【数学】2019届一轮复习苏教版直线与椭圆的问题探究学案

【数学】2019届一轮复习苏教版直线与椭圆的问题探究学案

‎【热身训练】‎ ‎1．在平面直角坐标系xOy中，已知过椭圆C ＋＝1右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P位于x轴上方)．若QF＝2FP，则点P的坐标为________．‎ 解析 由QF ＝2F P可知 ＝2，设出点P的坐标进而利用＝2求出点Q的坐标，然后将点P和Q坐标代入椭圆方程中即可求得P. ‎ ‎2．过椭圆＋y2＝1的上顶点A作斜率分别为1和－1的直线分别交椭圆于M，N两点．则直线MN与y轴交点的坐标是________．‎ 解析 由直线AM，AN分别和椭圆方程联立，即可求得M和N坐标，进而可求得MN直线方程，然后求得MN与y轴交点的坐标(0，－)．‎ ‎3．椭圆 ＋y2＝1上点处的切线的方程是________．‎ ‎ ]‎ ‎4.如图，已知椭圆C ＋y2＝1的上，下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B的直线AP，BP与直线l y＝－2分别交于点M，N.当点P运动时，以MN为直径的圆经过的定点是________．‎ 解析 设点P(x0，y0)，直线AP，BP的斜率分别为 1， 2，易得 1 2＝·＝＝－.所以AP的方程为y＝ 1x＋1，BP的方程为y＝ 2x－1＝－x－1，所以M，N(4 1，－2)，则以MN为直径的圆的方程为(x－4 1)＋(y＋2)2＝0.即x2＋y2＋x＋4y－8＝0，所以.所以MN为直径的圆过定点(0，－2±2)． ‎ ‎【热点追踪】‎ 直线与椭圆问题一直以 ‎ 是高考的重点且位于中档题的位置，而解析几何的特点讲究方法选择，能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算．本专题对解析几何中的点分线段比问题和有关定点的综合问题加以探究，以便 生能更好的掌握解析几何.‎ ‎（一）椭圆中相关点法求直线斜率问题 例1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，且△BF1F2是边长为2的等边三角形．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎ (2)过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，C两点，记△ABF2，△BCF2的面积分别为S1，S2.若S1＝2S2，求直线l的斜率．‎ 变式1　过点P(－4,0)的直线l与椭圆C ＋＝1相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________．‎ 解析 设出点A的坐标进而利用条件求出点B的坐标，然后将点A和B坐标代入椭圆方程中即可求得A.进而可求得直线l的方程为y＝±(x＋4)．‎ 变式2　过点M(1，－1)的直线l与椭圆C ＋＝1相交于A，B两点，若点M恰好是线段AB的中点，则直线l的方程为________．[ ]‎ 解析 设出点A的坐标进而利用条件求出点B的坐标，然后将点A和B坐标代入椭圆方程中即可求得A.进而可求得直线l的方程为3x－4y－7＝0. ‎ ‎（二）椭圆中斜率的和与积求定点问题 例2. 过椭圆＋y2＝1的上顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．‎ 求证 直线MN过定点，并求出该定点坐标．‎ 变式1　过椭圆＋y2＝1的上顶点A作两条直线分别交椭圆于M，N两点，且两条直线的斜率之积为m.求证 直线MN过定点，并求出该定点坐标．‎ 解析 本题可以参照例题做法，也可以设直线MN的方程为y＝ x＋n，由韦达定理找出n， 的关系．比较两种做法，寻找每一种方法的合理性．‎ 变式2　在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,1)在椭圆C ＋＝1上．不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点(不与点P重合)，且线段AB的中点为D，直线OD的斜率为1.记直线PA，PB的斜率分别为 1， 2，求证 1 2为定值．‎ ‎（三）椭圆中切点的连线恒过定点问题 例3. 已知点P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点(长轴的端点除外)，其中a，b为常数．‎ ‎ (1)求证 直线x＋y＝1为椭圆在点P处的切线方程； ‎ ‎ (2)过椭圆的右准线上任意一点R作椭圆的两条切线，切点分别为S，T，请判断直线ST是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．‎ 变式1　已知圆 x2＋y2＝4，过直线x＝4上任意一点R作圆的两条切线，切点分别为S，T，则直线ST恒过的定点为________．‎ 解析 设点S(x1，y1)，T(x2，y2)．易得点S处的切线方程为x1x＋y1y＝4.椭圆在点T处的切线方程为x2x＋y2y＝4.设R(4，m)．所以4x1＋my1＝4,4x2＋my2＝4.所以ST的方程为4x＋my＝4.所以直线ST经过定点为(1,0)． ‎ 变式2　椭圆C ＋y2＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆C上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P作直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设l与y轴的交点为A，过点P作与l垂直的直线m，设m与y轴的交点为B，求证 △PAB的外接圆经过定点．‎ 解析 设P(x0，y0)(y0≠0)，‎ 则直线l的方程为y－y0＝ (x－x0)．‎ ‎【乘热打铁】‎ ‎1．已知椭圆C ＋＝1的上顶点为A，直线l y＝ x＋m交椭圆于P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为 1， 2.‎ ‎(1)若m＝0时，求 1· 2的值；‎ ‎(2)若 1· 2＝－1时，证明直线l y＝ x＋m过定点．[ ]‎ 解 (1)当m＝0时，直线l y＝ x代入椭圆C ＋＝1的方程，‎ 得到x2＋2 2x2＝4，解得P，‎ Q，‎ 所以 1＝＝，‎ ‎2．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E ＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)若点A，B分别是椭圆E的左，右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M.‎ ‎(ⅰ)设直线OM的斜率为 1直线BP的斜率为 2，求证 1 2为定值；‎ ‎ (ⅱ)设过点M垂直于BP的直线为m.求证 直线m过定点，并求出定点的坐标．[ ]‎ 解 (1)由题意得2c＝2，所以c＝1，又＋＝1，消去a可得，2b4－5b2－3＝0，解得b2＝3或b2＝‎