2017年高考试题——数学理（新课标Ⅰ卷）解析版参考版

2017年高考试题——数学理（新课标Ⅰ卷）解析版参考版

2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷） 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1. 已知集合 ，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ∴ ， ， 选 A 2. 如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于 正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方形边长为 ，则圆半径为 则正方形的面积为 ，圆的面积为 ，图中黑色部分的概率为 则此点取自黑色部分的概率为 故选 B 3. 设有下面四个命题（） ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ；    1 3 1xA x x B x   ，  0 A B x x A B  R  1 A B x x A B    1A x x     3 1 0xB x x x     0A B x x   1A B x x  ABCD 1 4 π 8 1 2 π 4 2 1 2 2 4  2π 1 π  π 2 π π2 4 8 1p z 1 z R z R 2p z 2z R z R ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 ． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设 ，则 ，得到 ，所以 .故 正确； 若 ，满足 ，而 ，不满足 ，故 不正确； 若 ， ，则 ，满足 ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故 不正确； 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确； 4. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 的公差为（） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】 联立求得 得 选 C 5. 函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取值 范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 为奇函数，所以 ， 于是 等价于 | 又 在 单调递减 故选 D 6. 展开式中 的系数为 A． B． C． D． 【答案】C. 3p 1 2z z， 1 2z z R 1 2z z 4p z R z R 1 3p p， 1 4p p， 2 3p p， 2 4p p， 1 :p z a bi  2 2 1 1 a bi z a bi a b     R 0b  z R 1P 2 :p z  2 1 2z R z i 2z R 2p 3 :p 1z 1 2z 2 1 2z z 2 1 2z z R 3p 4 :p 4p nS  na n 4 5 624 48a a S  ，  na 4 5 1 13 4 24a a a d a d      6 1 6 56 482S a d   1 1 2 7 24 6 15 48 a d a d     ① ② 3 ① ②  21 15 24 d 6 24d  4d ∴  f x    ，  1 1f    1 2 1f x ≤ ≤ x  2 2 ，  1 1 ，  0 4，  1 3，  f x    1 1 1f f     1 2 1f x ≤ ≤      1 2 1f f x f ≤ ≤  f x    ， 1 2 1x ≤ ≤ 3x1≤ ≤  6 2 11 1 xx      2x 15 20 30 35 【解析】 对 的 项系数为 对 的 项系数为 ， ∴ 的系数为 故选 C 7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的 边长为 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和 为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三视图可画出立体图 该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 故选 B 8. 右面程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 和 两个空白框中， 可以分别填入      6 6 6 2 2 1 11+ 1 1 1 1x x xx x             61 x 2x 2 6 6 5C 152    6 2 1 1 xx   2x 4 6C =15 2x 15 15 30  2 10 12 14 16  2 4 2 2 6S     梯 6 2 12S   全梯 3 2 1000n n  n A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】D 【答案】因为要求 大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出 ∴“ ”中不能输入 排除 A、B 又要求 为偶数，且 初始值为 0， “ ”中 依次加 2 可保证其为偶 故选 D 9. 已知曲线 ， ，则下面结论正确的是（） A．把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长 度，得到曲线 B．把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长 度，得到曲线 C．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长 度，得到曲线 D．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长 度，得到曲线 【答案】D 【解析】 ， 首先曲线 、 统一为一三角函数名，可将 用诱导公式处理． ．横坐标变换需将 变成 ， 即 ． 1000A  1n n  1000A  2n n  1000A≤ 1n n  1000A≤ 2n n  A A 1000 n n n 1 : cosC y x 2 2π: sin 2 3C y x     1C 2 π 6 2C 1C 2 π 12 2C 1C 1 2 π 6 2C 1C 2 π 12 2C 1 : cosC y x 2 2π: sin 2 3      C y x 1C 2C 1 : cosC y x π π πcos cos sin2 2 2                y x x x 1 2 1 1 2π π πsin sin 2 sin22 2 4                       C 上各 坐 短它原 y x y x x点横 标缩 来 2π πsin 2 sin23 3               y x x 注意 的系数，在右平移需将 提到括号外面，这时 平移至 ， 根据“左加右减”原则，“ ”到“ ”需加上 ，即再向左平移 ． 10. 已知 为抛物线 ： 的交点，过 作两条互相垂直 ， ，直线 与 交于 、 两点， 直线 与 交于 ， 两点， 的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设 倾斜角为 ．作 垂直准线， 垂直 轴 易知 同理 ， 又 与 垂直，即 的倾斜角为 而 ，即 ． ，当 取等号 即 最小值为 ，故选 A 11. 设 ， ， 为正数，且 ，则（） A． B． C． D． 【答案】D  2 π 4x π 3x π 4x π 3x π 12 π 12 F C 2 4y x F 1l 2l 1l C A B 2l C D E AB DE 16 14 12 10 AB  1AK 2AK x 1 1 cos 2 2                 AF GF AK AK AF P PGP P  （几何关系） （抛物线特性） cosAF P AF  ∴ 1 cos PAF   1 cos PBF   ∴ 2 2 2 2 1 cos sin P PAB    DE AB DE π 2  2 2 2 2 π cossin 2 P PDE        2 4y x 2P  ∴ 2 2 1 12 sin cosAB DE P         2 2 2 2 sin cos4 sin cos      2 2 4 sin cos  2 4 1 sin 24   2 16 16sin 2 ≥ π 4  AB DE 16 x y z 2 3 5x y z  2 3 5x y z  5 2 3z x y  3 5 2y z x  3 2 5y x z  【答案】取对数： . 则 ，故选 D 12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出 了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 ，…，其中第一项是 ，接下来的两项是 ， ， 在接下来的三项式 ， ， ，依次类推，求满足如下条件的最小整数 ： 且该数列的 前 项和为 的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推． 设第 组的项数为 ，则 组的项数和为 由题， ，令 → 且 ，即 出现在第 13 组之后 第 组的和为 组总共的和为 若要使前 项和为 2 的整数幂，则 项的和 应与 互为相反数 即 → 则 故选 A 二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 ________． 【答案】 【解析】 ∴ 14. 设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_______． ln 2 ln3 ln5x y  ln3 3 ln 2 2 x y   ∴ 2 3x y ln 2 ln5x z ln5 5 ln 2 2 x z   ∴ 2 5x z ∴ 3 2 5y x z  1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 , 8 , 16 02 02 12 62 12 22 N 100N  N 2 440 330 220 110 n n n  1 2 n n 100N   1 1002 n n  14n≥ *nN N n 1 2 2 11 2 n n   n  2 1 2 2 21 2 n nn n      N  1 2 n nN  2 1k  2 n   *2 1 2 14k n k n   N ， ≥  2log 3k n  29 5n k ，  29 1 29 5 4402N     a b 60 2a  1b  2a b   2 3  22 222 ( 2 ) 2 2 cos60 2a b a b a a b b                 2 212 2 2 2 22      4 4 4   12 2 12 2 3a b    x y 2 1 2 1 0 x y x y x y          3 2z x y  【答案】 不等式组 表示的平面区域如图所示 由 得 ， 求 的最小值，即求直线 的纵截距的最大值 当直线 过图中点 时，纵截距最大 由 解得 点坐标为 ，此时 15. 已知双曲线 ，（ ， ）的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与 双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为_______． 【答案】 【解析】如图， ， ∵ ，∴ ， ∴ 又∵ ，∴ ，解得 5 2 1 2 1 0 x y x y x y          y x 2x+y+1=0 x+2y-1=0 1 C BA 3 2z x y  3 2 2 zy x  z 3 2 2 zy x  3 2 2 zy x  A 2 1 2 1 x y x y       A ( 1,1) 3 ( 1) 2 1 5z        2 2 2 2: x yC a b 0a  0b  A A b A A C M N 60MAN   C 2 3 3 OA a AN AM b  60MAN   3 2AP b 2 2 2 23 4OP OA PA a b    2 2 3 2tan 3 4 bAP OP a b     tan b a  2 2 3 2 3 4 b b aa b   2 23a b ∴ 16. 如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的等边三角形 的中心为 ， 、 、 为元 上的点， ， ， 分别是一 ， ， 为底边的等腰三角形，沿虚线 剪开后，分别以 ， ， 为折痕折起 ， ， ，使得 ， ， 重合， 得到三棱锥．当 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： ）的最大值为_______． 【答案】 【解析】由题，连接 ，交 与点 ，由题， ，即 的长度与 的长度或成正比 设 ，则 ， 三棱锥的高 则 令 ， ， 令 ，即 ， 则 则 体积最大值为 三、 解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 2 2 1 2 31 1 3 3 be a     O 5 cm ABC O D E F O DBC△ ECA△ FAB△ BC CA AB BC CA AB DBC△ ECA△ FAB△ D E F ABC△ 3cm 4 15 OD BC G OD BC 3 6OG BC OG BC OG x 2 3BC x 5DG x  2 2 225 10 25 10h DG OG x x x x        212 3 3 3 32ABCS x x   △ 21 3 25 103 ABCV S h x x    △ 4 5= 3 25 10x x    4 525 10f x x x  5(0, )2x   3 4100 50f x x x     0f x  4 32 0x x  2x     2 80f x f ≤ 3 80 45V  ≤ ∴ 34 15 cm 17. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 ． （1）求 ； （2）若 ， ，求 的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1） 面积 .且 由正弦定理得 ， 由 得 . （2）由（1）得 ， 又 ， ， 由余弦定理得 ① 由正弦定理得 ， ② 由①②得 ，即 周长为 ABC△ A B C a b c ABC△ 2 3sin a A sin sinB C 6cos cos 1B C  3a  ABC△ ∵ ABC△ 2 3sin aS A 1 sin2S bc A ∴ 2 1 sin3sin 2 a bc AA  ∴ 2 23 sin2a bc A ∵ 2 23sin sin sin sin2A B C A sin 0A  2sin sin 3B C  2sin sin 3B C  1cos cos 6B C  ∵ πA B C   ∴     1cos cos π cos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C         ∵  0 πA ， ∴ 60A   3sin 2A  1cos 2A  2 2 2 9a b c bc    sinsin ab BA  sinsin ac CA  ∴ 2 2 sin sin 8sin abc B CA   33b c  ∴ 3 33a b c    ABC△ 3 33 18. （12 分） 如图，在四棱锥 中， 中，且 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ， ，求二面角 的余弦值． 【解析】（1）证明：∵ ∴ ， 又∵ ，∴ 又∵ ， 、 平面 ∴ 平面 ，又 平面 ∴平面 平面 （2）取 中点 ， 中点 ，连接 ， ∵ ∴四边形 为平行四边形 ∴ 由（1）知， 平面 ∴ 平面 ，又 、 平面 ∴ ， 又∵ ，∴ ∴ 、 、 两两垂直 ∴以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，∴ 、 、 、 ， ∴ 、 、 设 为平面 的法向量 由 ，得 令 ，则 ， ，可得平面 的一个法向量 ∵ ，∴ 又知 平面 ， 平面 ∴ ，又 ∴ 平面 即 是平面 的一个法向量， ∴ 由图知二面角 为钝角，所以它的余弦值为 19. （12 分） 为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测 量其尺寸（单位： ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸 P ABCD AB CD∥ 90BAP CDP     PAB  PAD PA PD AB DC   90APD   A PB C  90BAP CDP     PA AB PD CD AB CD∥ PD AB PD PA P PD PA  PAD AB  PAD AB  PAB PAB  PAD AD O BC E PO OE AB CD ABCD OE AB AB  PAD OE  PAD PO AD  PAD OE PO OE AD PA PD PO AD PO OE AD O O xyz 2PA   0 02D  ， ，  22 0B ， ，  00 2P ， ，  2 02C  ， ，  02 2PD    ， ，  22 2PB   ， ，  2 2 0 0BC   ， ，  n x y z , , PBC 0 0 n PB n BC          2 2 2 0 2 2 0 x y z x       1y  2z  0x  PBC  0 1 2n  , , 90APD   PD PA AB  PAD PD  PAD PD AB PA AB A PD  PAB PD PAB  02 2PD    , , 2 3cos 32 3 PD nPD n PD n           , A PB C  3 3 cm 服从正态分布 ． （1）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的 零件数，求 及 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （I）试说明上述监控生产过程方法的合理性： （II）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 经计算得 ， ，其中 为抽取的第 个零件的尺寸， ． 用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否 需对当天的生产过程进行检查，剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精 确到 ）． 附：若随机变量 服从正态分布 ,则 ． ， ． 【解析】（1）由题可知尺寸落在 之内的概率为 ，落在 之外 的概率为 ． 由题可知 （2）（i）尺寸落在 之外的概率为 ， 由正态分布知尺寸落在 之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程的方法合理． （ii） ， 需对当天的生产过程检查． 因此剔除 剔除数据之后： ．  2N  ， X  3 3    ，  1P X ≥ X  3 3    ， 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 16 1 9.97i i x x      16 162 2 2 1 1 1 1 16 0.21216 16i i i i s x x x x            ix i 1 2 16i  ， ， ， x  ˆ s  ˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ3 3    ，   0.01 Z  2N  ，  3 3 0.997 4P Z        160.997 4 0.9592 0.008 0.09  3 3    ， 0.9974  3 3    ， 0.0026    00 16 160 C 1 0.9974 0.9974 0.9592P X        1 1 0 1 0.9592 0.0408P X P X        ~ 16 0.0026X B ，   16 0.0026 0.0416E X     3 3    ， 0.0026  3 3    ， 3 9.97 3 0.212 9.334      3 9.97 3 0.212 10.606         3 3 9.334 10.606     ， ，  9.22 9.334 10.606 ，  9.22 9.97 16 9.22 10.0215                                  2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [ 9.95 10.02 10.12 10.02 9.96 10.02 9.96 10.02 10.01 10.02 9.92 10.02 9.98 10.02 10.04 10.02 10.26 10.02 9.91 10.02 110.13 10.02 10.02 10.02 10.04 10.02 10.05 10.02 9.95 10.02 ] 15 0.0                                  08 0.008 0.09   20. （12 分） 已知椭圆 ： ，四点 ， ， ， 中恰有 三点在椭圆 上． （1）求 的方程； （2）设直线 不经过 点且与 相交于 、 两点，若直线 与直线 的斜率的和为 ，证 明： 过定点． 【解析】（1）根据椭圆对称性，必过 、 又 横坐标为 1，椭圆必不过 ，所以过 三点 将 代入椭圆方程得 ，解得 ， ∴椭圆 的方程为： ． （2） 当斜率不存在时，设 得 ，此时 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． 当斜率存在时，设 联立 ，整理得 ， 则 又 ，此时 ，存在 使得 成立． ∴直线 的方程为 当 时， 所以 过定点 ． C 2 2 2 2 1x y a b   0a b   1 1 1P ，  2 0 1P ， 3 31 2P      ， 4 31 2P       ， C C l 2P C A B 2P A 2P B 1 l 3P 4P 4P 1P 2 3 4P P P， ，  2 3 30 1 1 2P P      ， ， ， 2 2 2 1 1 3 1 4 1 b a b       2 4a  2 1b  C 2 2 14 x y  ①    : A Al x m A m y B m y ， ， ， ， 2 2 1 1 2 1A A P A P B y yk k m m m          2m  l ②  1l y kx b b  ∶    1 1 2 2A x y B x y， ， ， 2 24 4 0 y kx b x y        2 2 21 4 8 4 4 0k x kbx b     1 2 2 8 1 4 kbx x k    2 1 2 2 4 4 1 4 bx x k    2 2 1 2 1 2 1 1 P A P B y yk k x x        2 1 2 1 2 1 1 2 x kx b x x kx b x x x      2 2 2 2 2 8 8 8 8 1 4 4 4 1 4 kb k kb kb k b k            8 1 14 1 1 k b b b     ， 1b  2 1b k    64k   k 0  l 2 1y kx k   2x  1y   l  2 1， 21. （12 分） 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 的取值范围． 【解析】（1）由于 故 当 时， ， ．从而 恒成立． 在 上单调递减 当 时，令 ，从而 ，得 ． 单调减 极小值 单调增 综上，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 （2）由（1）知， 当 时， 在 上单调减，故 在 上至多一个零点，不满足条件． 当 时， ． 令 ． 令 ，则 ．从而 在 上单调增，而 ．故当 时， ．当 时 ．当 时 若 ，则 ，故 恒成立，从而 无零点，不满足条 件． 若 ，则 ，故 仅有一个实根 ，不满足条件． 若 ，则 ，注意到 ． ． 故 在 上有一个实根，而又 ． 且 ． 故 在 上有一个实根． 又 在 上单调减，在 单调增，故 在 上至多两个实根． 又 在 及 上均至少有一个实数根，故 在 上恰有两个 实根． 综上， ．    2e 2 ex xf x a a x     f x  f x a    2e 2 ex xf x a a x          22 e 2 e 1 e 1 2e 1x x x xf x a a a        ① 0a  e 1 0xa   2e 1 0x     0f x   f x R ② 0a    0f x  e 1 0xa   lnx a  x  ln a ， ln a  ln a  ，  f x′  0   f x 0a  ( )f x R 0a  ( )f x ( , ln )a  ( ln , )a  0a   f x R  f x R 0a   min 1ln 1 lnf f a aa       11 lng a aa      11 ln 0g a a aa      2 1 1' 0g a a a    g a  0  ，  1 0g  0 1a    0g a  1a    0g a  1a    0g a  1a   min 11 ln 0f a g aa       0f x   f x 1a  min 11 ln 0f aa      0f x  ln 0x a   0 1a  min 11 ln 0f aa    ln 0a    2 21 1 0e e e a af        f x  1 ln a ， 3 1ln 1 ln ln aa a        3 3ln 1 ln 13 3ln( 1) e e 2 ln 1a af a aa a                                 3 3 3 31 3 2 ln 1 1 ln 1 0a aa a a a                                    f x 3ln ln 1a a         ，  f x  ln a ，  ln a  ，  f x R  f x  1 ln a ， 3ln ln 1a a         ，  f x R 0 1a  （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修 4-4：坐标系与参考方程] 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）若 ，求 与 的交点坐标； （2）若 上的点到 距离的最大值为 ，求 ． 【解析】（1） 时，直线 的方程为 ． 曲线 的标准方程是 ， 联立方程 ，解得： 或 ， 则 与 交点坐标是 和 （2）直线 一般式方程是 ． 设曲线 上点 ． 则 到 距离 ，其中 ． 依题意得： ，解得 或 xOy C 3cos sin x y      ， ，  l 4 1 x a t y t      ， ， t 1a   C l C l 17 a 1a   l 4 3 0x y   C 2 2 19 x y  2 2 4 3 0 19 x y x y      3 0 x y    21 25 24 25 x y      C l  3 0， 21 24 25 25     ， l 4 4 0x y a    C  3cos sinp  ， P l  5sin 43cos 4sin 4 17 17 aad          3tan 4  17maxd  16a   8a  23. [选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围． 【解析】（1）当 时， ，是开口向下，对称轴 的二次函数． ， 当 时，令 ，解得 在 上单调递增， 在 上单调递减 ∴此时 解集为 ． 当 时， ， ． 当 时， 单调递减， 单调递增，且 ． 综上所述， 解集 ． （2）依题意得： 在 恒成立． 即 在 恒成立． 则只须 ，解出： ． 故 取值范围是 ．    2 4 1 1f x x ax g x x x       ， 1a     f x g x≥    f x g x≥  1 1 ， a 1a    2 4f x x x    1 2x    2 1 1 1 2 1 1 2 1 x x g x x x x x           ， ， ≤x≤ ， (1, )x  2 4 2x x x    17 1 2x   g x  1  ，  f x  1  ，    f x g x≥ 17 11 2     ，  1 1x  ，   2g x     1 2f x f  ≥  1x  ，  g x  f x    1 1 2g f       f x g x≥ 17 11 2      ， 2 4 2x ax   ≥  1 1 ， 2 2 0x ax  ≤  1 1 ，     2 2 1 1 2 0 1 1 2 0 a a         ≤ ≤ 1 1a ≤ ≤ a  1 1 ，