安徽省合肥市联考2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(合肥一中合肥六中)

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文档介绍

安徽省合肥市联考2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(合肥一中合肥六中)

‎2018-2019学年第二学期合肥一中、合肥六中高二年级期 中考试数学(理)试卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.若复数满足,其中为虚数单位,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法,求出复数z即可.‎ ‎【详解】复数z满足, ,‎ 故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算,要求掌握复数的除法运算,比较基础.‎ ‎2.己知为导数,则( )‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先转化为═,再根据导数的运算法则求导,并代入数值计算即可.‎ ‎【详解】, , , 故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的运算法则和三角函数的求值,属于基础题.‎ ‎3.若函数,则函数的单调递减区间为( )‎ A. B. C. (0,3) D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的定义域,再求导数,最后令,解之即可得到结果.‎ ‎【详解】函数的定义域为:,‎ 因为,‎ 令并且,得:,‎ 所以函数的单调递减区间为(0,3).‎ 故本题正确答案为C.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,掌握常见函数的导数是关键,属基础题.‎ ‎4.用反证法证明命题“已知,如果可被5整除,那么中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( )‎ A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 不能被5整除 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的概念,利用命题的否定,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证,“中至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”.故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用,其中解答中熟记反证法的概念,合理利用命题的否定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.‎ ‎5.水池装有编号为①、②、③、④、⑤的5条水管,其中有些是进水管,有些是出水管,如果同时开放两条水管,注满水池的时间如下表:‎ 开放水管号 ‎①②‎ ‎②③‎ ‎③④‎ ‎④⑤‎ ‎⑤①‎ 注满水池的时间(小时)‎ ‎2‎ ‎15‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎19‎ 那么单开一条水管,最快注满水池的水管编号为( )‎ A. ① B. ② C. ④ D. ③或⑤‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将表格中数据两两横向对比即可比较出不同水管的进水速度,从而得到答案.‎ ‎【详解】①②用2小时,②③用15小时,所以①的速度要比③快;②③用15小时,③④要用6小时,所以④比②进水速度快;③④用6小时,④⑤用3小时,所以⑤比③进水速度快;④⑤用3小时,⑤①用19小时,④比①进水速度快;①②用两个小时,⑤①用19个小时,所以②比⑤进水快. 根据以上分析可得到:进水速度①>③;④>②;⑤>③;④>①;②>⑤.‎ 所以最快的是④.‎ 所以C选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查识别表格的能力,关键根据表格中两个水管灌满水的时间,每两个横向比较,找到最快的.‎ ‎6.函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排除法可令x=1,排除C,D,且当时,,排除B,从而得到答案.‎ ‎【详解】令x=1,则f(1)=e>0,所以排除C,D,令,解得或,‎ 则时,,排除B,选A.‎ 所以本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断,一般采用排除法,可利用赋值,求函数奇偶性等进行排除,属基础题.‎ ‎7.用S表示图中阴影部分的面积,若有6个对面积S的表示,如图所示,;;;;;.则其中对面积S 的表示正确序号的个数为( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将阴影部分的面积用定积分表示,然后根据定积分的意义和函数的符号进行选择化简即可.‎ ‎【详解】由定积分的几何意义知,区域内的面积为:, 又当时,,当时,,‎ 所以,‎ 或者 ‎,‎ 所以③,⑤,⑥是正确的.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用,解题时要注意分割,关键是要注意在x轴下方的部分积分为负(积分的几何意义强调代数和),属于基础题.‎ ‎8.已知,用数学归纳法证明:对于任意的,,由的归纳假设证明,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,可知,,从而可得到变化了的项.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎, , . 所以D选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查数学归纳法,考查数学归纳法中的推理,确定到变化了的项是解题的关键,属基础题.‎ ‎9.己知函数,在处取得极大值,则实数的值是( )‎ A. B. 2 C. 2或6 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.‎ ‎【详解】函数的导数为,  由在处有极大值,即有,即, 解得或6,  若时,,可得或,  由在 处导数左负右正,取得极小值,  若,,可得或2 , 由在处导数左正右负,取得极大值.  综上可得. 所以D选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性,属基础题.‎ ‎10.设的三边长分别为的面积为S,内切圆半径为,则,类比这个结论可知:四面体的四个面的面积分别为,内切球半径为,四面体的体积为,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线类比直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.‎ ‎【详解】设四面体的内切球的球心为O,‎ 则球心O到四个面的距离都是R,‎ 所以四面体的体积等于以O为顶点,‎ 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和,‎ 则四面体的体积为 ,‎ ‎∴‎ 故本题正确答案C.‎ ‎【点睛】本题主要考查类比推理,将三棱锥分成四个以内切球球心为顶点的小三棱锥是关键,属基础题.‎ ‎11.函数在上满足,则曲线在点处的切线方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据求出函数的解析式,然后对函数进行求导,进而可得到在点处的切线方程的斜率,最后根据点斜式可求切线方程.‎ ‎【详解】, . . 将代入, 得, ,, 在处的切线斜率为, 函数在处的切线方程为, 即. 所以本题答案为D.‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法,函数的求导法则以及导数的几何意义,函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率.‎ ‎12.己知函数是减函数,则实数( )‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的定义域,求出原函数的导函数,把f(x)是定义域内的减函数转化为f′(x)=aln(x+1)-2x恒成立.再利用导数求得导函数的最大值,由最大值等于0求得a值.‎ ‎【详解】f(x)的定义域为(-1,+∞),f′(x)=aln(x+1)-2x. ‎ 由f(x)是减函数得,对任意的x∈(-1,+∞),都有f′(x)=aln(x+1)-2x≤0恒成立. ‎ 设g(x)=aln(x+1)-2x. ‎ ‎∵,由a>0知,, ‎ ‎∴当时,g'(x)>0;当时,g'(x)<0, ‎ ‎∴g(x)在上单调递增,在上单调递减, ‎ ‎∴g(x)在时取得最大值. ‎ 又∵g(0)=0,∴对任意的x∈(-1,+∞),g(x)≤g(0)恒成立,‎ 即g(x)的最大值为g(0). ‎ ‎∴,解得a=2.‎ 所以本题答案为A.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,根据函数的单调性求参数可转化为不等式恒成立问题,属中档题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.己知,则________.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列组合的公式化简求解可得结果.‎ ‎【详解】由得,,‎ 解得,.‎ 所以本题答案为27.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的公式,熟记公式,认真计算,属基础题.‎ ‎14.设,则________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得,,根据定积分的几何意义可知,可得表示的是四分之一的圆的面积,再根据微积分基本定理,可求,最后相加即可得到结果.‎ ‎【详解】由题意得,,‎ 根据定积分的几何意义可知,表示的是在x轴上方的半径为1的四分之一圆的面积,如图(阴影部分):‎ 故,又,‎ 所以.‎ 所以本题答案为.‎ ‎【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义,利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键,属基础题.‎ ‎15.从2位医生,4位护士中选3人为参加救护工作,且至少有1位医生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析题意可知,需要分两种情况讨论求解:①当有一位医生时,有种;②当有两位医生时,有种,最后相加即可得到答案.‎ ‎【详解】因为选择3人,且至少有1位医生,‎ 所以当有一位医生时,有种,‎ 当有两位医生时,有种,‎ 故共有种.‎ 故本题正确答案为16.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合,涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理,属于基础题.‎ ‎16.若函数与函数有公切线,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出导数,设出各自曲线上的切点,得到切线的斜率,结合切点满足曲线方程,再设出两条切线方程,变形为斜截式,从而根据切线相同则系数相等,可得切点坐标的关系式,整理得到关于一个坐标变量的方程,借助于函数的极值和最值,即可得到a的范围.‎ ‎【详解】,设切点分别是,‎ 所以切线方程分别为:,‎ 化简为,‎ 所以消,得,‎ 令,,‎ 所以f(x)在单调递减,,,‎ 故,解得.‎ 所以本题答案为.‎ ‎【点睛】可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是 ‎,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入,求出切点,然后再确定切线方程.而对于切线相同,则分别设切点求出切线方程,再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.已知复数,是实数,是虚数单位.‎ ‎(1)求复数;‎ ‎(2)若复数所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1)z=﹣2i.(2)m∈(﹣∞,﹣2)时,复数所表示的点在第一象限.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1)将代入,再借助是实数,其虚部为0建立方程求出值;(2)将代入,借助其表示的点在第一象限建立不等式组,通过解不等式组求出的取值范围:‎ 解:(1)∵z=bi(b∈R),∴===.‎ 又∵是实数,∴, ∴b=﹣2,即z=﹣2i.‎ ‎(2)∵z=﹣2i,m∈R,∴(m+z)2=(m﹣2i)2=m2﹣4mi+4i2=(m2﹣4)﹣4mi,‎ 又∵复数所表示的点在第一象限,∴,‎ 解得m<﹣2,即m∈(﹣∞,﹣2)时,复数所表示的点在第一象限.‎ ‎18.如图,一个正方形花圃被分成5份.‎ ‎(1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花,求有多少种不同的种植方法?‎ ‎(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的放法?‎ ‎【答案】(1)96;(2) 16800‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,依次分析5个部分的种植方法数目, 对C部分种植进行分类,再由分步计数原理计算可得答案; (2)根据题意,分2步进行分析:①将7个盆栽分成5组,有2种分法:即分成的5组或分成的5组;②将分好的5组全排列,对应5个部分,由分步计数原理计算可得答案.‎ ‎【详解】(1)先对A部分种植,有4种不同的种植方法;再对B部分种植,有3种不同的种植方法;对C部分种植进行分类:‎ ‎①C若与B相同,D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有种;‎ ‎②C若与B不同,C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有种.‎ 综上,共有96种种植方法.‎ ‎(2)将7个盆栽分成5组,有2种分法:‎ ‎①若分成2-2-1-1-1的5组,有种分法;‎ ‎②若分成3-1-1-1-1的5组,有种分法;‎ 将分好的5组全排列,对应5个部分,‎ 则一共有种放法.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关排列与组合的综合题,涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理,属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)求在上的最值;‎ ‎(2)对任意,恒有成立,求实数的取位范围.‎ ‎【答案】(1)当时,的最大值为4;当时,的最小值为;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对求导,令,得到在上的单调性,从而求得最值;(2)由,数形结合分析可得取值范围.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,令,解得或,‎ 因为在上,所以在上单调递减;在上单调递增,‎ 又因为,,,‎ 所以,当时,的最大值为4;当时,的最小值为.‎ ‎(2)因为,结合图象:‎ 令,解得,‎ 所以m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值,考查根据函数的图像和性质求参数法人方法,要熟练掌握数形结合思想方法的运用,属中档题.‎ ‎20.设函数,,,其中是的导数,令,,.‎ ‎(1)求,,,并猜想;‎ ‎(2)证明:猜想的表达式成立.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出的解析式,依次计算即可得出猜想;(2)利用数学归纳法证明即可.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,则,‎ 所以,,,‎ 猜想.‎ ‎(2)下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当时,,结论成立;‎ ‎②假设时结论成立,即,‎ 那么,当时,,即结论成立,‎ 由①②可知,对成立.‎ ‎【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明等式的方法、考查了猜想能力、推理能力与计算能力,其中解答中明确数学归纳证明方法:(1)验证n=1时成立;(2)假设当n=k时成立,证得n=k+1也成立;(3)得到证明的结论.其中在n=k到n=k+1的推理中必须使用归纳假设.属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若时,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数的求导数,然后分别讨论当时和当时的情况即可求得结果;(2)构造函数,求的导数,再构造函数,利用导数研究函数的零点,设为,分析可得,且,最后构造函数,因为,由其单调性可得,根据是增函数,从而有,解之即可得到答案.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,‎ ‎①当时,,所以在R上单调递增;‎ ‎②当时,得,又因为是增函数;‎ 所以在上单调递减;在上单调递增.‎ ‎(2)因为,恒成立,‎ 所以等价于 恒成立,‎ 令,定义域,则,‎ 令,则,所以是增函数,‎ 因为,,时,,‎ 所以有且只有一个根,设,则,‎ 则在单调递减,在单调递增,‎ 所以,则,‎ 令,则,‎ 又因为,所以,则,解得,‎ 综上可得,实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数,尤其是第二问,考查转化与化归的能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调区间;‎ ‎(2)若函数有两个极值点,且恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;(2)得到,,则,令,则,,令,根据函数的单调性求出t的范围,再根据,求出a的范围即可.‎ ‎【详解】(1)函数的定义域为,,‎ 令,则,‎ ‎①当时,,恒成立,函数单调递增区间为;‎ ‎②当时,,方程有两根,,,‎ 函数在上,在上,在上,‎ 单调递增区间为、;‎ 单调递减区间为.‎ ‎(2)由(1)知函数在上单调递减,则,‎ 令,则,,‎ 令,则,所以在上单调递减,‎ 因为,所以,‎ 因为,,‎ 所以,解得.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调区间和根据不等式恒成立求参数,尤其是第二问,考查转化与化归的能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎ ‎
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