江苏省南通市启东市2020届高三上学期期中考试数学试题

江苏省南通市启东市2020届高三上学期期中考试数学试题

‎2019～2020学年第一学期期中素质调研测试 高三数学（Ⅰ）试题 参考公式：柱体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高；‎ 锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高.‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.已知集合，，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】，，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查集合交集的计算，主要考查对集合交集定义的理解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.函数的最小正周期为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期.‎ ‎【详解】由题意可知，函数的最小正周期为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，解题时要熟悉正弦型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.“”是“”的____条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，根据集合的包含关系判断出两条件的充分不必要条件关系.‎ ‎【详解】解不等式，解得或.‎ 因此，“”是“”的充分不必要条件.‎ 故答案为：充分不必要.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件关系的判断，同时也考查了一元二次不等式的解法，一般转化为集合的包含关系来处理，考查运算求解能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎4.在中，角、、的对边分别为、、，若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用边角互化思想求出，可得出，再结合可求出的值.‎ ‎【详解】，由正弦定理得，‎ ‎，，又，，‎ 由题意得，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.记是等比数列的前项和，，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，利用已知条件求出的值，再利用等比数列的求和公式可求出的值.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，‎ 上述两个等式相除得，所以，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎6.如图所示，长方体的体积为，为线段上的一点，则棱锥的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明出平面，可得出三棱锥的高等于，然后利用锥体的体积公式可求出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】设矩形的面积为，，则长方体的体积为 ‎.‎ 在长方体中，平面平面，平面，‎ 平面，，所以，三棱锥的高等于.‎ 的面积为，‎ 所以，三棱锥的体积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，在解题时一般要找出合适的底面，并利用等体积法进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎7.已知函数的最小值为，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出函数的最小值，结合题中条件可求出实数的值.‎ ‎【详解】函数的定义域为，且，‎ 令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在取得极小值，亦即最小值，即，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，要熟悉函数的最值与导数的关系，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.已知是定义在上的奇函数，满足．若当时，，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题中定义推导出函数的周期为，然后利用周期性和奇函数的性质求出的值.‎ ‎【详解】函数是定义在上的奇函数，则，‎ ‎，.‎ 所以，函数是以为周期的周期函数，‎ 则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，解题的关键就是利用题中定义推导出函数的周期，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9.若，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用二倍角的正弦公式可计算出的值.‎ ‎【详解】，，，‎ 则，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式求值，解题时要求出角的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10.如图，在平面四边形中，，，，、分别为边、的中点，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以点为坐标原点，、分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，计算出、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出的值.‎ ‎【详解】以点为坐标原点，、分别为轴、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，‎ 则点、、，，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.在平面直角坐标系中，点在曲线上，该曲线在点处的切线与轴交于点．若轴，垂足为，且长为，则切线的斜率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，利用导数求出直线的方程，可求出点的坐标，由题意得出点的坐标为，利用题中条件求出的值，由此可得出切线的斜率.‎ ‎【详解】设点，对于函数，则，‎ 所以，切线的方程为，即，‎ 令，得，则点的坐标为，易知点的坐标为，‎ ‎，得，因此，切线的斜率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数切线方程的应用，解题时要熟悉导数求切线方程的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.已知函数，则不等式的解集是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分，、三种情况分类讨论，结合函数的解析式解不等式，可得出该不等式的解集.‎ ‎【详解】.‎ ‎①当时，即当时，由，得，整理得，该不等式恒成立，此时，；‎ ‎②当时，即当时，由，得，整理得，解得或，此时；‎ ‎③当时，由，得，即，整理得，解得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，解题时要对自变量所满足的范围选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎13.若函数有两个不同的零点，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，得出，可得出，在等式两边取自然对数得，可得出，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出的取值范围，可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】令，得出，则，在等式两边取自然对数，可得出，构造函数，‎ 则问题转化为直线与函数图象有两个交点.‎ ‎，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即.‎ 如下图所示，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个不同的零点，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的零点个数问题，在含单参数的函数零点个数问题，一般利用参变量分离法转化为两个函数图象的交点个数问题，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于难题.‎ ‎14.如图，在中，、是上的两个三等分点，，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 用、表示、、，然后利用，利用平面向量的数量积的运算律以及数量积的定义得出的表达式，然后利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】、是上的两个三等分点，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎，可得，‎ 由基本不等式得.‎ 因此，最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算夹角余弦值的最值，考查了利用基本不等式求最值，解题的关键就是找出合适的基底表示向量，并根据题中条件建立代数式求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为棱的中点，平面底面，．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，可得出点为的中点，由中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）由，可得出，由平面与平面垂直的性质定理可得出平面，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面平面．‎ ‎【详解】证明：（1）连，交于点，连.‎ 因为底面是平行四边形，所以为的中点，‎ 因为为棱的中点，所以， ‎ 又因为平面，平面，所以平面；‎ ‎（2），，‎ 因为平面底面，平面平面，平面，‎ 所以平面，因为平面，所以平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的证明，在遇到平面与平面垂直时，一般利用平面与平面垂直的性质定理转化为直线与平面垂直，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎16.已知，，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间和值域．‎ ‎【答案】（1）（2）单调增区间，单调减区间．值域为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平面向量的模长公式以及二倍角余弦公式可求出的值，并求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值；‎ ‎（2）利用两角和余弦公式以及两角和的正弦公式将函数的解析式化简为，由计算出，由、可分别求出函数在区间上的单调递减区间和递增区间，利用正弦函数的性质可得出函数的值域.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，即，‎ 所以．‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以．‎ 所以；‎ ‎（2）因为，‎ 因为，所以，‎ 当，即时，函数单调递减；‎ 当，即时，函数单调递增；‎ 故函数的单调增区间，单调减区间． ‎ 由于，所以函数的值域为．‎ ‎【点睛】本题考查利用两角差余弦公式求值，同时也考查了三角函数在定区间上的单调区间和值域问题，一般利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎17.已知函数是偶函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数为偶函数，结合定义，得出对任意的恒成立，由此可得出的值；‎ ‎（2）设，利用函数单调性的定义证明出函数在上为增函数，再由偶函数的性质，由可得出，利用函数在上为增函数，得出，解出该不等式即可.‎ ‎【详解】（1）因为是偶函数，所以对任意实数，有，‎ 即，所以对任意实数成立， ‎ 因为，，所以，即对任意实数成立，所以；‎ ‎（2）由（1）知，此时，‎ 因为，，，，故不妨设，任取，‎ 则.‎ 因为，，所以，‎ 所以，，则，‎ 所以，即，‎ 所以，函数在上单调递增，‎ 又因为函数是上的偶函数，，则，‎ ‎，即，解得.‎ 因此，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查利用偶函数的定义求参数、同时也考查了利用函数的单调性解不等式，解题时可充分利用偶函数的性质，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎18.如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达处，休息后继续行驶到达山顶．‎ ‎（1）求山的高度；‎ ‎（2）现山顶处有一塔．从到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为．若点处高度为，则为何值时，视角最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，视角最大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解法一：计算出的值，然后在中，过作，垂足为，利用锐角三角函数的定义求出，然后在中利用锐角三角函数可求出；‎ 解法二：过作于点，过作于点，计算出、，设 ‎，可得出，，由勾股定理可解出的值，即可得出山高；‎ ‎（2）过作于，计算出和，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，通过化简后利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立求出的值，即可得出该问题的解答.‎ ‎【详解】（1）法一：因为，是锐角，所以，，‎ 所以，‎ 在中，过作，垂足为.‎ 因为，所以.‎ 在中，，所以山的高度为；‎ 法二：过作于点，过作于点，‎ 在中，，，所以，，‎ 所以，.‎ 设，在直角中，，，‎ 由于，所以 因为，所以，所以山的高度为；‎ ‎（2）过作于，因为，所以，‎ 因为在上，，所以，‎ 所以，.‎ 所以，.‎ 令，所以，‎ 则.‎ 当且仅当，即时，即时取得最大值.‎ 所以，当时，视角最大.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形中测量高度问题，同时也考查了利用基本不等式来求角的最值，解题的关键在于建立关系式，并对代数式进行化简变形，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）若在区间内有两个极值点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，求出导数，解导数方程，然后列表分析函数的单调性，可得出函数的极值；‎ ‎（2）求出导数，构造函数，问题转化为函数在区间上有两个零点，对参数进行分类讨论，利用导数分析在区间上的单调性与极值，根据题意得出关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以，令得．列表如下：‎ 极小值 因此，当时，有极小值，无极大值；‎ ‎（2）因为 由，得，记，，‎ 因为在区间内有两个极值点，‎ 所以在区间内有两个零点，所以且，‎ 令，则.‎ ‎①当，即时，，所以在上单调递减，至多与轴有一个交点，不满足题意； ‎ ‎②当，即时，，所以在上单调递增，至多与轴一个交点，不满足题意；； ‎ ‎③当时，即时，在上单调递增，在上单调递减.‎ 由，要使在区间内有两个零点，‎ 必须满足，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题关键就是将极值点转化为函数的零点来处理，在求解时可以利用分类讨论思想以及参变量分离法求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎20.数列的各项均为正数，其前项和为．已知对任意的，存在实数、‎ 满足．‎ ‎（1）若，求、的值；‎ ‎（2）若、、成等差数列，求证：数列是等差数列．‎ ‎【答案】（1）.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列的前项和公式求出，然后由条件可求出、的值；‎ ‎（2）设数列、、的公差为，由经过变形后得出或，然后分和两种情况讨论，结合等差数列的定义证明出数列是等差数列.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 代入得，，‎ 因为上式对恒成立，所以，因此，，；‎ ‎（2）因为、、成等差数列，设公差为，则 ‎，即 ，‎ ‎，得，‎ 得，，所以或，‎ ‎1°当时，，所以，所以，‎ 所以是以为首项，为公差的等差数列；‎ ‎2°当时，则，代入，得，，，‎ 所以，，两式相减得，‎ ‎，即，‎ 所以或，‎ 因为，、、成等差数列，‎ 所以，，下面证明对恒成立，‎ 假设成立的最小值为，即，显然，‎ 又，两式相减得，，这与， 矛盾，‎ 因此，，，所以是以为首项为公差的等差数列.‎ 综合1°2°，数列是等差数列．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和的求解，同时也考查了利用与的递推公式证明等差数列，在证明时应充分利用等差数列的定义来证明，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ 附加题.‎ ‎21.在空间直角坐标系中，，，，，点满足．‎ ‎（1）求点的坐标（用表示）；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量的坐标运算求出的坐标，结合等式可得出的坐标，再利用可求出点的坐标；‎ ‎（2）计算出的坐标，由，得出 ‎，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，解出即可得出实数的值.‎ ‎【详解】（1）因为，， 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以点的坐标为；‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 即，解得．‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量处理直线与直线的垂直关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎22.确定函数，的单调区间．‎ ‎【答案】单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，在上分别解不等式和，可得出函数在区间上的单调递增区间和单调递减区间.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，则，则.‎ 令，则，又，所以； ‎ 令，则，又，所以．‎ 因此，函数的单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎【点睛】本题考查利用求导数函数的单调区间，同时也考查了简单复合函数的导数，解题时要熟悉导数符号与单调区间之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎23.在直四棱柱中，，，，．‎ ‎（1）求二面角余弦值； ‎ ‎（2）试问线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）线段上不存在点，使直线平面，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出二面角的余弦值；‎ ‎（2）设，求出点的坐标，由平面，可得出与平面的法向量垂直，转化为两向量数量积为零求出的值，即可判断出点是否存在.‎ ‎【详解】（1）在直四棱柱中，平面，因为平面，平面，所以，，因为，所以，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示.‎ 依题意可得，，，，，，，．‎ 设为平面的法向量，则.‎ 因为，，所以.‎ 不妨设，可得．‎ 设为平面的法向量，则.‎ 因为，，所以，‎ 不妨设，可得．‎ 所以．‎ 由图知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；‎ ‎（2）假设线段上是否存在点，使得直线平面，则，‎ 设，则，．‎ 所以，所以，不合题意，故舍去 所以，线段上不存在点，使直线平面.‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量法求二面角的余弦值，同时也考查了利用空间向量法处理线面平行的存在性问题，一般转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎24.已知，，，．‎ ‎（1）比较与的大小；‎ ‎（2）比较与大小，并加以证明．‎ ‎【答案】（1）；（2），，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用作差法可得出与的大小关系；‎ ‎（2）猜想，，利用分析法可得知要证，，然后利用数学归纳法证明出即可，即可证明.‎ ‎【详解】（1）.‎ 因为，所以，所以，所以；‎ ‎（2）结论：，，证明如下：‎ 要证，，只要证，.‎ 只要证，.‎ 因为，所以只要证，（i）.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，（i）式成立；‎ ‎②假设当时，（i）式成立，即有，‎ 则当时，（i）式左边，‎ 而此时（i）式右边，‎ 所以只要证，‎ 只要证（ii），‎ 令，，，‎ 因为，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 故（ii）式成立.这就是说，当时，（i）式也成立，‎ 综合①②可知（i）式成立，所以，成立，得证.‎ ‎【点睛】本题考查数列不等式的证明，一般利用数学归纳法来证明，在证明时也可以结合分析法与导数来证明，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ ‎ ‎