2017-2018学年山东省济宁市微山一中、邹城一中高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年山东省济宁市微山一中、邹城一中高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省济宁市微山一中、邹城一中高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若复数，则其虚部为（ ）‎ A. -1 B. 2 C. -2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用复数的运算法则进行求解．‎ 详解：因为，‎ 所以复数的虚部为2.‎ 点睛：本题考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎2．设函数（为自然对数的底数）.若，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用函数的求导法则求导，再代值求导．‎ 详解：因为，‎ 所以数，‎ 若，所以1‎ 点睛：本题考查导数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎3．已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形. ①、②、③组合成“三段论”.根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（ ）‎ A. 正方形是平行四边形 B. 平行四边形的对角线相等 C. 正方形的对角线相等 D. 以上均不正确 ‎【答案】C ‎【解析】分析：理解三段论的大前提、小前提、结论，结合题意即可得到相应的结论．‎ 详解：大前提：②平行四边形的对角线相等；‎ 小前提：①正方形的对角线相等；‎ 结论：③正方形是平行四边形．‎ 点睛：本题考查三段论的有关知识，解决本题的关键是区分大前提、小前提、结论．‎ ‎4．函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】A ‎【解析】分析：先由导函数的图像分析、判断得出原函数的单调性，在由此得到函数在区间内极小值点的个数．‎ 详解：由导函数的图像可知：原函数先增再减再增再减，所以由此可知函数在区间内有1个极小值点.‎ 点睛：本题考查导数在研究函数极值中的作用，解决本题的关键是由导函数的图像得到原函数的单调性，进而判断出函数的极值，意在考查学生的分析、判断能力．‎ ‎5．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（ ）‎ A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项.‎ 详解：因为，‎ 所以当，‎ 当，‎ 所以由变到时增加的项数为.‎ 点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，‎ ‎，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．‎ ‎6．给出下列两个论断：‎ ‎①已知：，求证：；用反证法证明时，可假设.‎ ‎②设为实数，，求证：与中至少有一个不小于；用反证法证明时可假设且.‎ 以下说法正确的是（ ）‎ A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确 ‎【答案】C ‎【解析】①用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以的假命题应为，故①的假设正确；②与中至少有一个不小于的否定为与中都小于，故②的假设错误；故选C.‎ ‎7．下列类比推理中，得到的结论正确的是（ ）‎ A. 把长方体与正方体类比，则有长方体的对角线平方等于长、宽、高的平方和 B. 把与类比，则有 C. 向量，的数量积运算与实数，的运算性质类比，则有 D. 把与类比，则有 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据类比推理的有关内容以及已有的知识，分析每个选项的正误．‎ 详解：B项的结论应该是 ，C项的结论应该是 D.‎ 点睛：1.类比推理的一般步骤：‎ ‎①找出两类事物之间的相似性或一致性；‎ ‎②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得到一个明确的猜想．‎ ‎2.在类比时，往往是由加法类比到乘法、由减法类比到除法、由算术平均数类比到几何平均数等.‎ ‎8．函数（为自然对数的底数）的递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,由于恒成立,所以当时,,则增区间为. ,故选择D.‎ ‎9．如图所示，阴影部分的面积为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求区间上对应的阴影部分的面积，再求区间上对应的阴影部分的面积，最后求和即可．‎ 详解：‎ ‎=.‎ 点睛：本题考查定积分的应用，意在考查学生的计算能力．‎ ‎10．函数在上的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵在定义域上，∴，令，解得或；当时， ， 为减函数；当时， ， 为增函数；∴在上取极小值，也是最小值，∴；故选A.‎ ‎11．2018年4月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成绩之和.那么四人的成绩最高的是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由甲+乙=丙+丁，乙+丁甲+丙，甲乙+丙,可得相应结论．‎ 详解：因为甲、乙的成绩和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，‎ ‎ 所以甲+乙=丙+丁，乙+丁甲+丙，‎ ‎ 即丁甲，‎ 又因为甲的成绩大于乙、丙成绩之和，‎ 所以甲乙+丙，‎ 所以丁甲乙+丙，所以丁的成绩最高.‎ 点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，对于复杂的逻辑关系，可以采用解不等式的方式，以便于我们理清多个量中的逻辑关系.‎ ‎12．已知是定义在上的函数，其导函数满足（，为自然对数的底数），则（ ）‎ A. ，‎ B. ，‎ C. ，‎ D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由条件得到函数的单调性，进而判断出结论．‎ 详解：，则；‎ 因为,所以；‎ 所以函数在上是减函数；‎ 所以，即，.‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生的分析、综合应用能力． 解决本题的关键是由条件得到原函数的模型，‎ 这也是解决问题的难点，这也是解决一类问题的常见技巧，许多问题运用这种技巧可以使得问题简洁明了.‎ 二、填空题 ‎13．设复数满足（为虚数单位），则的值为__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：由条件得到复数的代数形式，即可求得复数模长.‎ 详解：因为，所以==，‎ 所以 点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力． ‎ ‎14．已知力（为自然对数的底数）且和轴正方向相同.若力作用在质点上，并从点处运动到处，则对质点所做的功是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：对函数在区间上求定积分，即可求出对质点所做的功.‎ 详解：由题意可得：对质点所做的功为 ‎.‎ 点睛：本题考查定积分的应用，属于基础题． ‎ ‎15．设函数在上是增函数，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：函数的导函数在上大于等于0恒成立，‎ 即恒成立，由此可得实数的取值范围.‎ 详解：因为，所以恒成立；‎ 即恒成立；‎ 所以，所以.‎ 点睛：本题考查导数的综合应用，属于中档题．处理这类问题一般步骤是：‎ ‎1、先求导数，根据条件确定导函数的正负；‎ ‎2、分离参量构造函数，求构造新函数的最大，最小值；‎ ‎3、根据条件得出参量的取值范围.‎ ‎16．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦曼德尔布罗特（ ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照分型的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是__________．‎ ‎【答案】21.‎ ‎【解析】分析：根据图形分析相邻两行黑圆、空心圆的个数关系，得到两者间的关系，逐步计算得出第10行的空心圆的个数.‎ 详解：根据图中的分形规律可知，1个空心圆分形为1个黑圆，1个黑圆分形为1个空心圆1个黑圆，白球个数记为点的横坐标，黑圆个数记为纵坐标，所以第一行记为（1，0），第二行记为（0，1），第三行记为（1，1），第四行记为（1，2）；第五行记为（2，3）∴由此可以归纳出下一行的空心圆个数就是上一行的黑圆的个数，下一行的黑圆的个数就是上一行的黑圆、空心圆的个数和，所以由此可得第10行的空心圆的个数是21.‎ 点睛：本题考查归纳推理的应用，属于中档题．归纳推理的一般步骤: ‎ ‎1、观察前面的发现相同的规律. ‎ ‎2、从归纳出的规律中推出一个一般性的结论.‎ ‎3、解决此类问题时，需要仔细观察，寻找相邻项间的关系，同时还要联系已有的知识，如数列.‎ 三、解答题 ‎17．已知复数.（，为虚数单位）.‎ ‎（Ⅰ）若是纯虚数,求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，设，试求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先把复数整理成的形式，由虚部等于0得到实数的值；‎ ‎（Ⅱ）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出。‎ 详解：（Ⅰ）若是纯虚数，则，‎ 解得.‎ ‎（Ⅱ）若，则. ‎ ‎∴ ‎ ‎， ‎ ‎∴，，∴. ‎ 点睛：本题考查纯虚数和复数相等的概念，以及复数的四则运算。对于复数要掌握常规运算技巧和常规思路，其次要熟记复数 的实部、虚部、模、几何意义、共轭复数等知识点．‎ ‎18．已知，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，试求函数的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析.‎ ‎（Ⅱ）1.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据要证的不等式，构造形式，利用基本不等式即可证明；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，即可求得函数的最小值.‎ 详解：（Ⅰ）证明：【法一】∵，，‎ ‎∴， ‎ 当且仅当时等号成立． ‎ ‎∴（当且仅当时等号成立）. ‎ ‎【法二】∵， ，∴要证 ， ‎ 只需证， ‎ 只需证，‎ 只需证，‎ 即证，‎ 即证，显然，对于总成立. ‎ ‎∴成立. ‎ ‎（Ⅱ）解：由于，‎ 可将看作（Ⅰ）中的，看作（Ⅰ）中的.‎ 依据（Ⅰ）的结论，则有 ， ‎ 当且仅当，即时，等号成立. ‎ 所以，所求函数的最小值为．‎ 点睛：利用基本不等式证明不等式、求最值时应注意基本步骤和应用的条件：‎ 一正、二定、三相等．这类问题一般有一定的技巧性，需要构造出符合要求的基本形式，这是解决这类问题的关键，但也是问题的难点。‎ ‎19．我市大学生创业孵化基地某公司生产一种“儒风邹城”特色的旅游商品.该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元；设该公司年内共生产该旅游商品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且满足函数关系：.‎ ‎（Ⅰ）写出年利润（万元）关于该旅游商品（千件）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在该旅游商品的生产中所获年利润最大？‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）当 时， 取得最大值.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据题意计算生产该旅游商品千件需要的成本，然后用销售收入减去成本即可得到年利润；（Ⅱ）求出每段函数的最大值，再比较两者的大小关系，较大的即为年最大利润。‎ 详解：（Ⅰ）依题意，知当时，，‎ 当时， ‎ ‎∴. ‎ ‎（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）得 ‎ 令，得. ‎ ‎∴当时，；当时， ，‎ ‎∴当时，有 ‎ ‎②当时， ‎ 当且仅当，即时， . ‎ 综合①、②知，当时，取得最大值. ‎ 即当年产量为千件时，该公司在该旅游商品生产中获得的年利润最大 点睛：本题考查函数在实际中的应用，着重考查分析问题、解决问题的能力。‎ 对于函数的应用问题需要注意的是：‎ ‎1、题干较长，理解题意、把实际问题转化成数学问题有一定难度；‎ ‎2、有时候不注意函数的定义域、以及自变量取值是否为整数。‎ ‎20．已知数列满足：，.‎ ‎（Ⅰ）试求数列，，的值；‎ ‎（Ⅱ）请猜想的通项公式，并运用数学归纳法证明之.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ， ， . ‎ ‎（Ⅱ），证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）结合条件令即可求出，，的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）归纳出数列的通项公式，先验证当时成立，再假设当时成立，最后证明当时成立。‎ 详解：（Ⅰ）由题意，得，，. ‎ ‎（Ⅱ）依据（Ⅰ），得， ，，‎ 由此猜想. ‎ 下面用数学归纳法证明之： ‎ 当 时，，结论成立； ‎ 假设时，结论成立，即有， ‎ 则对于时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴当时，结论成立.‎ 综上，可得对， 成立 点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：‎ ‎1、第一步：归纳奠基（即验证时成立）；‎ 第二步：归纳递推（即假设时成立，验证时成立）； ‎ ‎3、两个条件缺一不可，在验证时成立时一定要用到归纳假设时的结论，最后得到的形式应与前面的完全一致。‎ ‎21．已知：，其中为自然对数的底数，.‎ ‎（Ⅰ）试猜想与的大小关系；‎ ‎（Ⅱ）请对你得出的结论写出证明过程.‎ ‎【答案】（Ⅰ） 对一切 成立.‎ ‎（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）对在相应的范围内取值检验与的大小关系，猜想结论；（Ⅱ）对要证明的结论用分析法化简得到，由此构造函数，通过函数的单调性即可得到相应结论 详解：（Ⅰ）依题意，取，，得，即有；‎ 取，时，有，∴；‎ 取，时，，.‎ 又， ，‎ ‎∴ ，‎ 此时有.‎ 由此猜测对一切成立. ‎ ‎（Ⅱ）证明：要证对一切成立，‎ 只需证， ‎ 即证. ‎ 设函数，. ‎ ‎∴，当时，恒成立，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ 又，∴，即，‎ 故有.‎ 点睛：比较大小的常用方法：‎ ‎（1）作差法：作差法的关键是变形，变形时经常用到的方法有通分、配方、因式分解等方法把差式变成几个代数式乘积的形式。‎ ‎(2)作商法：‎ 其中关键是判断商与1的大小．‎ ‎(3)特值法：‎ 选择、填空题可以用特值比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或 作商法判断．‎ ‎22．已知函数，，，为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在上存在零点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处的切线方程为.求证：对任意的，总有.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）首先利用导数判断函数的单调性，然后由此求出函数的最小值，只要最小值小于0即可求出实数的取值范围；（Ⅱ）首先由条件得出的值确定函数解析式，然后由得到，最后构造前后两个函数，验证前一个函数的最小值大于后一个函数的最大值。‎ 详解：（Ⅰ）易得. ‎ 若，有，不合题意；‎ 若，有，‎ ‎，满足题设； ‎ 若，令，得 ‎ ‎∴在上单调递减；在单调递增，‎ 则，∴. ‎ 又满足题设， ‎ 综上所述，所求实数. ‎ ‎（Ⅱ）证明：易得，，‎ 则由题意，得，解得.‎ ‎∴，从而，即切点为. ‎ 将切点坐标代入中，解得. ∴. ‎ 要证，即证（ ，‎ 只需证 ）.‎ 令， . ‎ 则由，得，‎ ‎∴在上单调递减；在上单调递增，‎ ‎∴. ‎ 又由，得 ‎ ‎∴在上单调递增；在上单调递减，‎ ‎∴. ‎ ‎∴，‎ 显然，上式的等号不能同时取到.‎ 故对任意的，总有.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归、分类讨论的思数学想。这也是这类题在高考中经常出现、着重考查的内容，应当引起重视。‎ 在第一问中关键在于利用分类讨论的思想得出函数的最小值；‎ 在第二问中关键是确定函数解析式后，在原来形式的基础上构造性的函数 ‎ ，，通过研究新函数的最值来得的大小关系。‎