高考数学专题复习：专题三 数 列
第一讲
一、选择题
1．(2014·唐山模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝13，S15＝63，则S20＝( )
A．90 B．100 C．110 D．120
2．(2014·安溪模拟)数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝( )
A. B. C．5 D．6
3．(2014·忻州模拟)已知等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a11＝( )
A．50 B． 35 C．55 D．46
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，正项等比数列{bn}中，b2＝a3，bn＋3bn－1＝4b(n≥2，n∈N*)，则log2bn＝( )
A．n－1 B．2n－1 C．n－2 D．n
5．(2014·宿州模拟)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}前n项和，n∈N*，则S10的值为( )
A．－110 B．－90 C．90 D．110
6．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( )
A．0 B．3 C．8 D．11
7．(2014·眉山模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，等差数列{bn}中，b2＝a2，且bn＋3＋bn－1＝2bn＋4，(n≥2，n∈N*)，则bn＝( )
A．2n＋2 B．2n C．n－2 D．2n－2
8．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，若an＋2＝2an＋1－an＋2，则an等于( )
A.n3－n＋ B．n3－5n2＋9n－4
C．n2－2n＋2 D．2n2－5n＋4
9．设数列{an}，则有( )
A．若a＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列
B．若an·an＋2＝a，n∈N*，则{an}为等比数列
C．若am·an＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D．若an·an＋3＝an＋1·an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列
10.
为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域{(x，y)|x≥0，y≥0}内植树，第一棵树在A1(0,1)点，第二棵树在B1(1，1)点，第三棵树在C1(1,0)点，第四棵树在C2(2,0)点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一棵树，那么，第2 014棵树所在的点的坐标是( )
A．(9,44) B．(10,44) C．(10,43) D．(11,43)
二、填空题
11．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a6＝a5＋2a4，则的值为________．
答案：4
12．在等差数列{an}中，a2＝5，a1＋a4＝12，则an＝________；设bn＝(n∈N*)，则数列{bn}的前n项和Sn＝________.
13．(2014·宜春模拟)已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)在直线y－3＝k(x－6)上，则数列{an}的前11项和S11＝________.
14．(2014·新余模拟)已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________．
答案：4
15．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为an＝________.
16．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足＝ax，且f
′(x)g(x)
1)，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－2＝2＝21，故an＝2n(n≥1)．所以b2＝a2＝4，由此可排除A、C、D.对B选项，若bn＝2n，则bn＋3＋bn－1＝2(n＋3)＋2(n－1)＝4n＋4,2bn＋4＝4n＋4满足题设，选B.
8．解析：选C 依题意得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，因此数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公差的等差数列，an＋1－an＝1＋2(n－1)＝2n－1.当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋3＋…＋(2n－3)＝1＋＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，又a1＝1＝12－2×1＋2，因此an＝n2－2n＋2.
9． 解析：选C 若a1＝－2，a2＝4，a3＝8，满足a＝4n，n∈N*，但{an}不是等比数列，故A错；若an＝0，满足an·an＋2＝a，n∈N*，但{an}不是等比数列，故B错；若an＝0，满足an·an＋3＝an＋1·an＋2，n∈N*，但{an}不是等比数列，故D错；若am·an＝2m＋n，n∈N*，则有＝＝＝2，则{an}是等比数列．
10.解析：选B 由题意可得种树的方法是按照一个等差数列3,5,7，…，2n＋1排列．由前n项和得(n＋2)n＝2 014，所以n2＋2n－2 014＝0，解得n＝(负值舍去)．所以n≈43，当n＝43时对应种了1 935棵树．由于单数的最后一个落在x轴上，双数的最后一个落在y轴上，所以在坐标为(43,0)向右种1棵，再向上种44棵，即第1 980棵的坐标为(44,44)，再向左平行移动34格，即第2 014棵及坐标为(10,44)．
二、填空题
11．解析：因为a6＝a5＋2a4，所以a4q2＝a4q＋2a4，即q2－q－2＝0，数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以q＝2，＝q2＝4.
答案：4
12．解析：设等差数列{an}的公差为d，则有a2＋a3＝5＋a3＝12，a3＝7，d＝a3－a2＝2，an＝a2＋(n－2)d＝2n＋1，bn＝＝，因此数列{bn}的前n项和Sn＝×＝＝.
答案：2n＋1
13．解析：若点(n，an)(n∈N*)在直线y－3＝k(x－6)上，则an＝k(n－6)＋3，S11＝a1＋a2＋a3＋…＋a11＝k(－5－4－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4＋5)＋11×3＝33.
答案：33
14．解析：设等比数列首项为a1，公比为q，则a1q·a1q3＝4⇒a1q2＝2，a1＋a1q＋a1q2＝14⇒a1＋a1q＝12，得＝＝6，即6q2－q－1＝0⇒q＝或q＝－(舍)，得a1＝8，所以an＝a1qn－1＝8×n－1，则an·an＋1·an＋2＝(an＋1)3＝3>，即83×n>⇒n>×，所以n≤4，最大正整数n的值为4.
答案：4
15．解析：令x＝2，y＝2n－1，则f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n.
答案：n·2n
16．解析：根据题意得′＝，因为f′(x)g(x)60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
2．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5＝3a5－2，a1，a2，a5依次成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n∈N*)，数列bn的前n项和为Tn，若an＋1≥λTn对任意正整数n都成立，求实数λ的取值范围．
3．(2014·江苏高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．
(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；
(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值；
(3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
4．(2014·江西高考)将连续正整数1,2，…，n(n∈N*) 从小到大排列构成一个数， F(n)为这个数的位数(如 n＝12时，此数为123 456 789 101 112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．
(1)求 p(100)；
(2)当n≤2 014 时，求F(n) 的表达式；
(3)令g(n) 为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当 n∈S时 p(n)的最大值．
答案
1． 解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.
(2)当an＝2时，Sn＝2n.
显然2n<60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，
解得n>40或n<－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.
综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.
2． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则S5＝5a1＋10d，
∵S5＝3a5－2＝3(a1＋4d)－2＝3a1＋12d－2，
∴5a1＋10d＝3a1＋12d－2，
∴a1＝d－1.
∵a1，a2，a5依次成等比数列，
∴a＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，
化简得，d＝2a1，
∴a1＝1，d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(2)bn＝＝＝，
∴Tn＝＝＝.
由an＋1≥λTn得2n＋1≥λ×对任意正整数n都成立，
∴(2n＋1)2≥λn，
∴λ≤＝＝4n＋4＋.
令f(x)＝4x＋(x≥1)，则f′(x)＝4－>0，
∴f(x)在[1，＋∞)上递增，
∴对任意正整数n,4n＋的最小值为5，∴λ≤9.
3．解：(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.
所以{an}是“H数列”．
(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因为{an}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2＝am，即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.
因为d<0，所以m－2<0，故m＝1.从而d＝－1.
当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝是小于2的整数，n∈N*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”．因此d的值为－1.
(3)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)．
令bn＝na1，cn＝(n－1)(d－a1)，则an＝bn＋cn(n∈N*)．
下证{bn}是“H数列”．
设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a1(n∈N*)．于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝，使得Tn＝bm，所以{bn}是“H数列”．
同理可证{cn}也是“H数列”．
所以，对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
4． 解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝；
(2)F(n)＝
(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)时，g(n)＝0；
当n＝10k＋b(1≤k≤9,0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；
当n＝100时，g(n)＝11，
即g(n)＝
同理有f(n)＝
由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9,19,29,39,49,59,69,79,89,90，所以当n≤100时，S＝{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}，
当n＝9时，p(9)＝0，
当n＝90时，p(90)＝＝＝，
当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝，
又<，所以当n∈S时，p(n)的最大值为.
