2017-2018学年福建省泉港区第一中学高二上学期期中考试 数学（理）

2017-2018学年福建省泉港区第一中学高二上学期期中考试 数学（理）

泉港一中 2017-2018 学年上学期期中考试 高二年级理科数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，共 60 分) 1．已知椭圆与双曲线 的焦点相同，且短轴长为 ，则此椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2．现要完成下列 3 项抽样调查： ①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查． ②科技报告厅有 32 排，每排有 40 个座位.有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后， 为了听取意见，需要请 32 名听众进行座谈． ③某中学共有 160 名教职工，其中一般教师 120 名，行政人员 32 名，后勤人员 8 名．为 了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本． 较为合理的抽样方法是（ ） A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 B．①简单随机抽样，②系统抽样，③ 分层抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简 单随机抽样 3．已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 4. 执行如右图所示程序框图，则输出 的值为（ ） A. B. C. D. 5．在区间 上随机取一个数 ，使得 成立的概率是（ ） A. B. C. D. 6.从装有 个红球和 个黑球的口袋内任取 个球，那么互斥而不对立的 两个事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球 C. 至少有一个黑球与至少有 个红球 D. 恰有 个黑球与恰有 个黑球 7.如图，在边长分别为 和 的矩形内有由函数 的图象和 轴围成的区域（阴影部 分），李明 同学用随机模拟的方法估算该区域的面积.若在矩形内每次随机产生 个 点，并记录落在该区域内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在该区域内点 的个数平均值为 个，若 的近似值为 ，则该区域的面积约为（ ） A. B. C. D. 2 2 112 4 x y− = 6 2 2 15 x y+ = 2 2 15 yx + = 2 2 125 9 x y+ = 2 2 19 25 x y+ = 2 2 12 1 x y m m + =+ − m 2 1m− < < 1m > 2m < − 1m > 2m < − i 3 4 5 6 (0, )2 π x 0 tan 1x< < 1 8 1 3 2 π 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2π siny x= x 9000 3000 π 3 3 4 5 6 8. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数 ，给出下列两个命题： 命题 ：若 ，则 ； 命题 ： ， . 则下列叙述正确的是（ ） A. 的否命题是：若 ，则 B. 是假命题 C. 为： ， D. 是假命题 10．已知双曲线 的中心为原点，点 是双曲线 的一个焦点，点 到渐近线的距离 为 1， 则 的方程为（ ） A. B. C. D. 11.椭圆 上的一点 关于原点的对称点为 ， 为它的右焦点， 若 ，则 的面积是（ ） A． B. C. D. 12. 已知两定点 和 ，动点 在直线 : 上移动， 椭圆 以 ， 为焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共 4 小题，共 20 分) 13．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上任意一点，则 的 周长为 14.不透明袋子中放有大小相同的 个球，球上分别标有号码 , , , , ，若从袋中任取三 个球，则这三个球号码之和为 的倍数的概率为 15．已知 ， ，如果 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 16． 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上任意一点。下列结论中正确的 是 A B ( , )P x y C A B P C 2 5 5 2 10 5 5 5 10 5 4 5 3 5 2 5 1 5 ( ) 3 2xf x x−= − p 0 1x ≥ ( )0 1f x < − q [ )0 1,x∃ ∈ +∞ ( )0 3f x > − p 0 1x < ( )0 1f x < − p q¬ [ )0 1,x∀ ∈ +∞ ( )0 3f x > − q¬ C ( )2,0F C F C 2 2 13 x y− = 2 2 13 yx − = 2 2 1x y− = 2 2 12 2 x y− = 2 2 116 4 x y+ = F AF BF⊥ AFB∆ 2 2 3 4 4 3 ( )2,0A − ( )2,0B l 4+−= xy 2 2 : 1169 144 x yC + = 1 2,F F P C 1 2PF F∆ 5 1 2 3 4 5 5 :p x k< 3: 11q x <+ p¬ q¬ k F 2: 2 ( 0)E y px p= > A E ①当点 为坐标原点时， 为最短；②以线段 为直径的圆必与 轴相切； ③若点 是抛物线 上异于点 的一点，则当直线 过焦点 时， 取得最 小值； ④点 、 、 是抛物线 上异于点 的不同两点，若 、 、 成等差数列， 则点 、 、 的横坐标亦成等差数列。 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17.（本小题满分 10 分） 双十一网购狂欢，快递业务量猛增．甲、乙两位快递员 月 日到 日每天送件数量的茎 叶图如图所示． （Ⅰ）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可）； （Ⅱ）从乙送件数量中随机抽取 个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概 率． 18. （本小题满分 12 分） 已知命题 函数 的定义域为 ，命题 函数 在 上是增函数. （Ⅰ）若 为真，求 的范围； （Ⅱ）若“ ”为真命题，“ ”为假命题，求 的取值范围. 19.（本小题满分 12 分） 已知在平面直角坐标系中，动点 到定点 的距离与它到定直线 的 距离之比为常数 . （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； A AF AF y B E A AB F AF BF+ A B C E A AF BF CF A B C 11 12 17 2 :p ( ) ( )2lg 1f x mx mx= + + R :q ( ) 2 2 1g x x x= − − [ ),m +∞ p m p q∨ p q∧ m M ( )3,0F − 33 4: −=xl 2 3 M Γ （Ⅱ）设点 ，若 是（Ⅰ）中轨迹 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程. 20. （本小题满分 12 分） 已知双曲线 的右焦点 为圆 的圆心，且其渐近线与该圆 相切. （Ⅰ）求双曲线 的方程； （Ⅱ）已知点 也是抛物线 : 的焦点，且直线 过点 交抛物线 于 ， 两点，是否存在直线 ，使得 恰为弦 的中点？若存在，求出直线 方程；若不存在， 请说明理由． 21．(本小题满分 12 分) 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住 宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过 12 吨时，按 4 元/吨计算水费；若用水 量超过 12 吨且不超过 14 吨时，超过 12 吨部分按 6.60 元/吨计算水费；若用水量超过 14 吨 时，超过 14 吨部分按 7.80 元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽 样，获得了 100 户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照 ， ，…， 分 成 8 组，制成了如图 1 所示的频率分布直方图. （图 1） （图 2） （Ⅰ）试估计 100 户居民用水价格的平均数和中位数； （Ⅱ）如图 2 是该市居民李某 2017 年 1～6 月份的月用水费 (元)与月份 的散点图， 其拟合的线性回归方程是 . 若李某 2017 年 1～7 月份水费总支出为 294.6 元，试估计李某 7 月份的用水吨数． 11, 2A     P Γ PA M 2 2 2 2: 1x y a b Γ − = F 2 2 4 3 0x y x+ − + = Γ F C 2 2y px= l ( )2,1E C M N l E MN l [ ]0,2 (2,4] ( ]14,16 y x  2 33y x= + 22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 （ ）的离心率为 ， ， ， ， 的面积为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设 的椭圆上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . 求证： 为定值. 泉港一中 2017-2018 学年上学期期中考试 高二年级理科数学参考答案 一、选择题（共12题，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C D D B B D A C D 二、填空题（共 4 题，共 20 分） 13. 14. 15. 16. ①②④ 三、解答题（共 6 题，共 70 分） 17.（本题 10 分）（Ⅰ）由茎叶图知甲快递员 月 日到 17 日每天送件数量相对乙来说位于 茎叶图的左上方偏多，∴乙快递员的平均送件数量较多． …………3 分 （Ⅱ）甲送件数量的平均数： …………5 分 从乙送件数量中随机抽取 个，基本事件总数 ， 至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的对立事件是抽取的 个送件量都不大于 ， 只有 一种情况 2 2 2 2 1+ =x y a b 0a b> > 3 2 ( ,0)A a (0, )B b (0,0)O OAB∆ P PA y x BMAN ⋅ Γ： 1 Γ M PB N 36 1 5 1k ≤ − 11 12 ( )1 244 246 251 253 262 268 2546x = + + + + + = 2 15n = 2 254 ( )245,252 ∴至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率： ． …………10 分 18．（本题 12 分） 解：（Ⅰ）若 为真， 恒成立 …………1 分 当 时， 为真 …………2 分 当 时，若 为真，则 ， 所以 . …………5 分 综上可得 …………6 分 （Ⅱ）因为函数 的图象是开口向上，对称轴为 的抛物线， 所以，若 为真，则 . …………8 分 若 为真， 为假，则 中一真一假； …………9 分 或 ， 所以 的取值范围为 . …………12 分 19.（本题 12 分） 解：（Ⅰ）设动点 ，由已知可得 ， …………3 分 即 ，化简得 . 即所求动点 的轨迹 的方程为 . …………6 分 （Ⅱ）设线段 的中点为 ,点 的坐标是 ， 由 ，得 ， …………9 分 由点 在椭圆 上,得 , 1 141 15 15p = − = p 2 1 0mx mx+ + > 0m = p 0m ≠ p 2 0 4 0 m m m > ∆ = − < 0 4m< < 0 4m≤ < ( ) 2 2 1g x x x= − − 1x = q 1m ≥ p q∨ p q∧ p q, 0 4 1 m m ≤ <∴ < 0 4 1 m m m < ≥  ≥ 或 m { }0 1 4m m m≤ < ≥或 ),( yxM 3 34 2 3)3( 22 +=++ xyx )3 16 3 38(4 3332 222 ++=+++ xxyxx 14 2 2 =+ yx M Γ 14 2 2 =+ yx PA ),( yxM P 0 0( , )x y        + = += 2 2 1 2 1 0 0 y y xx    −= −= 2 12 12 0 0 yy xx P Γ ( )2 22 1 12 14 2 x y −  + − =   ∴线段 中点 的轨迹方程是 . …………12 分 20. （本题 12 分） 解: （Ⅰ）圆 的圆心为 ，半径为 ， 即有 , 即 , 即 ， …………2 分 双曲线的渐近线方程为 ， …………3 分 由直线和圆相切的条件，可得： 可得双曲线的标准方程为 . …………6 分 （2）因为点 也是抛物线 : 的焦点， 所以抛物线 的方程为 …………7 分 假设存在直线 ，使得 恰为弦 的中点， 设 ， 则 ， 两式作差得： ，即 ． ∴直线 的斜率为 4，此时 的方程为 ，即为 . 经检验满足条件，所以所求直线方程为 …………12 分 （其他方法相应得分） 21．（本题 12 分） 解：（Ⅰ）可估计全市居民用水价格的平均数的平均数为 …………3 分 由于前 4 组的频率之和为 ， 前 5 组的频率之和为 ，故中位数在第 5 组中. 设中位数为 吨，则有 ，所以 ， 即所求的中位数为 吨. …………6 分 (Ⅱ) 设李某 2017 年 1～6 月份的月用水费 （元）与月份 的对应点为 ， PA M 2 21 14 12 4x y   − + − =       2 2 4 3 0x y x+ − + = ( )2,0 1 ( )2,0F 2c = 2 2 4a b+ = by xa = ± 2 2 2 1 1, 3b b a a b = ⇒ = = + 2 2 13 x y− = F C 2 2y px= C 2 8y x= l E MN ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 1 18y x= 2 2 28y x= ( )2 2 1 2 1 28y y x x=− − 1 2 1 2 1 2 8 + 8= 42 y y x x y y − − = = l l ( )1 4 2y x− = − 4 7 0x y− − = 4 7 0x y− − = (1 0.02+3 0.04 5 0.08 7 0.1 9 0.13 11 0.08+13 0.03 15 0.02) 2 7.96× × + × + × + × + × × + × × = 0.04+0.08 0.16 0.2 0.48+ + = 0.04+0.08 0.16 0.2+0.26 0.74+ + = t ( )8 0.13 0.02t − × = 2813t = 2813t = y x ( , ) ( 1,2,3,4,5,6)i ix y i = 它们的平均值分别为 ， ，则 ，又点 在直线 上， 所以 ，因此 ， 所以 7 月份的水费为 元． …………9 分 设居民月用水量为 吨，相应的水费为 元，则 即 当 时， ， 所以李某 7 月份的用水吨数约为 13 吨． …………12 分 22. （本题 12 分） （I）由已知， ，又 解得 ∴椭圆的方程为 . …………………4 分 （II）设椭圆上一点 ，则 . 直线 ： ,令 ，得 . ∴ 直线 ： ,令 ，得 . ∴ …………………7 分 x y 1 2 6 21 6x x x x+ + + = = ( , )x y  2 33y x= + 40y = 1 2 6 240y y y+ + + = 294.6 240 54.6− = t ( )f t 4 , 0 12, ( ) 48 ( 12) 6.6, 12< 14, 61.2 ( 14) 7.8 14 16, t t f t t t t t < ≤ = + − × ≤  + − × < ≤ 4 , 0 12, ( ) 6.6 31.2, 12< 14, 7.8 48, 14 16, t t f t t t t t < ≤ = − ≤  − < ≤ 13t = ( ) 6.6 13 31.2 54.6f t = × − = 3 1, 12 2 c aba = = 2 2 2a b c= + 2, 1, 3.a b c= = = 2 2 14 x y+ = ( )0 0,P x y 2 20 0 14 x y+ = PA ( )0 0 22 yy xx = −− 0x = 0 0 2 2M yy x −= − 0 0 21 2 yBM x = + − PB 0 0 1 1yy xx −= + 0y = 0 0 1N xx y −= − 0 0 2 1 xAN y = + − 将 代入上式得 故 为定值. …………………12 分 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 11 2 2 2 2 2 2 1 4 4 4 8 4 2 2 x yAN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅ = + ⋅ +− − + − + −= ⋅− − + + − − += − − + 2 20 0 14 x y+ = =4AN BM⋅ AN BM⋅