2020届高三数学下学期第四套模拟考试试题 文（含解析）(新版)新人教版

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‎2019届《黄金卷》第四套模拟考试 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出集合，直接求即可.‎ 详解： ‎ 故选B 点睛：本题考查交集的运算，属基础题.‎ ‎2. 如果复数的实部和虚部互为相反数，那么等于（ ）‎ A. -2 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，利用实部和虚部互为相反数得答案．‎ ‎...........................‎ 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3. 下图是2017年1-11月汽油、柴油介个走势图（单位：元/吨），据此下列说法错误的是（ ）‎ - 17 -‎ A. 从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大 B. 从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快 C. 92汽油与95汽油价格成正相关 D. 2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据折线图，依次逐步判断即可.‎ 详解：‎ 由价格折线图，不难发现4月份到5月份汽油价格上涨，而柴油价格下跌，‎ 故选：D 点睛：本题考查折线图的识别，解题关键理解折线图的含义，属于基础题.‎ ‎4. 下列四个命题中，正确的是（ ）‎ A. “若，则”的逆命题为证明题 B. “”是“”的充要条件 C. “”的否定是“”‎ D. 若为假命题，则均为假命题 ‎【答案】C ‎【解析】分析：原命题的逆命题的真假判断，充要条件的判断，命题的否定，复合命题的真假判断.‎ 利用复合命题的真假判断①的正误；命题的否定判断②的正误；四种命题的逆否关系判断③的正误；函数的奇偶性的性质判断④的正误；‎ 详解：‎ - 17 -‎ ‎“若，则tanx=1”的逆命题为：“若tanx=1，则”显然是假命题，故A错误；‎ 当时，成立，但不成立，故B错误；‎ 命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”；满足命题的否定形式，C正确；‎ 若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个假命题，一假即假，故D错误；‎ 故选：C 点睛：本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题，四种命题的逆否关系，充要条件等，属于基础题．‎ ‎5. 已知的内角的对边分别是，且，则角（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cosCsinC=sinC，结合sinC≠0，可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C=.‎ 详解：△ABC中，（a2+b2﹣c2）•（acosB+bcosA）=abc，‎ 由余弦定理可得：2abcosC（acosB+bcosA）=abc，‎ ‎∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，‎ ‎∴2cosCsin（A+B）=sinC，‎ ‎2cosCsinC=sinC，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴cosC=，‎ 又∵C∈（0，π），‎ ‎∴C=‎ 点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．‎ ‎（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．‎ ‎6. 若，且，则（ ）‎ - 17 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：对条件两边平方可得，，利用三姊妹关系即可得到结果.‎ 详解：由题：，于是 由于，‎ ‎ .‎ 故选：A ‎7. 执行如图所示的程序框图，为使输出的值大于11，则输入的正整数的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出S=1+0+1+2+…+（n-1）=‎ 的值，结合题意，即可得到结果．‎ 详解：该程序框图的功能是：当输入，输出，要使，至少是.‎ 故选：C 点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. ‎ - 17 -‎ 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎8. 某几何体的三视图如图所示，若图中的小正方形的边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是正方体中的四棱锥，由此求出几何体的外接球的表面积．‎ 详解：根据三视图，可得该几何体的直观图如下：‎ 利用补形法，外接球半径，进而几何体外接球的表面积为.‎ 点睛：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎9. 将函数的图像向左平移的单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）‎ - 17 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．‎ 详解： 将函数的图像向左平移的单位后，得到 ‎ 由题所得图像对应的函数为偶函数，则 ‎ 又，所以的最小值是.‎ 故选C．‎ 点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，由图像对应的函数为偶函数得到是解决本题的关键．‎ ‎10. 如图，将半径为1的圆周分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部分），现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题空白部分的面积为，则阴影部分的面积为，由几何概型的概率公式可得此点落在星形区域内的概率为 考点：几何概型 ‎11. 已知双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，且双曲线的顶点到渐近线的距离为，则曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 17 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意布列关于a，b的方程组，从而得到曲线的方程.‎ 详解：曲线化为标准形式：‎ 圆心坐标为,∴，‎ 又双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，‎ ‎∴，‎ ‎∵双曲线的顶点到渐近线的距离为，‎ ‎∴，即，又 ‎∴‎ ‎∴曲线的方程为 故选：D 点睛：本题主要考查双曲线方程的求法，直线与圆相切，点到直线的距离，属于中档题.‎ ‎12. 定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，则称为区间上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意可得，所以方程在区间有两个不相等的解.‎ 详解：由题意可知，，‎ 在区间上存在，，‎ 满足，‎ - 17 -‎ 所以方程在区间有两个不相等的解，（1）‎ 则，‎ 解得，则实数的取值范围是，‎ 故选：B．‎ 点睛：于二次函数的研究一般从以几个方面研究：‎ 一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x轴的交点个数；四是，区间端点值. ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 正方形中，，其中，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用平面向量基本定理构建的方程组，解之即可.‎ 详解：由得，，根据平面向量基本定理得，于是.‎ 故答案为：‎ 点睛：本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．‎ ‎14. 若满足约束条件，则的最小值__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的距离公式进行求解即可．‎ 详解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到点D（0，3）的距离的平方，‎ - 17 -‎ 则由图象知D到直线BC：=的距离最小，此时最小值d=，‎ 则（x+2）2+（y+3）2的最小值为d2=（）2=，‎ 故答案为：．‎ 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎15. 设函数的图像过点，且在点处的切线方程为，则__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】试题分析：由题意得：，∵，‎ ‎∴，而，∴.‎ 考点：导数的运用.‎ ‎16. 已知抛物线的方程为，为坐标原点，为抛物线上的点，若为等边三角形，且面积为，则的值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设，，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 又，，‎ - 17 -‎ ‎∴，即．‎ 又、与同号，‎ ‎∴．‎ ‎∴，即．‎ 根据抛物线对称性可知点，关于轴对称，‎ 由为等边三角形，不妨设直线的方程为，‎ 由，解得，‎ ‎∴。‎ ‎∵的面积为，‎ ‎∴，‎ 解得，∴．‎ 答案：2‎ 点睛：本题考查抛物线性质的运用，解题的关键是根据条件先判断得到点A,B关于x轴对称，然后在此基础上得到直线直线（或）的方程，通过解方程组得到点（或A）的坐标，求得等边三角形的边长后，根据面积可得。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由，当时，，当时，即可得出数列的通项公式；‎ ‎（2） ，利用“裂项求和”可得 ‎ ，即可证明.‎ 详解：‎ - 17 -‎ ‎（1）当时，，当时，‎ ‎＝－.‎ 而当时，，∴ ()． ‎ ‎（2） ，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”方法、考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18. 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽数之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了明天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月7日 ‎4月15日 ‎4月21日 ‎4月30日 温差x/℃‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y/颗 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“君不小于25”的概率；‎ ‎（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5填中的另三天的数据，求出关于的线性回归方程，.‎ ‎（参考公式：，）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）用数组表示选出2天的发芽情况，用列举法可得的所有取值情况，分析可得均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案； （2）根据所给的数据，先做出 - 17 -‎ 的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．‎ 详解：‎ ‎（1）所有的基本事件为;，;;，共个．‎ 设“均不小于”为事件，则事件包含的基本事件为，，，共个．‎ 故由古典概型公式得. ‎ ‎（2）由数据得，另天的平均数，‎ ‎，所以，‎ ‎，所以关于的线性回归方程为.‎ 点睛：本题考查回归直线方程的计算与应用，涉及古典概型的计算，是基础题，在计算线性回归方程时计算量较大，注意正确计算．‎ ‎19. 如图，已知四棱锥，底面是等腰梯形，且是中点，平面，是中点.‎ 证明：平面平面；‎ 求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据中位线可得∥，从而可证得∥平面。证四边形为平行四边形可得∥平面，从而可证得平面平面。（2）根据已知条件可得三棱锥的体积，根据体积转化发即可求得点到平面的距离。‎ 试题解析：(1) 证明：由题意，∥，=‎ ‎∴四边形为平行四边形，所以.‎ 又∵，∴∥‎ 又平面，平面∴∥平面4分 - 17 -‎ 同理，∥平面，又 ‎ ‎∴平面∥平面. 6分 ‎（2）设求点到平面的距离为.‎ 因为V三棱锥A-PCD= V三棱锥P-ACD即 ‎. 12分 考点：1线线平行、线面平行；2点到面的距离。‎ ‎20. 在直角坐标系中，椭圆 的左右顶点分别为，且椭圆上任意一点（异于）满足直线 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：(1) 设点的坐标为 ,由 可得 ，从而得到椭圆的方程；(2) 设，，将与联立消，得 ‎，利用根与系数关系表示目标，进而求值域即可.‎ 详解：（1）由题 设点的坐标为，则 ‎， ‎ ‎，‎ 所以椭圆方程为：. ‎ ‎（2）设，，将与联立消，得 ‎， ， ‎ - 17 -‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 故的取值范围是．‎ 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎21. 已知函数 .‎ ‎（1）求函数 在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数 在上有极值，求的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，因为，，利用点斜式方程即可求解切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）由，分和讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ 函数的定义域为，． ‎ ‎（Ⅰ）因为，， ‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 即． ‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎（ⅰ）当时，对于任意，都有，‎ - 17 -‎ 所以函数在上为增函数，没有极值，不合题意． ‎ ‎（ⅱ）当时，令，则． ‎ 所以在上单调递增，即在上单调递增， ‎ 所以函数在上有极值，等价于 ‎ 所以 所以．‎ 所以的取值范围是． ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.‎ 写出曲线的极坐标方程；‎ 设直线（为任意锐角）、分别与曲线交于两点，试求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）（）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用平方关系把曲线的参数方程化为普通方程，再由，把其转化为极坐标方程；（2）利用（1）中的极坐标方程，‎ ‎，从而，结合均值不等式即可求出面积的最小值.‎ 详解：（1）由，将曲线的参数方程，消参得 ‎，又，所以，‎ 化简整理得曲线的极坐标方程为：（）.①‎ ‎（2）将代入①式得，，‎ - 17 -‎ 同理，‎ 于是，‎ 由于（当且仅当时取“”），故，‎ ‎. ‎ 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式， 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 设.‎ 当时，求不等式的解集；‎ 若，求证：. ‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）若a=2，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）利用绝对值三角不等式证明即可.‎ 详解：（1）不等式可化为，‎ 即或或；‎ 解得或或，‎ 所以. ‎ ‎（2）‎ ‎ （当且仅当时取“”）‎ 又（当且仅当时取“”）‎ - 17 -‎ 故． ‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 17 -‎