2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（江苏卷）

2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（江苏卷）

绝密★启用前 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。‎ ‎2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。‎ ‎5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ ‎6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。‎ 参考公式：‎ 样本数据的方差 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为★.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎2.已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积 ★ .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】。‎ ‎3.函数的单调减区间为 ★ .‎ ‎1‎ ‎1‎ O x y ‎【答案】‎ ‎【解析】，由得单调减区间为。‎ ‎4.函数为常数，‎ 在闭区间上的图象如图所示，则 ★ .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】，，所以，‎ ‎5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差‎0.3m的概率为 ★ .‎ ‎【答案】0.2‎ ‎【解析】略 ‎6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：‎ 学生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ 乙班 ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 开始 输出 ‎ 结束 Y N 则以上两组数据的方差中较小的一个为 ★ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ★ .‎ ‎【答案】22‎ ‎【解析】略 ‎8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ .‎ ‎【答案】1：8‎ ‎【解析】略 ‎9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ★ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎10.已知，函数，若实数满足，则 的大小关系为 ★ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中★ .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由得，；由知，所以4。‎ ‎12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：‎ ‎（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；‎ ‎（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；‎ ‎（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；‎ ‎（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.‎ 上面命题中，真命题的序号 ★ （写出所有真命题的序号）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】略 ‎13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .‎ ‎【答案】‎x y A1‎ B2‎ A2‎ O T M ‎【解析】用表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.‎ ‎14．设是公比为的等比数列，，令若数列有连续四项在集合中，则 ★ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分14分） ‎ 设向量 ‎（1）若与垂直，求的值；‎ ‎（2）求的最大值;‎ ‎（3）若，求证：∥.‎ ‎【解析】由与垂直，，‎ 即，；‎ ‎，‎ 最大值为32，所以的最大值为。‎ 由得，‎ 即，‎ 所以∥. ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，‎ 求证：（1）∥‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ E F D ‎（2）‎ ‎【解析】证明：（1）因为分别是 的中点，所以，又，，所以∥；‎ ‎（2）因为直三棱柱，所以，，又，所以，又，所以。‎ ‎17．（本小题满分14分） ‎ 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足 ‎（1）求数列的通项公式及前项和；‎ ‎（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. ‎ 解析：（1）设公差为，则，‎ 由性质得，‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 又由得，‎ 解得，‎ 所以的通项公式为，前项和。‎ ‎（2），令，‎ ‎，‎ 因为是奇数，所以可取的值为，‎ 当，时，，，是数列中的项；‎ ‎，时，，数列中的最小项是，不符合。‎ 所以满足条件的正整数。‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，已知圆和圆 x y O ‎1‎ ‎1‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.‎ ‎【解析】(1) 或，‎ ‎(2)P在以C‎1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或。 ‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.‎ ‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为 (1) 求和关于、的表达式；当时，求证：=；‎ (2) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？‎ (3) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。‎ (1) 求和关于、的表达式；当时，求证：=；‎ (2) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？‎ (3) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。‎ ‎【解析】(1)‎ 当时，‎ 显然 ‎ ‎(2)当时，‎ 由，‎ 故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 ‎20．(本小题满分16分)‎ 设为实数，函数.‎ (1) 若，求的取值范围；‎ (2) 求的最小值；‎ (3) 设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ ‎【解析】（1）若，则 ‎（2）当时，‎ 当时，‎ 综上 ‎(3) 时，得，‎ 当时，；‎ 当时，得 ‎1）时，‎ ‎2）时，‎ ‎3）时，‎