【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第九章平面解析几何9-9直线与圆锥曲线的位置关系的判断学案

【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第九章平面解析几何9-9直线与圆锥曲线的位置关系的判断学案

‎1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．‎ ‎(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ‎①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；‎ ‎②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；‎ ‎③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．‎ ‎(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．‎ ‎①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；‎ ‎②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎ ‎2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝|x2－x1|‎ ‎＝|y2－y1|.‎ ‎【知识拓展】‎ 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 ‎(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．‎ ‎(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线. ‎ ‎(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；‎ 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；‎ 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(　×　)‎ ‎(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(　×　)‎ ‎(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(　√　)‎ ‎(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(　√　)‎ ‎(5)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．(　×　)‎ ‎(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个．(　√　)‎ ‎1．在同一平面直角坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)表示的曲线大致是________．(填序号)‎ 答案　④‎ 解析　将方程a2x2＋b2y2＝1变形为＋＝1，‎ ‎∵a>b>0，∴<，‎ ‎∴椭圆焦点在y轴上．‎ 将方程ax＋by2＝0变形为y2＝－x，‎ ‎∵a>b>0，∴－<0，‎ ‎∴抛物线焦点在x轴负半轴上，开口向左．‎ 故④符合题意．‎ ‎2．(2016·常州模拟)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为________．‎ 答案　相交 解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．‎ ‎3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是__________________．‎ 答案　 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，‎ 若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.‎ ‎4．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB＝________.‎ 答案　16‎ 解析　直线l的方程为y＝x＋1，‎ 由得y2－14y＋1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝14，‎ ‎∴AB＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.‎ ‎5．(教材改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则AB的最小值为______．‎ 答案　4‎ 解析　由题意可设直线l的方程为y＝m，‎ 代入－y2＝1，得x2＝4(1＋m2)，‎ 所以x1＝＝2，‎ x2＝－2，‎ 所以AB＝|x1－x2|＝4，‎ 所以AB＝4≥4，‎ 即当m＝0时，AB有最小值4.‎ 第1课时　直线与圆锥曲线 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　(2016·无锡模拟)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：‎ ‎(1)有两个不重合的公共点；‎ ‎(2)有且只有一个公共点；‎ ‎(3)没有公共点．‎ 解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，‎ 得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③‎ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.‎ ‎(1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．‎ 思维升华　(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.‎ ‎(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．‎ ‎　(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，‎ 交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ 解　(1)由已知得M(0，t)，P，‎ 又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px整理，得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝，因此H.‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．‎ 代入y2＝2px，得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．‎ 题型二　弦长问题 例2　(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎(1)当AM＝AN时，求△AMN的面积．‎ ‎(2)当2AM＝AN时，证明：0，由AM＝AN及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.‎ 又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.‎ 将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0，‎ 解得y＝0或y＝，所以y1＝.‎ 因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.‎ ‎(2)证明　设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，‎ 代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，‎ 由x1·(－2)＝，得x1＝，‎ 故AM＝|x1＋2|＝.‎ 由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋2)，‎ 故同理可得AN＝.‎ 由2AM＝AN，得＝，‎ 即4k3－6k2＋3k－8＝0，‎ 设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，又f()＝15－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以b>0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是4＋2.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)设椭圆C1的左，右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E(点D与点A，B不重合)，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD＝PE.‎ ‎(1)解　由e＝，知＝，所以c＝a，‎ 因为△PF1F2的周长是4＋2，所以2a＋2c＝4＋2，‎ 所以a＝2，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，‎ 所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，‎ 所以E(x0,0)，‎ 因为⊥，所以可设C(2，y1)，‎ 所以＝(x0＋2，y0)，＝(2，y1)，‎ 由∥可得(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝.‎ 所以直线AC的方程为＝，‎ 整理得y＝(x＋2)．‎ 又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得y＝，即点P的坐标为(x0，)，所以P为DE的中点，‎ 所以PD＝PE.‎ 题型三　中点弦问题 命题点1　利用中点弦确定直线或曲线方程 例3　(1)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为______________．‎ ‎(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)x＋2y－8＝0‎ 解析　(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3.‎ 所以E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则＋＝1，且＋＝1，‎ 两式相减得＝－.‎ 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，‎ 所以＝－，‎ 故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，‎ 即x＋2y－8＝0.‎ 命题点2　由中点弦解决对称问题 例4　(2015·浙江)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．‎ 解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为 y＝－x＋b.由 消去y，得x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①‎ 将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－.②‎ 由①②得m＜－或m＞.‎ ‎(2)令t＝∈∪，则 AB＝·，‎ 且O到直线AB的距离为d＝.‎ 设△AOB的面积为S(t)，‎ 所以S(t)＝·AB·d＝ ≤，‎ 当且仅当t2＝时，等号成立．‎ 故△AOB面积的最大值为.‎ 思维升华　处理中点弦问题常用的求解方法 ‎(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋‎ x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．‎ ‎(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．‎ ‎(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．‎ ‎　设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线．‎ ‎(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；‎ ‎(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围．‎ 解　(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y)．‎ 再根据抛物线的定义得AF＝2，即(2x)2＋y2＝4，‎ 所以轨迹C的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，‎ 可知 两式相减，得 ‎4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，‎ 将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，‎ ＝－代入上式，得k＝－.‎ 又点P在弦MN的垂直平分线上，‎ 所以y0＝－k＋m.‎ 所以m＝y0＋k＝y0.‎ 由点P(－，y0)在线段BB′上 ‎(B′，B为直线x＝－与椭圆的交点，如图所示)，‎ 所以yB′0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为______．‎ 答案　 解析　双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，‎ 由方程组消去y，‎ 得x2－x＋1＝0有唯一解，‎ 所以Δ＝()2－4＝0，＝2，‎ e＝＝＝ ＝ .‎ ‎6．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，则|FA－FB|的值为________．‎ 答案　8 解析　依题意知F(2,0)，所以直线l的方程为y＝x－2，‎ 联立方程，得 消去y，得x2－12x＋4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1x2＝4，x1＋x2＝12，‎ 则|FA－FB|＝|(x1＋2)－(x2＋2)|‎ ‎＝|x1－x2|＝ ‎＝＝8.‎ ‎7．在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为________．‎ 答案　(－2,4)，(1,1)‎ 解析　设直线MN的方程为y＝－x＋b，‎ 代入y＝x2中，整理得x2＋x－b＝0，‎ 令Δ＝1＋4b>0，∴b>－.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，‎ ＝－＋b＝＋b，‎ 由(－，＋b)在直线y＝x＋3上，‎ 即＋b＝－＋3，解得b＝2，‎ 联立解得 ‎8．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则AB的最大值为________．‎ 答案　6‎ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，‎ 那么AF＋BF＝x1＋x2＋2，‎ 又AF＋BF≥AB⇒AB≤6，当AB过焦点F时取得最大值6.‎ ‎9．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．‎ 答案　3x＋4y－13＝0‎ 解析　设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，‎ 由于A，B两点均在椭圆上，‎ 故＋＝1，＋＝1，‎ 两式相减得 ＋＝0.‎ 又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，‎ ‎∴kAB＝＝－.‎ ‎∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．‎ 即3x＋4y－13＝0.‎ ‎10．已知双曲线C：x2－＝1，直线y＝－2x＋m与双曲线C的右支交于A，B两点(A在B的上方)，且与y轴交于点M，则的取值范围为________．‎ 答案　(1,7＋4)‎ 解析　由可得x2－4mx＋m2＋3＝0，‎ 由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，‎ 设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，则得m>1，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x11得，的取值范围为(1,7＋4)．‎ ‎11.如图，定直线l的方程为x＝－4，定点F的坐标为(－1,0)，P(x，y)为平面上一动点，作PQ⊥l于Q，若PQ＝2PF.‎ ‎(1)求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎(2)过定点F作直线交曲线E于A、B两点，若曲线E的中心为O，且＋3＝2，求三角形OAB的面积．‎ 解　(1)由|x＋4|＝2，‎ 化简得轨迹E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线AB的方程为ky＝x＋1，与椭圆方程联立消去x得(3k2＋4)y2－6ky－9＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎∵＋3＝2，O(0,0)，F(－1,0)，∴y1＝－2y2.‎ ‎∴y1＝，y2＝，‎ ‎∴＝，∴k2＝.‎ ‎∴AB＝|y1－y2|＝，‎ 又点O到直线AB的距离d＝，‎ ‎∴S△OAB＝＝.‎ ‎12. (2016·泰州模拟)设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左，右焦点，P为椭圆C上任意一点，且·的最小值为0.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值．‎ 解　(1)设P(x，y)，则＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，‎ ‎∴·＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，x∈[－a，a]，‎ 由题意，得1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，‎ 则Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，‎ 化简得m2＝2k2＋1.‎ 设d1＝F1M＝，d2＝F2N＝.‎ ‎①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，‎ 则|d1－d2|＝MN·|tan θ|，‎ ‎∴MN＝·|d1－d2|，‎ ‎∴S＝··|d1－d2|·(d1＋d2)＝＝＝，‎ ‎∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋>2，即S<2.‎ ‎②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S＝2.‎ ‎∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2.‎ ‎13. (2015·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．‎ 解　(1)由题意，得＝且c＋＝3，‎ 解得a＝，c＝1，则b＝1，‎ 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．‎ 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将AB的方程代入椭圆方程，‎ 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，‎ 则x1,2＝，‎ 故C的坐标为，‎ 且AB＝ ‎＝＝.‎ 若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．‎ 从而k≠0，故直线PC的方程为 y＋＝－，‎ 则P点的坐标为，‎ 从而PC＝.‎ 因为PC＝2AB，所以＝，‎ 解得k＝±1.‎ 此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.‎