【数学】2020届一轮复习人教B版（理）41推理与证明作业
天天练 41 推理与证明
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一、选择题
1．[2019·重庆马蜀月考]用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c，d中恰有一个偶数”时正确的假设为( )
A．自然数a，b，c，d都是奇数
B．自然数a，b，c，d都是偶数
C．自然数a，b，c，d中至少有两个偶数
D．自然数a，b，c，d中至少有两个偶数或都是奇数
答案：D
解析：反证法证明命题时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c，d中至少有两个偶数或都是奇数．
2．要证明＋<2可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．归纳法
答案：B
解析：综合法一般由已知条件和某些定义、定理等入手开始证明，分析法是从所要证明的结论入手寻找使其成立的条件，反证法一般先假设原命题不成立，然后得出矛盾，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，知本题的证明适合采用分析法．
3．[2019·洛阳模拟]下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数
B．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数
C．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数
D．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数
答案：B
解析：A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C、D都不正确，只有B正确，故选B.
4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
答案：B
解析：本题考查数学归纳法．依题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2，故选B.
5．[2019·大连调研]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )
A．21 B．34
C．52 D．55
答案：D
解析：由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.故选D.
6．[2019·安徽联考]某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( )
A．B，D两镇 B．A，B两镇
C．C，D两镇 D．A，C两镇
答案：C
解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；
若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.
7．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为1＋3＋32＋2＋2×3＋2×32＋22＋22×3＋22×32＝(1＋2＋22)(1＋3＋32
)＝91.参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为( )
A．435 B．465
C．478 D．496
答案：B
解析：类比得到36的所有正约数之和的方法知，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.
8．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数组成，从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )
2 017 2 016 2 015 2 014 ……6 5 4 3 2 1
4 033 4 031 4 029…………11 9 7 5 3
8 064 8 060………………20 16 12 8
16 124……………………36 28 20
…………………………
A．2 017×22 016 B．2 018×22 015
C．2 017×22 015 D．2 018×22 016
答案：B
解析：由题意知第1行的最后一个数为2×2－1，
第2行的最后一个数为3×20，
第3行的最后一个数为4×21，
……
第n行的最后一个数为(n＋1)×2n－2，
表中最后一行仅有一个数，则这个数是2 018×22 015.
二、非选择题
9．[2019·河北唐山一中调研]用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增加的代数式为________．
答案：2(2k＋1)
解析：首先写出当n＝k时和n＝k＋1时等式左边的式子．
当n＝k时，左边等于(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)…(2k)，①
当n＝k＋1时，左边等于(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，②
∴从n＝k到n＝k＋1的证明，左边需增加的代数式是由得到＝2(2k＋1)．
10．[2019·吉林长春质检]有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．
答案：8月4日
解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．
11．[2019·河北联考]在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是________．
答案：3 972
解析：由题意可设第1组的数为1，
第2组的数为2,4，
第3组的数为5,7,9，
……
所以第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n项和公式，可知前n组共有个数．由于2 016＝<2 018<＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9……第n组最后一个数是n2，因此，第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.
12．[2019·河南商丘实验中学模拟]如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．
答案：＝＝
解析：类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想＝＝成立．
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一、选择题
1．[2019·黑龙江哈尔滨模拟]用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
答案：C
解析：要证0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故选C.
6．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
答案：A
解析：四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.
7．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆的面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故＝.
8．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.
②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，且方程x2＋ax＋b＝0有两个根，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程的两根的绝对值不都小于1.以下结论正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①的假设正确，②的假设错误
C．①与②的假设都正确
D．①的假设错误，②的假设正确
答案：D
解析：对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；易知②中的假设正确，故选D.
二、非选择题
9．[2019·四川成都七中模拟]如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来的，n∈N*，则在第n个图形中共有________个顶点．(用n表示)
答案：(n＋2)(n＋3)
解析：第n个图形是在第(n＋2)边形的基础上每条边加上n＋2个顶点，因此顶点个数为(n＋2)＋(n＋2)(n＋2)＝(n＋2)(n＋3)．
10．[2019·山东日照模拟]有下列各式：1＋＋>1,1＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________.
答案：1＋＋＋…＋>(n∈N*)
解析：观察各式左边为的和的形式，项数分别为3,7,15，…，∴可猜想第n个式子中左边应有2n＋1－1项，不等式右边分别写成，，，…，∴猜想第n个式子中右边应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1＋＋＋…＋>(n∈N*)．
11．[2019·江西临川月考]观察下列等式
1＝1； 第一个等式
2＋3＋4＝9; 第二个等式
3＋4＋5＋6＋7＝25; 第三个等式
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49; 第四个等式
照此规律下去…
(1)写出第5个等式；
(2)你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明你的猜想．
解析：(1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.
(2)猜测第n个等式为
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
证明：①当n＝1时显然成立；
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时也成立，
即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2，
那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2，
而右边＝[2(k＋1)－1]2，也就是说n＝k＋1时等式也成立．
根据①②知，等式对任何n∈N*都成立．
