高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:1-4直角三角形的射影定理 含解析

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高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:1-4直角三角形的射影定理 含解析

一、选择题 ‎1.在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,则相似三角形共有 ‎(  ).                  ‎ A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 解析 如图所示,△ACD∽△BAD,△ACD∽△BCA,‎ ‎△ABD∽△CBA,共有3对.‎ 答案 D ‎2.在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶4,则tan∠BCD的值是 ‎(  ).‎ A. B. C. D.2‎ 解析 如图所示,由射影定理得 CD2=AD·BD,‎ 又∵BD∶AD=1∶4,令BD=x,则AD=4x (x>0).‎ ‎∴CD2=AD·BD=4x2,∴CD=2x,‎ 在Rt△CDB中,tan∠BCD===.‎ 答案 C ‎3.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD=3,CD=2,则的值为 ‎(  ).‎ A. B. C. D. 解析 由题意得,CD2=AD·BD,‎ ‎∴BD=.又AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,‎ 则==,故=.‎ 答案 A ‎4.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.若BC=m,∠B=α,则AD的长为 (  ).‎ A.m sin2α B.m cos2α C.m sin αcos α D.m sin αtan α 解析 由射影定理,得AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,‎ 即m2cos2α=BD·m,m2sin2α=CD·m,‎ 即BD=mcos2α,CD=msin2α.‎ 又∵AD2=BD·DC=m2cos2αsin2α,‎ ‎∴AD=mcos αsin α.故选C.‎ 答案 C 二、填空题 ‎5.如图所示,四边形ABCD是矩形,∠BEF=90°,①②③④这四个三角形能相似的是__________.‎ 解析 因为四边形ABCD为矩形,‎ 所以∠A=∠D=90°. ‎ 因为∠BEF=90°,所以∠1+∠2=90°.‎ 因为∠1+∠ABE=90°,所以∠ABE=∠2.‎ 又因为∠A=∠D=90°,所以△ABE∽△DEF.‎ 答案 ①③‎ ‎6.(2012·陕西)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.‎ 解析 连接AD,因为AB=6,AE=1,所以BE=5,所以DE2=AE·BE=1×5=5,在Rt△BDE中,有DE2=DF·DB=5.‎ ‎ 答案 5‎ ‎7.在Rt△ABC中,∠C=90°,a-b=1,tan A=,其中a、b分别是∠A和∠B 的对边,则斜边上的高h=________.‎ 解析 由tanA==和a-b=1,‎ ‎∴a=3,b=2,故c=,∴h==.‎ 答案  ‎8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=4,‎ sin∠ACD=,则CD=________,BC=________.‎ 解析 在Rt△ADC中,AD=4,sin∠ACD==,得AC=5,又由射影定理AC2=AD·AB,得AB==.‎ ‎∴BD=AB-AD=-4=,‎ 由射影定理CD2=AD·BD=4×=9,‎ ‎∴CD=3.又由射影定理BC2=BD·AB=×,∴BC=.‎ 答案 3  三、解答题 ‎9.如图所示,AD、CE是△ABC中边BC、AB的高,AD和CE相交于点F.‎ 求证:AF·FD=CF·FE.‎ 证明 因为AD⊥BC,CE⊥AB,‎ 所以△AFE和△CFD都是直角三角形.‎ 又因为∠AFE=∠CFD,所以Rt△AFE∽Rt△CFD.‎ 所以AF∶FE=CF∶FD.‎ 所以AF·FD=CF·FE.‎ ‎10.如图所示,D为△ABC中BC边上的一点,∠CAD=∠B,若AD=6,AB=10,BD=8,求CD的长.‎ 解 在△ABD中,AD=6,AB=10,BD=8,满足AB2=AD2+BD2,∴∠ADB=90°,‎ 即AD⊥BC.‎ 又∵∠CAD=∠B,且∠C+∠CAD=90°.‎ ‎∴∠C+∠B=90°,即∠BAC=90°,‎ 故在Rt△BAC中,AD⊥BC,‎ 由射影定理知AD2=BD·CD,即62=8·CD,∴CD=.‎ ‎11.(拓展深化)如图,已知Rt△ABC的周长为‎48 cm,一锐角平分线分对边为3∶5两部分.‎ ‎(1)求直角三角形的三边长;‎ ‎(2)求两直角边在斜边上的射影的长.‎ 解 (1)如图,设CD=3x,BD=5x,‎ 则BC=8x,‎ 过D作DE⊥AB,‎ 由Rt△ADC≌Rt△ADE可知,‎ DE=3x,BE=4x,‎ ‎∴AE+AC+12x=48,‎ 又AE=AC,‎ ‎∴AC=24-6x,AB=24-2x,‎ ‎∴(24-6x)2+(8x)2=(24-2x)2,‎ 解得:x1=0(舍去),x2=2,‎ ‎∴AB=20,AC=12,BC=16,‎ ‎∴三边长分别为:‎20 cm,‎12 cm,‎16 cm.‎ ‎(2)作CF⊥AB于F点,∴AC2=AF·AB,‎ ‎∴AF===(cm);‎ 同理:BF===(cm).‎ ‎∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm, cm.‎
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