江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

南昌十中2019－2020学年上学期期中考试 高二数学(文)试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1.直线和直线垂直，则实数的值为（ ）‎ A. -2 B. 0 C. 2 D. -2或0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两直线垂直，得到系数之间的关系，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因直线和直线垂直，所以，‎ 即，解得或.故选D ‎【点睛】本题主要考查由两直线垂直求参数的值，结合两直线垂直的充要条件，即可求解，属于基础题型.‎ ‎2.方程不能表示圆，则实数的值为 A. 0 B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设方程可以表示圆得到值，从而可得到不能表示圆时a的值.‎ ‎【详解】方程能表示圆，则，‎ 解得，即.‎ 所以，若方程不能表示圆，则.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的一般方程及正难则反的数学思想.‎ ‎3.直线，(为参数)上与点的距离等于的点的坐标是( )‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因直线为参数），‎ 所以设直线上到点的距离等于的点的坐标是，‎ 则，解得，‎ 代入直线的参数方程，得点的坐标为或，故选D.‎ ‎4.若，满足，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的普通方程化为参数方程，结合两角和的正弦公式求出最值即可.‎ ‎【详解】解：由圆的参数方程为（为参数），‎ 得，故的最大值为2.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查圆的方程的参数方程与普通方程互化，考查两角和的正弦公式逆用求最值，属于基础题.‎ ‎5.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线是( )‎ A. B. C. D. .‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的焦点坐标，再由双曲线的几何性质求解渐近线方程即可．‎ ‎【详解】抛物线的焦点（2，0），则a2+3＝4,∴a2＝1，∴a＝1，∴双曲线方程为： ．‎ ‎∴渐近线方程为：．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎6.抛物线的准线方程是，则的值为（ ）‎ A. B. C. 8 D. -8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】方程表示的是抛物线,‎ ‎，，‎ 抛物线的准线方程是，‎ 解得，故选B.‎ ‎7.设点，分别是椭圆的左、右焦点，弦AB过点，若的周长为8，则椭圆C的离心率为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得b，可得椭圆长半轴长，再由隐含条件求得c，则椭圆离心率可求．‎ ‎【详解】由已知可得，椭圆的长轴长为，‎ ‎∵弦AB过点，的周长为，‎ 解得：，，，则，则椭圆的离心率为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用及简单性质，是基础的计算题．‎ ‎8.若圆与圆相交，则实数的取值范围是（ ）‎ A. 且 B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆与圆相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，解不等式．‎ ‎【详解】圆与圆相交，‎ 两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，‎ 即，所以.‎ 解得或.‎ ‎【点睛】判断圆与圆的位置关系：（1）几何法---圆与圆相离，圆与圆外切，圆与圆相交，圆与圆内切，圆与圆内含．（2）代数法---联立圆与圆的方程，若方程组两个不同的解圆与圆相交，若方程组只有一解圆与圆外切或内切，若方程组无解圆与圆外离或内含．‎ ‎9.椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，则四边形的周长为（ ）‎ A. 6 B. C. 12 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵过 的直线与椭圆交于两点，点关于 轴的对称点为点 ， ∴四边形 的周长为 ， ∵椭圆  ‎ ‎ ， ∴四边形 的周长为12． 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，考查四边形的周长，正确运用椭圆的定义是解题的关键．‎ ‎10.己知椭圆：，直线过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】直线的方程为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦为,，设，垂足为，则，在中，‎ ‎，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法.考查了圆弦长公式，考查了运算能力.‎ ‎11.如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意知抛物线的准线为，设两点的坐标分别为，‎ ‎，则．‎ 由 消去整理得，解得，‎ ‎∵在图中圆的实线部分上运动，‎ ‎∴．‎ ‎∴的周长为．‎ 选A．‎ 点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用．特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离），然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单．‎ ‎12.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 为等边三角形，不妨设 为双曲线上一点，‎ 为双曲线上一点,‎ 由 在中运用余弦定理得：‎ ‎,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共16分）‎ ‎13.已知圆的方程为：,则斜率为1且与圆相切直线的方程为______．‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出斜率为1且与圆相切直线的斜截式方程,圆心到该直线的距离等于圆的半径,得到方程,解方程求出直线的在纵轴上截距,把直线的斜截式方程化为一般式方程即可.‎ ‎【详解】斜率为1且与圆相切直线的方程为,圆的圆心坐标为,半径为,由题意可知：或,因此 斜率为1且与圆相切直线的方程为,.‎ 故答案为,‎ ‎【点睛】本题考查了求圆的切线方程,利用圆的切线性质是解题的关键.‎ ‎14.若曲线为参数),与直线有两个公共点则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把曲线 ，为参数),化为普通方程,结合图形,求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 曲线 ，为参数),为 借助图形直观易得时，‎ 抛物线段,与直线有两个公共点，‎ 实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查把参数方程化为普通方程的方法,注意自变量的取值范围,体现了数形结合的数学思想.‎ ‎15.如图所示，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，则圆心P的轨迹方程为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设动圆圆心P，半径为r，利用两圆相切内切，两圆心距和两半径之间的关系列出PA和PB的关系式，正好符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程即可．‎ ‎【详解】设动圆圆心P（x，y），半径为r，⊙A圆心为A（-3，0），半径为10， 又因为动圆过点B，所以r=PB， 若动圆P与⊙A相内切，则有PA=10-r=10-PB，即PA+PB=10  由③④得|PA+PB|=10＞|AB|=6 故P点的轨迹为以A和B为焦点的椭圆，且a=5，c=3，所以b2=a2-c2=16 所以动员圆心的方程为． 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查两圆的位置关系的应用和定义法求轨迹方程，综合性较强．‎ ‎16.已知抛物线：的焦点为，准线为，抛物线有一点，过点作，垂足为，若等边的面积为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴， 由抛物线的定义得到|NF|=p,故|MF|=2p,故 ‎ 故答案为2.‎ 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.在平面直角坐标系中,求过圆,（为参数）的圆心,且与直线（为参数）平行的直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的参数方程求出圆的圆心,利用加减消元法把直线的参数方程化成一般方程,求出它的斜率,利用两直线平行时,斜率的关系求出所求直线的斜率,写出所求直线的点斜式方程,最后化成一般方程即可.‎ ‎【详解】圆的圆心坐标为：,直线的普通方程为：,所以与直线平行的直线的斜率为,所以所求直线的方程为：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了通过圆的参数方程求圆心坐标,考查了已知两直线平行时,斜率之间的关系,考查了直线参数方程化普通方程.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为为参数．‎ 求曲线，的普通方程；‎ 求曲线上一点P到曲线距离的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平方和代入法，消去参数，即可得到曲线的普通方程；‎ ‎（2）由曲线的方程，设，再由点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，为参数），则，平方相加，即可得：，‎ 由为参数），消去参数，得：，即.‎ ‎（2）设，‎ 到的距离 ，‎ ‎∵，当时，即，，‎ 当时，即，.‎ ‎∴取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，其中解答中合理利用平方和代入，正确化简消去参数得到普通方程，再利用椭圆的参数方程，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎19.设双曲线与椭圆 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为2，求此双曲线的标准方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的标准方程为，再根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得a,b,c的值，即得双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】设双曲线的标准方程为，由题意知c2＝16－12＝4，即c＝2.‎ 又点A的纵坐标为2，则横坐标为±3，于是有 ‎，‎ 所以双曲线的标准方程为.‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的简单几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2)求双曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.‎ ‎20.已知点，圆的方程为，点为圆上的动点，过点的直线被圆截得的弦长为．‎ ‎(1)求直线的方程；‎ ‎(2)求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先讨论直线的斜率是否存在，利用(为圆的半径，为圆心到直线的距离)列方程解得直线 的斜率，再由点斜式写出直线方程； (2)因为为定值，只需求出点到直线的最大值即可，问题得解．‎ ‎【详解】解：(1)①当直线的斜率不存在时，的方程为，易知此直线满足题意； ②当直线的斜率存在时，设的方程为， ∵圆的圆心，半径，‎ 因为过点的直线被圆截得的弦长为，‎ 所以（其中为圆心到直线的距离）‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ ‎∴，解得， 所以所求的直线方程为； 综上所述，所求的直线方程为或 (2)由题意得，点到直线的距离的最大值为7， ∴的面积的最大值为7．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查分类思想及计算能力、转化能力，还考查了圆的弦长计算公式，属中档题．‎ ‎21.如图所示,已知点是抛物线上一定点,直线的倾斜角互补,且与抛物线另交于，两个不同的点．‎ ‎(1)求点到其准线的距离；‎ ‎(2)求证：直线的斜率为定值．‎ ‎【答案】(1)5；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把点M的坐标代入抛物线的方程，求出点M的坐标，然后根据抛物线的定义求出点到其准线的距离；‎ ‎（2）设出直线MA的方程，与抛物线方程联立，得出A 的纵坐标，同理得出B的纵坐标，由已知条件结合点差法推导出AB的斜率表达式，把A，B的坐标代入，由此能证明直线AB的斜率为定值．‎ ‎【详解】（1）∵M（a，4）是抛物线y2＝4x上一定点，∴42＝4a，a＝4，‎ ‎∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，故点M到其准线的距离为5；‎ ‎（2）由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，设直线MA的方程为：y﹣4＝k（x﹣4）；‎ 联立，设，，‎ ‎ ，即，‎ ‎∵直线的斜率互为相反数，∴直线MB的方程为：，‎ 同理可得：，由A，B两点都在抛物线y2＝4x上，∴ ，，‎ ‎，‎ ‎∴直线AB的斜率为定值.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了一元二次方程根与系数关系，考查直线的斜率为定值的证明，属于中档题．‎ ‎22.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．‎ ‎【答案】(1)＋＝1. (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：解：(Ⅰ)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.‎ 因为椭圆C的离心率为，‎ 所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3. ‎ 故椭圆C的方程为＋＝1. ‎ ‎(Ⅱ)当MN⊥x轴时，显然y0＝0. ‎ 当MN与x轴不垂直时，可设直线MN方程为 y＝k(x－1)(k≠0)． ‎ 由 消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0. ‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，‎ 则x1＋x2＝.‎ 所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝. ‎ 线段MN的垂直平分线的方程为 y＋＝－.‎ 在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝. ‎ 当k<0时，＋4k≤－4；当k>0时，＋4k≥4.‎ 所以－≤y0<0或0

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