2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：3-2 周练卷7

2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：3-2 周练卷7

周练卷(七) 一、选择题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分) 1．空间中，与向量 a＝(3,0,4)同方向的单位向量 e 为( C ) A．(1,0,0) B．(1,0,0)或(－1,0,0) C. 3 5 ，0，4 5 D. 3 5 ，0，4 5 或 －3 5 ，0，－4 5 解析：与 a＝(3,0,4)同方向的单位向量为 e＝ a |a| ＝ 3 5 ，0，4 5 ，故 选 C. 2.在如图所示的正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E 是 C1D1 的中点， 则异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为( D ) A．－ 10 10 B．－ 1 20 C. 1 20 D. 10 10 解析：本题考查利用直线的方向向量求两异面直线所成角的方 法．以 D 为坐标原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴， DD1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱 长为 2，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,2)，∴AC→＝(－2,2,0)， DE→ ＝(0,1,2)，cos〈AC→，DE→ 〉＝ AC→·DE→ |AC→||DE→ | ＝ 10 10 ，故选 D. 3．已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面α的法向量， 若 cos〈m，n〉＝－1 2 ，则直线 l 与平面α所成的角为( A ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：本题考查直线与平面所成的角的概念及利用直线的方向向 量和平面的法向量求此角的方法．由于 cos〈m，n〉＝－1 2 ，所以〈m， n〉＝120°，所以直线 l 与平面α所成的角为 30°，故选 A. 4．已知平面α的一个法向量为 n＝(1，－1,0)，则 y 轴与平面α所 成的角的大小为( B ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 解析：y 轴的一个方向向量 s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝ n·s |n|·|s| ＝－ 2 2 ， 即 y 轴与平面α所成角的正弦值是 2 2 ，故其所成的角的大小是π 4. 5.如图，正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为 侧棱 SD 的中点，且 SO＝OD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是 ( A ) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：如图，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则 A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)， P 0，－a 2 ，a 2 ，则CA→＝(2a,0,0)，AP→＝ －a，－a 2 ，a 2 ，CB→＝(a，a,0)， 设平面 PAC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 由 n·CA→＝0 n·AP→＝0 ，得 2ax＝0 －ax－a 2y＋a 2z＝0 ， 可取 n＝(0,1,1)，则 cos〈CB→，n〉＝ CB→·n |CB→|·|n| ＝ a 2a2· 2 ＝1 2 ，所以〈CB→，n〉＝60°，所以直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90°－60°＝30°. 6.如图，在空间直角坐标系 Dxyz 中，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 为 长方体，AA1＝AB＝2AD，点 E 为 C1D1 的中点，则二面角 B1A1BE 的余弦值为( C ) A．－ 3 3 B．－ 3 2 C. 3 3 D. 3 2 解析：本题考查空间直角坐标系中的线段中点、二面角等基础知 识．设 AD＝1，则 A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为 E 为 C1D1 的中点，所以 E(0,1,2)，所以A1E→ ＝(－1,1,0)，A1B→ ＝(0,2，－2)，设 m＝(x，y，z)是 平面 A1BE 的法向量，则 A1E→ ·m＝0， A1B→ ·m＝0， 所以 －x＋y＝0 2y－2z＝0 ，所以 y＝x y＝z ，取 x＝1，则 y＝z＝1，所以平面 A1BE 的一个法向量为 m＝ (1,1,1)．又 DA⊥平面 A1B1B，所以DA→ ＝(1,0,0)是平面 A1B1B 的一个法 向量，所以 cos〈m，DA→ 〉＝ m·DA→ |m||DA→ | ＝ 1 3 ＝ 3 3 .又二面角 B1A1BE 为锐 二面角，所以二面角 B1A1BE 的余弦值为 3 3 ，故选 C. 7.如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD⊥平面 ABCD 且 PD＝AD＝1，AB＝2，点 E 是线段 AB 上一点，当二面角 PECD 为π 4 时，AE＝( D ) A．1 B.1 2 C．2－ 2 D．2－ 3 解析：设 AE＝a(0≤a≤2)，以点 D 为坐标原点，DA→ ，DC→ ，DP→ 的 方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)， E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，PE→＝(1，a，－1)，PC→＝(0,2，－1)．设 平面 PEC 的法向量为 m＝(x，y，z)，则 m⊥PE→ m⊥PC→ ，即 x＋ay－z＝0 2y－z＝0 ， 令 y＝1，可得 x＝2－a，z＝2，则 m＝(2－a,1,2)，易知平面 DEC 的 一个法向量为DP→ ＝(0,0,1)，则|cos〈m，DP→ 〉|＝| 2 2－a2＋5|＝ 2 2 ， 解得 a＝2－ 3或 2＋ 3(舍去)，所以 AE＝2－ 3，故选 D. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 8．在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(1，－2,0)，B(2,1， 6)， 则向量AB→与平面 xOz 的法向量的夹角的正弦值为 7 4 . 解析：本题考查向量与平面的法向量的夹角．设平面 xOz 的法向 量为 n＝(0，t,0)，(t≠0)．又AB→＝(1,3， 6)，所以 cos〈n，AB→〉＝ n·AB→ |n|·|AB→| ＝ 3t 4|t| ，因为〈n，AB→〉∈[0，π]，所以 sin〈n，AB→〉＝ 1－ 3t 4|t| 2＝ 7 4 . 9．如图，在三棱锥 ABCD 中，DA，DB，DC 两两垂直，且 DB ＝DC，E 为 BC 中点，则AE→·BC→＝0. 解析：本题主要考查空间两向量的数量积．因为 E 为 BC 的中点， 所以AE→＝DE→ －DA→ ＝1 2(DB→ ＋DC→ )－DA→ .因为在三棱锥 ABCD 中，DA， DB，DC 两两垂直，且 DB＝DC，所以AE→·BC→＝ 1 2 DB→ ＋DC→ －DA→ ·(DC→ －DB→ )＝1 2(DC→ 2－DB→ 2)＝0. 10．在三棱锥 PABC 中，AB⊥BC，AB＝BC＝1 2PA，点 O 是 AC 的中点，OP⊥底面 ABC，则直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 210 30 . 解析： 本题考查利用法向量求线面所成角的正弦值．因为 OP⊥平面 ABC，OA＝OC，AB＝BC，所以 OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP.以点 O 为原点，OA，OB，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系．设 AB＝ 2a，则 PA＝2 2a，OP＝ 7a，A(a,0,0)， B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0,0， 7a).PA→＝(a,0，－ 7a)，PB→＝(0，a， － 7a)，BC→＝(－a，－a,0)．设平面 PBC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则 n·PB→＝0， n·BC→＝0， 即 ay－ 7az＝0， －ax－ay＝0， 令 x＝1，则 y＝－1，z＝－ 7 7 ， 所以平面 PBC 的一个法向量为 n＝ 1，－1，－ 7 7 ，所以 cos〈PA→， n〉＝ PA→·n |PA→||n| ＝ 210 30 ，所以 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 210 30 . 11．如图，等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二 面角 CABD 的余弦值为 3 3 ，M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM， AN 所成角的余弦值为1 6. 解析：如图所示，过点 C 作 CO⊥平面 ABDE，垂足为 O，取 AB 的中点 F，连接 CF，OF，OA，OB，则∠CFO 为二面角 CABD 的 平面角，∴cos∠CFO＝ 3 3 . 设 AB＝1，则 CF＝ 3 2 ，OF＝1 2 ，OC＝ 2 2 ，∴O 为正方形 ABDE 的中心．如图建立空间直角坐标系，则 E 0，－ 2 2 ，0 ，A 2 2 ，0，0 ， M 2 4 ，0， 2 4 ，N 0， 2 4 ， 2 4 ， ∴EM→ ＝ 2 4 ， 2 2 ， 2 4 ，AN→＝ － 2 2 ， 2 4 ， 2 4 ， ∴cos〈EM→ ，AN→〉＝ EM→ ·AN→ |EM→ ||AN→| ＝1 6. 三、解答题(本大题共 3 小题，共 45 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 12．(15 分)已知点 A，B，C 的坐标分别为(0,1,2)，(1,2,3)，(1,3,1)． (1)若AD→ ＝(3，y,1)，且 AD⊥AC，求 y 的值； (2)若 D 的坐标为(x,5,3)，且 A，B，C，D 四点共面，求 x 的值． 解：∵A，C 的坐标分别为(0,1,2)，(1,3,1)，∴AC→＝(1,2，－1)． (1)∵AD→ ＝(3，y,1)，且 AD⊥AC，∴AD→ ·AC→＝0， 即(3，y,1)·(1,2，－1)＝0，∴3＋2y－1＝0，解得 y＝－1. (2)∵A，B，C，D 的坐标分别为(0,1,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(x,5,3)， ∴AB→＝(1,1,1)，AC→＝(1,2，－1)，AD→ ＝(x,4,1)． ∴AB→与AC→不共线，∴A，B，C 三点确定一个平面． 设平面 ABC 的法向量为 n＝(a，b，c)， 由 n⊥AB→，n⊥AC→，得 a＋b＋c＝0， a＋2b－c＝0， ∴ b＝2c， a＝－3c， 取 c＝1，则 b＝2，a＝－3， ∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(－3,2,1)． 由点 D 在平面 ABC 内，得 n·AD→ ＝0，∴－3x＋8＋1＝0，∴x＝ 3. 13．(15 分)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E，F，G 分 别是棱 BC，A1B1，B1C1 的中点． (1)求异面直线 EF 与 DG 所成角的余弦值； (2)设二面角 ABDG 的大小为θ，求|cosθ|的值． 解：(1)如图，以{DA→ ，DC→ ，DD1 → }为正交基底建立空间直角坐标系 Dxyz. 设正方体的棱长为 2，则 D(0,0,0)，E(1,2,0)，F(2,1,2)，G(1,2,2)， 所以EF→＝(1，－1，2)，DG→ ＝(1,2,2)， 所以EF→·DG→ ＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3， |EF→|＝ 1＋－12＋22＝ 6，|DG→ |＝3， 从而 cos〈EF→，DG→ 〉＝ EF→·DG→ |EF→||DG→ | ＝ 3 6×3 ＝ 6 6 ， 所以异面直线 EF 与 DG 所成角的余弦值为 6 6 . (2)由(1)得 B(2,2,0)，DB→ ＝(2,2,0)，DG→ ＝(1,2,2)． 设平面 DBG 的法向量为 n1＝(x，y，z)， 则 DB→ ·n1＝2x＋2y＝0 DG→ ·n1＝x＋2y＋2z＝0 ， 令 x＝2，可得 y＝－2，z＝1，所以 n1＝(2，－2,1)． 又平面 ABD 的一个法向量为 n2＝DD1 → ＝(0,0,2)， 所以 cos〈n1，n2〉＝ n1·n2 |n1||n2| ＝ 2 3×2 ＝1 3 ， 因此|cosθ|＝1 3. 14．(15 分)如图，已知等边三角形 ABC 中，E，F 分别为 AB， AC 边的中点，M 为 EF 的中点，N 为 BC 边上一点，且 CN＝1 4BC， 连接AM，MN，BF，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF ⊥平面 EFCB. (1)求证：平面 A′MN⊥平面 A′BF； (2)求二面角 EA′FB 的余弦值． 解：(1)证明：因为 E，F 分别为等边三角形 ABC 的 AB，AC 边 的中点，所以△A′EF 是等边三角形，且 EF∥BC. 因为 M 是 EF 的中点，所以 A′M⊥EF. 又平面 A′EF⊥平面 EFCB，A′M⊂平面 A′EF， 所以 A′M⊥平面 EFCB. 又 BF⊂平面 EFCB，所以 A′M⊥BF. 因为 CN＝1 4BC，所以 MF 綊 CN，所以四边形 MFCN 为平行四 边形，所以 MN∥CF. 在等边三角形 ABC 中，BF⊥CF，所以 BF⊥MN. 又 A′M∩MN＝M，所以 BF⊥平面 A′MN. 又 BF⊂平面 A′BF，所以平面 A′MN⊥平面 A′BF. (2)设等边三角形 ABC 的边长为 4，取 BC 中点 G，连接 MG，由 题设知 MG⊥EF，由(1)知 A′M⊥平面 EFCB，又 MG⊂平面 EFCB， 所以 A′M⊥MG，如图建立空间直角坐标系 Mxyz. 则 F(－1,0,0)，A′(0,0， 3)，B(2，3，0)， FA′→ ＝(1,0， 3)，FB→＝(3，3，0)． 设平面 A′BF 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则由 FA′→ ·n＝0 FB→·n＝0 ，得 x＋ 3z＝0 3x＋ 3y＝0 ， 令 z＝1，则 n＝(－ 3，3,1)． 易知平面 A′EF 的一个法向量为 p＝(0,1,0)， 所以 cos〈n，p〉＝ p·n |p||n| ＝3 13 13 ， 显然二面角 EA′FB 是锐角， 所以二面角 EA′FB 的余弦值为3 13 13 .