高二数学人教a必修5章末检测：第三章不等式word版含解析
章末检测
一、选择题
1．设 a，b，c，d∈R，且 a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )
A．ac>bd B．a－c>b－d
C．a＋c>b＋d D.a
d>b
c
答案 C
解析 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
2．设 M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M >N B．M ≥N C．M
0.∴M >N.
3．不等式 x2－ax－12a2<0(其中 a<0)的解集为( )
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a) C．(－3,4) D．(2a,6a)
答案 B
解析 方程 x2－ax－12a2＝0 的两根为 4a，－3a，
且 4a<－3a，∴4a0，
－m－2
2
>2，
解得：
m2≥16，
m>－5，
m<－2.
⇒－50，n>0.
故 m＋n≥2 mn≥2 34＝18，当且仅当 m＝n＝9 时取到最小值．
所以 m＋n 的最小值为 18.
7．在△ABC 中，三顶点分别为 A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点 P(x，y)在△ABC 内部及其边界
上运动，则 m＝y－x 的取值范围为( )
A．[1,3] B．[－3,1] C．[－1,3] D．[－3，－1]
答案 C
解析 直线 m＝y－x 斜率 k1＝1＞kAB＝2
3
，
∴经过 C 时 m 最小为－1，经过 B 时 m 最大为 3.
8．已知 a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的 x 的取值范围是( )
A. 0， 1
a1 B. 0， 2
a1 C. 0， 1
a3 D. 0， 2
a3
答案 B
解析 由(1－aix)2<1，得 1－2aix＋(aix)2<1，
即 aix(aix－2)<0.又 a1>a2>a3>0，
∴0 2
a2
> 2
a1
>0，
∴03 时，求函数 y＝ 2x2
x－3
的值域．
解 ∵x>3，∴x－3>0.
∴y＝ 2x2
x－3
＝2x－32＋12x－3＋18
x－3
＝2(x－3)＋ 18
x－3
＋12≥2 2x－3· 18
x－3
＋12＝24.
当且仅当 2(x－3)＝ 18
x－3
，
即 x＝6 时，上式等号成立，
∴函数 y＝ 2x2
x－3
的值域为[24，＋∞)．
16．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0 的解集是{x|－30；
(2)b 为何值时，ax2＋bx＋3≥0 的解集为 R.
解 (1)由题意，知 1－a<0 且－3 和 1 是方程(1－a)x2－4x＋6＝0 的两根，∴
1－a<0，
4
1－a
＝－2
6
1－a
＝－3
，
解得 a＝3.
∴不等式 2x2＋(2－a)x－a>0
即为 2x2－x－3>0，解得 x<－1 或 x>3
2.
∴所求不等式的解集为 x|x<－1 或 x>3
2 .
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为 3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为 R，则 b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
17．已知 f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当 x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围．
解 法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为 x＝a.
①当 a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a，
即 2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由 2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求 a 的取值范围为－3≤a≤1.
法二 令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得
x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或
Δ>0，
a<－1，
g－1≥0.
解得－3≤a≤1.
18．某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3 千元，2 千元．甲、乙产品
都需要在 A，B 两种设备上加工，在每台 A，B 上加工一件甲产品所需工时分别为 1 时、2 时，
加工一件乙产品所需工时分别为 2 时、1 时，A、B 两种设备每月有效使用工时分别为 400 和
500.如何安排生产可使月收入最大？
解 设甲、乙两种产品的产量分别为 x，y 件，约束条件是
x＋2y≤400
2x＋y≤500
x≥0，y≥0
，目标函数是 f＝3x＋2y，要求出适当的 x，y 使 f＝3x＋2y 取得最大值．
作出可行域，如图．
设 3x＋2y＝a，a 是参数，将它变形为 y＝－3
2x＋a
2
，
这是斜率为－3
2
，随 a 变化的一组直线．
当直线与可行域相交且截距a
2
最大，即过 A 点时，
目标函数 f 取得最大值．由 x＋2y＝400，
2x＋y＝500
得 x＝200，
y＝100.
因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为 200,100 件时，可得最大收入 800 千元．
