【数学】新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【数学】新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年 高二下学期期中考试（理） ‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页。答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在答题卡上。‎ ‎2．作答非选择题时须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.若给出演绎推理的“三段论”:‎ 大前提:若直线平行于平面,则平行于平面内所有的直线.‎ 小前提:已知直线b∥平面α,直线a⊂平面α.‎ A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 ‎3.物体的运动方程为s=则此物体在t=1时的瞬时速度为 (　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎4．已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（ ）‎ A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆 ‎5．设函数在处存在导数为2，则（ ）‎ A． B．6 C． D．‎ ‎6．两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图L2-1-2中实心点的个数5,9,14,20,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2017项为a2017,则a2017=(　　)‎ 图L2-1-2‎ A. 1009×2017 B. 1008×2021 C. 1009×2021 D. 1008×2017‎ ‎7．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（　）‎ A．增加了一项 B．增加了两项 C．增加了两项，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 ‎8.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取得极大值,则c的值为 (　　)‎ A. 2 B. 6 C. 4 D. -4‎ ‎9.已知p=a+(a>2),q=x2+4x(x>0),则 (　　) ‎ A. p>q B. p0,所以当x≤0时，显然成立.‎ 当x＞0时，，‎ 所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.‎ 所以，所以a＜e,所以正整数的最大值为2.故答案为2‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.解:(1)方法一:|z|====.‎ 方法二:z====-+i,∴ |z|==.‎ ‎(2)将2-3i代入方程x2+px+q=0中,得到(-5+2p+q)-(12+3p)i=0,‎ ‎∴ -5+2p+q=0且12+3p=0,解得p=-4,q=13.‎ ‎18.解:(1)f'(x)=3x2-2bx+2c,‎ ‎∵ f'(x)的图像关于直线x=2对称,∴=2,解得b=6.‎ ‎(2)由(1)可知,f(x)=x3-6x2+2cx,‎ f'(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,‎ 当2c -12≥0,即c≥6时, f'(x)≥0, 此时函数f(x)无极值.‎ ‎19.证明:(1)要证->-,‎ 只需证+>+,‎ 只需证(+)2>(+)2,‎ 即证2a+9+2>2a+9+2,‎ 即证>,‎ 只需证(a+5)(a+4)>(a+6)(a+3),即证20>18,‎ ‎∵上式显然成立,∴原不等式成立.‎ ‎(2)假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, ∴ a+b+c≤0,‎ 而a+b+c=+(y2-2z+ )+(z2-2x+ )‎ ‎=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π ‎=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,‎ ‎∴ a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,故假设是错误的.‎ 故a,b,c中至少有一个大于0.‎ ‎20.(1)圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，两边同时乘ρ，得ρ2＝2ρcosθ，又ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以有x2＋y2＝2x，于是圆C在直角坐标系下的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意得θ＝，设P(，θ)，Q(，θ)，由圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ得＝，‎ 由直线l的极坐标方程2ρsin＝6 得＝3 ，从而|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2 .‎ ‎21.【解析】（1）∵ a＝1，∴ f（x）＝x2－4x＋2lnx，‎ ‎∴ f ′（x）＝（x>0），f（1）＝－3，f ′（1）＝0，所以切线方程为y＝－3．‎ ‎（2）f ′（x）＝（x>0），‎ 令f ′（x）＝0得x1＝a，x2＝1，‎ 当00，在x∈（a，1）时，f ′（x）<0，∴ f（x）的单调递增区间为（0，a）和（1，＋∞），单调递减区间为（a，1）；‎ 当a＝1时，f ′（x）＝≥0，∴ f（x）的单调增区间为（0，＋∞）；‎ 当a>1时，在x∈（0，1）或x∈（a，＋∞）时，f ′（x）>0，在x∈（1，a）时，f ′（x）<0，∴ f（x）的单调增区间为（0，1）和（a，＋∞），单调递减区间为（1，a）．‎ ‎22.（1）令，；‎ 令，， ‎ 令，解得，令，解得， ‎ 则函数在上单调递增，在上单调递减，．‎ 要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点．‎ 则，即实数的取值范围为． ‎ ‎（2） ；‎ 设，； ‎ 设，，则在上单调递增. ‎ 又，.，使得，即，. ‎ 当时，；当时，； ‎ 在上单调递增，在上单调递减. ‎ ‎.‎ 设，.‎ 当时，恒成立，则在上单调递增，‎ ‎，即当时，. ‎ 当时，关于的不等式在上恒成立.‎