2018-2019学年江苏省常州“教学研究合作联盟”高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江苏省常州“教学研究合作联盟”高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省常州“教学研究合作联盟”高二下学期期中考试数学（理）试题 一、填空题 ‎1．若复数满足（为虚数单位），则复数的实部是_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用复数除法化简复数，结合实部定义求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以实部为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的除法和实部的概念,属于容易题.‎ ‎2．已知，是空间两个单位向量，它们的夹角为，那么 ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求，再求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量模长的求解，模长求解一般是求解模的平方，转化为向量数量积问题.‎ ‎3．若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复平面内对应的点位于第_____象限.‎ ‎【答案】四 ‎【解析】利用待定系数法求出复数，再进行判定.‎ ‎【详解】‎ 设，则，代入可得，由复数相等的定义可得 ‎，即，故在复平面内对应的在第四象限.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查共轭复数的概念及复数简单运算，属于简单题目.‎ ‎4．设,是两个不共线的空间向量，若，，‎ ‎，且三点共线，则实数的值为_______．‎ ‎【答案】4或-1‎ ‎【解析】利用三点共线，可得可求k的值.‎ ‎【详解】‎ 因为三点共线，所以存在实数使得 ‎，‎ 所以，解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的应用,三点共线问题转化为向量平行问题求解.‎ ‎5．若向量,，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】夹角为钝角可得且不反向.‎ ‎【详解】‎ 因为与的夹角为钝角，所以且不同向.‎ ‎，整理得.当反向时，，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的夹角问题, 夹角为钝角可得且不反向；夹角为锐角可得且不同向；夹角为直角可得.‎ ‎6．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．‎ ‎【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.‎ ‎【解析】从命题的否定入手可解.‎ ‎【详解】‎ 反证法先否定命题，故答案为：存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.‎ ‎7．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.‎ ‎【详解】‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.‎ ‎8．我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列的前项和公式.类比得到正项等比数列的前项积公式_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用类比方法和等比数列的性质可求.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质，下标和相等则项积相等.属于容易题.‎ ‎9．用数学归纳法证明等式：，则从到时左边应添加的项为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过式子变化的规律和目标式，可以求解 ‎【详解】‎ 当时，左边= ；‎ 当时，左边= ；‎ 所以左边应添加的项为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数学归纳法步骤，添加项的多少取决于起始项和步长及终了项.‎ ‎10．如图，在直三棱柱中，，，点是棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用基向量表示出,结合异面直线所成角，确定点E的位置，从而可求的长，也可以建立空间坐标系，利用空间向量坐标求解.‎ ‎【详解】‎ 设 ，则，，‎ ‎，，.‎ ‎,‎ 因为异面直线与所成角的余弦值为，所以.‎ 解得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，注意向量夹角与异面直线所成角的范围的不同.‎ ‎11．德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前行的规律，第行的左起第个数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察数表可以发现呈现的规律，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 从数表可以得出，每一行的第一个数的分母就是行数，所以第七行第一个数为；每一个数是它下方相邻两个数的和，所以第七行第二个数为，第三个数为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理，从目标数据提炼呈现的规律是求解这类问题的关键.‎ ‎12．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面法向量，再求点面距.‎ ‎【详解】‎ 以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图，‎ 则 ,由为的中点可得;‎ ‎, .‎ 设为平面的一个法向量，则,即，‎ 令，可得，点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解点到平面的距离，一般是先求解平面的法向量及所求点P和平面内一点A组成的向量，利用公式可得.‎ ‎13．如图，已知正三棱柱中，，分别为的中点，点在直线上且满足若平面与平面所成的二面角的平面角的大小为，则实数的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解.‎ ‎【详解】‎ 以N为坐标原点，NC,NA所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图 则 ,‎ 由可得,‎ ‎,‎ 设为平面的一个法向量，则,即，‎ 令，可得，易知平面ABC的一个法向量为.‎ 因为平面与平面所成的二面角的平面角的大小为 所以，即，所以，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.‎ ‎14．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标的表达式，从而可得最小值.‎ ‎【详解】‎ 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，‎ 则 ,‎ 设,,.‎ ‎,.‎ ‎,‎ 当且时，取到最小值，所以线段长度的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.‎ 二、解答题 ‎15．已知为虚数单位，复数, .‎ ‎（1）若为实数，求的值；‎ ‎（2）若为纯虚数，求.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）为实数可以求出a的值，再计算的值；‎ ‎（2）利用为纯虚数，求出a的值，再求.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，若为实数，则. ‎ 此时，所以 ‎ ‎（2）因为 ， ‎ 若为纯虚数，则，得， ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的四则运算及相关概念，明确纯虚数，实数成立的条件，模长的求解方法.‎ ‎16．已知矩阵 ， .‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）利用矩阵的求解法则进行求解；‎ ‎（2）利用变换规则求出新变量和原来变量之间的关系，再进行代入.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） =；‎ ‎（2）设曲线上任一点坐标为在矩阵对应的变换作用下得到点 则 =，即，解得. ‎ 因为所以整理得，‎ 所以的方程为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查矩阵变换和矩阵运算，明确运算规则是求解关键.‎ ‎17．已知数列满足，，， ‎ ‎（1）求的值并猜想数列的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】（1）利用首项和递推关系，逐个代入可求；‎ ‎（2）利用数学归纳法证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由 ①‎ 得解得或 又所以 将代入①，可得或 又所以 将代入①，可得或 又所以 ‎ 故猜想数列的通项公式为 ‎ ‎（2） ①当时，，猜想成立.‎ ‎②假设当时，猜想成立，即 则当时，由①得 即 即 即 即 即 解得或 ‎ 又所以故当时，猜想成立.‎ 综上：由①②得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数学归纳法的应用，利用数学归纳法证明等式时，注意利用条件和假设进行代换.‎ ‎18．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，点,分别是,的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若点为棱上一点，且平面平面， 求证：‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析.‎ ‎【解析】（1）利用平面法向量和直线的方向向量垂直可得；‎ ‎（2）先利用平面平面，确定M的位置，再证明垂直.‎ ‎【详解】‎ ‎ 平面，平面 ‎ ‎ 平面，平面 ‎ 又因为所以，则两两垂直，则以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 则各点的坐标为 因为点分别是，的中点，所以 ‎ ‎（1）证明：设平面的一个法向量为 因为 由得，令所以 则 因为所以 ‎ 又平面所以平面. ‎ ‎（2）证明：因为为棱上一点，所以 ‎ 设则，所以 即所以 ‎ 设平面的一个法向量为则 所以消去可得 令则所以 ‎ 平面平面 则所以 ‎ 从而因为所以 则即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用空间向量证明位置关系，线面平行可以转化为平面法向量和直线方向向量垂直来实现，线线垂直可以转化为两直线的方向向量垂直.‎ ‎19．如图，在正三棱柱中，所有棱长都等于.‎ ‎（1）当点是的中点时，‎ ‎ ①求异面直线和所成角的余弦值；‎ ‎ ②求二面角的正弦值；‎ ‎（2）当点在线段上（包括两个端点）运动时，求直线与平面 所成角的正弦值的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角和二面角的求解方法求解；‎ ‎（2）设出M的坐标，利用空间向量求出线面角的目标式，结合目标式的特征求解范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取的中点为建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎ 当是的中点时，则 ‎①‎ 设异面直线和所成角为则= ‎ ‎② 设平面的一个法向量为 则 所以令则 ‎ 设平面的一个法向量为则 令 ‎ 设二面角的平面角为，‎ 则 ‎ 所以 ‎（2）当在上运动时，设 设 ‎ 则 ‎ 设直线与平面所成的角为则 ‎ ‎ 设设所以 ‎ ‎ 设 ‎ ‎ 直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解异面直线所成角转化为两条直线方向向量的夹角问题；二面角和线面角转化为平面法向量和直线方向向量的夹角问题.‎ ‎20．（1）是否存在实数，使得等式 对于一切正整数都成立？若存在，求出，，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎（2）求证：对任意的，.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析.‎ ‎【解析】（1）对n进行赋值，代入，求解方程组可求,证明使用数学归纳法；‎ ‎（2）利用数学归纳法的步骤证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在等式 中 令得①；令得②；‎ 令得③；由①②③解得 对于都有 成立.‎ 下面用数学归纳法证明：对一切正整数，式都成立.‎ ‎①当时，由上所述知式成立；‎ ‎②假设当时式成立，‎ 即 ， ‎ 那么当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上：由①②得对一切正整数，式都成立，所以存在时题设的等 式对于一切正整数都成立. ‎ ‎（2）证明：‎ ‎①当时，左式，右式，所以左式<右式，则时不等式成立；‎ ‎②假设当时不等式成立，即，‎ 那么当时， ‎ 下面证明当时，.‎ 设 ，则所以在上单调增，所以即时，.‎ 因为，所以则 ‎ 因为 所以 由得 那么时不等式也成立.‎ 综上：由①②可得对任意 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数学归纳法的应用，利用数学归纳法证明等式时注意利用假设条件，利用数学归纳法证明不等式时注意放缩.‎