0恒成立，‎ 需g(m)max＝g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，‎ 解得－10，则f(x)在[1,3]上单调递增，‎ 要使f(x)<0对x∈[1,3]恒成立，‎ 只需f(3)<0即‎7m－6<0，‎ 所以00，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；‎ 若m>0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1.‎ 综上可知，m＝1.]‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1．线性规划在实际中的类型主要有：‎ ‎(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；‎ ‎(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．‎ ‎2．解答线性规划应用题的步骤：‎ ‎(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．‎ ‎(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．‎ - 9 -‎ ‎(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．‎ ‎(4)求：通过解方程组求出最优解．‎ ‎(5)答：作出答案．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？‎ ‎[解]　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．‎ 由题意，知 目标函数z＝x＋0.5y.‎ 画出可行域如图中阴影部分．‎ 作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M时，z取得最大值．‎ 由得 即M(4,6)．‎ 此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．‎ ‎∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.‎ 利用基本不等式求最值 ‎　设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．‎ ‎(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)当00，>0，‎ ‎∴x＋1＋≥2，当且仅当x＋1＝，‎ 即x＝－1时，f(x)取等号，此时f(x)min＝2－1.‎ ‎(2)当025时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x>25时，a≥＋x＋有解．‎ ‎∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，‎ ‎∴a≥10.2.‎ 因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．‎ - 9 -‎
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