高考数学难点突破05__求解函数解析式

高考数学难点突破05__求解函数解析式

高中数学难点 5 求解函数解析式 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解 函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力 和解决实际问题的能力. ●难点磁场 (★★★★)已知 f(2－cosx)=cos2x+cosx,求 f(x－1). ●案例探究 ［例 1］(1)已知函数 f(x)满足 f(logax)= )1( 12 xx a a   (其中 a>0,a≠1,x>0),求 f(x)的表达 式. (2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1, f(x) . 命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算 能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目. 知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解：(1)令 t=logax(a>1,t>0;01,x>0;01 时 f(x)等于( ) A.f(x)=(x+3)2－1 B.f(x)=(x－3)2－1 C.f(x)=(x－3)2+1 D.f(x)=(x－1)2－1 二、填空题 3.(★★★★★)已知 f(x)+2f( x 1 )=3x,求 f(x)的解析式为_________. 4.(★★★★★)已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_________. 三、解答题 5.(★★★★)设二次函数 f(x)满足 f(x－2)=f(－x－2),且其图象在 y 轴上的截距为 1，在 x 轴上截得的线段长为 2 ，求 f(x)的解析式. 6.(★★★★)设 f(x)是在(－∞,+∞)上以 4 为周期的函数，且 f(x)是偶函数，在区间［2， 3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当 x∈［1,2］时 f(x)的解析式.若矩形 ABCD 的两个顶点 A、 B 在 x 轴上，C、D 在 y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值. 7.(★★★★★)动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B、C、D 再回到 A，设 x 表示 P 点的行程，f(x)表 示 PA 的长，g(x)表示△ABP 的面积，求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的 简图. 8.(★★★★★)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数，周 期 T=5，函数 y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知 y=f(x)在［0，1］ 上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在 x=2 时，函数取 得最小值，最小值为－5. (1)证明：f(1)+f(4)=0; (2)试求 y=f(x),x∈［1,4］的解析式； (3)试求 y=f(x)在［4，9］上的解析式. 参考答案 难点磁场 解法一：(换元法） ∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1 令 u=2－cosx(1≤u≤3),则 cosx=2－u ∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3) ∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4) 解法二：(配凑法） f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5 ∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即 f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4). 歼灭难点训练 一、1.解析：∵f(x)= 34 x mx . ∴f［f(x)］= 3344 34   x mx x mxm =x,整理比较系数得 m=3. 答案：A 2.解析：利用数形结合，x≤1 时，f(x)=(x+1)2－1 的对称轴为 x=－1,最小值为－1，又 y=f(x)关于 x=1 对称，故在 x>1 上，f(x)的对称轴为 x=3 且最小值为－1. 答案：B 二、3.解析：由 f(x)+2f( x 1 )=3x 知 f( x 1 )+2f(x)=3 .由上面两式联立消去 f( )可得 f(x)= x 2 －x. 答案：f(x)= x 2 －x 4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知 c=0.又 f(x+1)=f(x)+x+1, ∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1. 故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a= 2 1 ,b= ,∴f(x)= x2+ x. 答案： x2+ x 三、5.解：利用待定系数法，设 f(x)=ax2+bx+c,然后找关于 a、b、c 的方程组求解， f(x)= 17 8 7 2 2  xx . 6.解：(1)设 x∈［1,2］,则 4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x),又因为 4 是 f(x) 的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4. (2)设 x∈［0，1］，则 2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,又由(1）可知 x∈［0,2］时， f(x)=－2(x－1)2+4,设 A、B 坐标分别为(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1 ) ,则|AB|=2t,|AD|=－2t2+4,S 矩 形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令 S 矩=S，∴ 8 2S =2t2(2－t2)·(2－t2)≤( 3 222 222 ttt  )3= 27 64 , 当且仅当 2t2=2－t2,即 t= 3 6 时取等号.∴S2≤ 27 864 即 S≤ 9 616 ,∴Smax= 9 616 . 7.解：(1)如原题图，当 P 在 AB 上运动时，PA=x;当 P 点在 BC 上运动时，由 Rt△ABD PA= 2)1(1  x ;当 P 点在 CD 上运动时，由 Rt△ADP 易得 PA= 2)3(1 x ;当 P 点在 DA 上运动时，PA=4－x,故 f(x)的表达式为： f(x)=            )43( 4 )32( 106 )21( 22 )10( 2 2 xx xxx xxx xx (2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积 也有不同的方法，因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解. 如原题图，当 P 在线段 AB 上时，△ABP 的面积 S=0；当 P 在 BC 上时，即 1＜x≤2 时，S△ABP= 2 1 AB·BP= 2 1 (x－1）；当 P 在 CD 上时，即 2＜x≤3 时，S△ABP= ·1·1= ； 当 P 在 DA 上时，即 3＜x≤4 时，S△ABP= (4－x). 故 g(x)=               )43( )4(2 1 )32( 2 1 )21( )1(2 1 )10( 0 xx x xx x 8.(1)证明：∵y=f(x)是以 5 为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又 y=f(x)(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解：当 x∈［1,4］时，由题意，可设 f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由 f(1)+f(4)=0 得 a(1－ 2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得 a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4). (3)解：∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,又 y=f(x) (0≤x≤1)是一 次函数，∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,又 f(1)=k·1=k,∴k=－3.∴当 0≤x ≤1 时，f(x) =－3x,当－1≤x＜0 时，f(x)=－3x,当 4≤x≤6 时，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－ 5)= －3(x－5)=－3x+15, 6＜x≤9 时，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2 －5.∴f(x)=      )96( 5)7(2 )64( 153 2 xx xx .