浙江省2021届高考数学一轮复习第七章数列数学归纳法第2节数列的通项公式课件

浙江省2021届高考数学一轮复习第七章数列数学归纳法第2节数列的通项公式课件

第 2 节　数列的通项公式 考试要求　 会求简单数列的通项公式 . 知 识 梳 理 1 . 归纳法： 寻找数列的项与序号之间的规律 . 2 . 公式法： 利用等差、等比数列的通项公式 . 4 . 递推公式法： 如果数列 { a n } 的第 n 项与它前一项 ( 或前几项 ) 的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式 . 数列的递推公式包含两个部分，一是递推关系，二是初始条件 . 此类型一般用累加 ( 乘 ) 法、叠代法、或构造新数列解决 . 5. 由 f ( a n ， S n ) ＝ 0 ，求 a n . 一般用转化法，即项 a n 和 S n 互化 . [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 由 S n ＝ f ( n ) 求 a n 时，需检验 n ＝ 1 的情况 . 2. 由递推公式求通项公式时，注意构造新数列 . 3. 由 f ( a n ， S n ) ＝ 0 求 a n 时，注意利用变量 n . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 给出数列的前几项，写出的通项公式可能不唯一 .( 　　 ) (2) a n ＝ S n ＋ 1 － S n ( n ∈ N * ).( 　　 ) (3) 利用递推公式和初始项的值，应该能推出数列的其余各项 .( 　　 ) (4) 若数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ＋ n ＋ 1 ，则 a n ＝ 2 n .( 　　 ) 答案　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) × 2. 设数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ，则 a 8 的值为 ( 　　 ) A.15 B.16 C.49 D.64 解析　 当 n ＝ 8 时， a 8 ＝ S 8 － S 7 ＝ 8 2 － 7 2 ＝ 15. 答案　 A 答案　 C 4. ( 必修 5P33A5 改编 ) 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 a n ＝ ________. 解析　 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 6 ＝ 1 ＋ 5 ＝ 1 ＋ 5 × (2 － 1) ， a 3 ＝ 11 ＝ 1 ＋ 5 × 2 ＝ 1 ＋ 5 × (3 － 1) ， a 4 ＝ 16 ＝ 1 ＋ 5 × 3 ＝ 1 ＋ 5 × (4 － 1) ， ∴ a n ＝ 1 ＋ 5 × ( n － 1) ＝ 5 n － 4. 答案　 5 n － 4 5. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2 ，且对任意的 m ， n ∈ N * 有 a m ＋ n ＝ a m · a n ，则 a 6 ＝ ________. 答案　 64 6. (2020· 北京朝阳区一模 ) 等比数列 { a n } 满足如下条件： ① a 1 >0 ； ② 数列 { a n } 的前 n 项和 S n <1. 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 ________. 考点一　由数列的前几项求数列的通项 解　 (1) 偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式 ( － 1) n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6 ，故数列的一个通项公式为 a n ＝ ( － 1) n (6 n － 5). 规律方法　 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1) 分式中分子、分母的各自特征； (2) 相邻项的联系特征； (3) 拆项后的各部分特征； (4) 符号特征 . 应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想 . 解析　 (1) 注意到分子 0 ， 2 ， 4 ， 6 都是偶数，对照选项排除即可 . 考点二　根据 S n 与 a n 的关系求通项公式 a n 角度 1 　由 S n ＝ f ( n ) 求 a n 【例 2 － 1 】 (1) 若数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 3 n 2 － 2 n ＋ 1 ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________. (2) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 3 n ＋ 1 ，则数列的通项公式 a n ＝ ________. 解析　 (1) 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 3 × 1 2 － 2 × 1 ＋ 1 ＝ 2 ； 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 3 n 2 － 2 n ＋ 1 － [3( n － 1) 2 － 2( n － 1) ＋ 1] ＝ 6 n － 5 ，显然当 n ＝ 1 时，不满足上式 . 多维探究 (2) 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 3 ＋ 1 ＝ 4 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 3 n ＋ 1 － 3 n － 1 － 1 ＝ 2·3 n － 1 . 显然当 n ＝ 1 时，不满足上式 . 规律方法　 由 S n ＝ f ( n ) 求 a n 时，先分 n ＝ 1 ， n ≥ 2 两种情况讨论，然后看能否合并成统一表达式 . 角度 2 　由 f ( a n ， S n ) ＝ 0 消去 a n 型 规律方法　 由 a n ＝ S n － S n － 1 ( n ≥ 2) 消去 a n ，得到 S n 的递推式，进而解出 S n 的表达式，再求 a n . 【训练 2 － 2 】 (2020· 上海嘉定区质检 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 ＝ 1 ， 2 S n ＝ a n a n ＋ 1 ( n ∈ N * ) ，则 a n ＝ ________. 解析　 由 2 S n ＝ a n a n ＋ 1 可知 2 S n － 1 ＝ a n － 1 a n ( n ≥ 2) ，两式相减得 2 a n ＝ a n a n ＋ 1 － a n － 1 a n ＝ a n ( a n ＋ 1 － a n － 1 ) ，因为 a 1 ＝ 1 ，所以 a n ≠ 0 ， 2 ＝ a n ＋ 1 － a n － 1 ，又因为 a 1 ＝ 1 ， 2 S 1 ＝ a 1 a 2 ，所以 a 2 ＝ 2 ，结合 a n ＋ 1 － a n － 1 ＝ 2 ，所以 a n － a n － 1 ＝ 1 ，数列 { a n } 是以 1 为公差， 1 为首项的等差数列，所以 a n ＝ n . 答案　 n 规律方法　 由 f ( a n ， S n ) ＝ 0 得出 f ( a n － 1 ， S n － 1 ) ＝ 0 ，两式相减得到数列递推公式求解 . 【训练 2 － 3 】 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ 1 ， n ∈ N * ，求数列 { a n } 的通项公式 . 解　 因为 a n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ 1 ，当 n ≥ 2 时， a n ＝ 2 S n － 1 ＋ 1 ， 两式相减得 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 a n ，即 a n ＋ 1 ＝ 3 a n ， 又 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 S 1 ＋ 1 ＝ 3 ， 考点三　由数列的递推公式求通项公式 多维探究 ＝ n ·2 n . 角度 2 　 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q 与 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ f ( n ) 型 【例 3 － 2 】 在数列 { a n } 中， (1) 若 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 3 ，则通项公式 a n ＝ ________. (2) 若 a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 2 n ＋ 1 ，则通项公式 a n ＝ ________. 解析　 (1) 设递推公式 a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 3 可以转化为 a n ＋ 1 ＋ t ＝ 2( a n ＋ t ) ，即 a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ t ，解得 t ＝ 3. 故 a n ＋ 1 ＋ 3 ＝ 2( a n ＋ 3). 所以 { b n } 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列 . ∴ b n ＝ 4 · 2 n － 1 ＝ 2 n ＋ 1 ， ∴ a n ＝ 2 n ＋ 1 － 3. 答案　 (1)2 n ＋ 1 － 3 　 (2) n ·2 n 规律方法　 (1) 形如 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q 的递推关系式可以化为 ( a n ＋ 1 ＋ x ) ＝ p ( a n ＋ x ) 的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量 x 是关键 . (2) 求满足 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ f ( n )( p 是非零常数 ) 的数列 { a n } 的通项公式，可先在两边同除以 f ( n ) 后再用累加法求得 . 解析　 (1) 由题意知 a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 2( a n ＋ 1) ， ∴ 数列 { a n ＋ 1} 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 n ， ∴ a n ＝ 2 n － 1. 解析　 (1) 由 a n ＋ 2 ＋ 2 a n － 3 a n ＋ 1 ＝ 0 ， 得 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ 2( a n ＋ 1 － a n ) ， ∴ 数列 { a n ＋ 1 － a n } 是以 a 2 － a 1 ＝ 3 为首项， 2 为公比的等比数列， ∴ a n ＋ 1 － a n ＝ 3 × 2 n － 1 ， ∴ n ≥ 2 时， a n － a n － 1 ＝ 3 × 2 n － 2 ， … ， a 3 － a 2 ＝ 3 × 2 ， a 2 － a 1 ＝ 3 ， 将以上各式累加得 a n － a 1 ＝ 3 × 2 n － 2 ＋ … ＋ 3 × 2 ＋ 3 ＝ 3(2 n － 1 － 1) ， ∴ a n ＝ 3 × 2 n － 1 － 2( 当 n ＝ 1 时，也满足 ). 解得 x ＝－ 3 或 1. 当 x ＝－ 3 时，得 a n ＋ 2 － 3 a n ＋ 1 ＝－ ( a n ＋ 1 － 3 a n ) ，所以 { a n ＋ 1 － 3 a n } 是首项为－ 13 、公比为－ 1 的等比数列，得 a n ＋ 1 － 3 a n ＝－ 13·( － 1) n － 1 . 令 4 p － 4 － p 2 ＝ 0 ，得 p ＝ 2 ， 求数列的通项公式 【例题】 ( 满分 15 分 )(2018· 浙江卷 ) 已知等比数列 { a n } 的公比 q >1 ，且 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 28 ， a 4 ＋ 2 是 a 3 ， a 5 的等差中项 . 数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 1 ，数列 {( b n ＋ 1 － b n ) a n } 的前 n 项和为 2 n 2 ＋ n . (1) 求 q 的值； (2) 求数列 { b n } 的通项公式 . 审题路线图 满分解答 解 　 (1) 由 a 4 ＋ 2 是 a 3 ， a 5 的等差中项得 a 3 ＋ a 5 ＝ 2 a 4 ＋ 4 ， 所以 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 3 a 4 ＋ 4 ＝ 28 ，解得 a 4 ＝ 8. (2) 设 c n ＝ ( b n ＋ 1 － b n ) a n ，数列 { c n } 前 n 项和为 S n . [ 构建模板 ] 解　 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q . 故 a n ＝ 4 ＋ ( n － 1) × 3 ＝ 3 n ＋ 1 ， b n ＝ 6 × 2 n － 1 ＝ 3 × 2 n . 所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3 n ＋ 1 ， { b n } 的通项公式为 b n ＝ 3 × 2 n . (2) ① a 2 n ( c 2 n － 1) ＝ a 2 n ( b n － 1) ＝ (3 × 2 n ＋ 1)(3 × 2 n － 1) ＝ 9 × 4 n － 1. 所以数列 { a 2 n ( c 2 n － 1)} 的通项公式为 a 2 n ( c 2 n － 1) ＝ 9 × 4 n － 1.