【数学】2019届一轮复习北师大版 离散型随机变量及其分布列 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 离散型随机变量及其分布列 学案

‎ 离散型随机变量及其分布列 知识精讲·‎ ‎·‎ 一．离散型随机变量及其分布列 ‎1．离散型随机变量 ‎ ‎2．分布列：‎ ‎（1）的分布列 ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ ‎（2）分布列的性质：①；②．‎ 二．离散型随机变量的均值和方差 ‎1．期望：‎ ‎（1）离散型随机变量的分布列如下：‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 数学期望简称为期望：‎ ‎（2）期望的意义： 越大，说明总体的平均数越大，反之，就越小．‎ ‎（3）期望的性质：‎ ‎①（为常数）；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④；‎ ‎⑤（相互独立时）．‎ ‎2．方差：‎ ‎（1）设离散型随机变量的分布列为：‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 标准差：，记作．‎ ‎（2）方差的意义：变即随机变量取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越分散，稳定性越差，波动性越大．‎ ‎（3）方差的性质：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③．‎ 三．超几何分布 ‎1．超几何分布列： ，其中，且 ‎…‎ ‎…‎ ‎2．若服从参数为的超几何分布，则（如果，则由，可得 ‎）．‎ 四．二项分布 ‎1．两点分布：‎ ‎2．若服从参数为的二点分布，则；．‎ 五．正态分布 ‎1．正态分布密度函数 ‎，,其中是圆周率；是自然对数的底；是随机变量的取值；为正态分布的均值；是正态分布的标准差．‎ 正态分布一般记为．当时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，‎ ‎ 2．若，则；．‎ ‎3．正态分布的意义：当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 考试内容 要求层次 统计与概率 取有限值的离散型随机变量及其分布列 掌握 事件的独立性 了解 取有限值的离散型随机变量的均值、方差 理解 超几何分布 了解 次独立重复试验与二项分布 理解 正态分布 了解 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：离散型随机变量及其分布列 例1.1.1 某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：‎ 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人．‎ ‎(1)求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率；‎ ‎(2)设拳击社团有X名女生被抽出，求X的分布列．‎ ‎【答案】 ；见解析 ‎【解析】 (1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人，‎ ‎ ；‎ ‎ 设A为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”， ‎ 则 . (2)由题意可知：X＝0,1,2，‎ ‎ , ,‎ ‎ , X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例1.1.2 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．‎ ‎【答案】 （Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎（Ⅲ）ξ的分布列是 ‎ ‎【解析】 （Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，‎ 总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．‎ 满足条件的事件数是A33，‎ 那么P(EA)==，‎ 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是．‎ ‎（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，‎ 满足条件的事件数是A44，‎ 那么P(E)==，‎ ‎∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=．‎ ‎（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，‎ 则P(ξ=2)==．‎ ‎∴P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=，ξ的分布列是 ‎ 题模二：离散型随机变量的期望和方差 例1.2.1 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：‎ 若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；‎ 如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为，求X的分布列和数学期望；‎ 在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）‎ ‎【答案】 （1）（2）见解析；15（3）6，7，8‎ ‎【解析】 （1）记“从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A，‎ 由题意，得，‎ 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为．‎ ‎（2）由题意，X的所有可能取值为13，15，16，18，‎ 且，，，，‎ 所以X的分布列为：‎ 所以．‎ ‎（3）x的可能取值为6，7，8．‎ 例1.2.2 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：‎ 若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；‎ 如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为，求X的分布列和数学期望；‎ 在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）‎ ‎【答案】 （1）（2）见解析；15（3）6，7，8‎ ‎【解析】 （1）记“从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A，‎ 由题意，得，‎ 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为．‎ ‎（2）由题意，X的所有可能取值为13，15，16，18，‎ 且，，，，‎ 所以X的分布列为：‎ 所以．‎ ‎（3）x的可能取值为6，7，8．‎ 题模三：超几何分布 例1.3.1 设15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回．若以X表示取出次品的个数．‎ ‎（1）求X的分布列；‎ ‎（2）求X的数学期望和方差．‎ ‎【答案】 （1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】 （1）的取值为0，1，2，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故的分布列为：‎ ‎（2）；‎ ‎．‎ 例1.3.2 某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图4表示如下（单位：）：‎ 男生成绩在以上（包括）定义为“合格”，成绩在以下（不包括）定义为“不合格”．‎ 女生成绩在以上（包括）定义为“合格”，成绩在以下（不包括）定义为“不合格”．‎ ‎（I）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；‎ ‎（II）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；‎ ‎（III）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用表示其中男生的人数，写出的分布列，并求的数学期望．‎ ‎【答案】 （I）cm．‎ ‎（II）．‎ ‎（III）X的分布列如下：‎ ‎∴（人）．‎ ‎（或是，因为X服从超几何分布，所以（人）‎ ‎【解析】 （I）五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm．‎ ‎（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率为P，则P＝P（A）＋P（B），又男生共12人，其中有8人合格，从而 ‎，‎ ‎，所以．‎ ‎（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2．‎ 则，，，‎ 因此，X的分布列如下：‎ ‎∴（人）．‎ ‎（或是，因为X服从超几何分布，所以（人）‎ 题模四：二项分布 例1.4.1 口袋中装有2个白球和个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．‎ 用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；‎ 若，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；‎ 记3次摸球中恰有1次中奖的概率为，当取得最大值时，求n的值．‎ ‎【答案】 （1）（2）（3）2‎ ‎【解析】 （1）设“1次摸球中奖”为事件A，‎ 则P（A）=．‎ ‎（2）由（1）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，‎ ‎∴3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P3（1）==3×．‎ ‎（3）设“1次摸球中奖”的概率为p，‎ 则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为：‎ f（p）==3p3-6p2+3p，（0＜p＜1），‎ ‎∵f′（p）=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），‎ ‎∴当pÎ（0，）时，f（p）取得最大值，‎ 令=，解得n=2或n=1（舍），‎ ‎∴当f（p）取得最大值时，n的值为2．‎ 例1.4.2 甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．‎ ‎（1）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；‎ ‎（2）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．‎ ‎【答案】 （1）（2）‎ ‎【解析】 （1）记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A．……（1分）‎ 因为甲每次投篮命中的概率为，‎ 所以甲投篮一次且没有命中的概率为．……（2分）‎ 同理，乙投篮一次且没有命中的概率为．……（3分）‎ 所以．‎ 即甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为．……（6分）‎ ‎（2）记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B．……（7分）‎ 因为甲每次投篮命中的概率为，所以甲投篮3次，且都没命中的概率为．……（9分）‎ 甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为．……（11分）‎ 所以．‎ 甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为．……（13分）‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1 某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在区投篮2次或选择在区投篮3次．在区每进一球得2分，不进球得0分；在区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在区和区每次投篮进球的概率分别为和．‎ ‎（Ⅰ）如果选手甲以在、区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？‎ ‎（Ⅱ）求选手甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率．‎ ‎【答案】 见解析．‎ ‎【解析】 （Ⅰ）方法一 设选手甲在区投两次篮的进球数为，则，故，则选 手甲在区投篮得分的期望为．设选手甲在区投篮的进球数为，则 ‎，故，则选手甲在区投篮得分的期望为．‎ ‎，选手甲应该选择区投篮．‎ 方法二：‎ ‎（Ⅰ）设选手甲在区投篮的得分为，则的可能取值为0，2，4，‎ 所以的分布列为 ‎，同理，设选手甲在区投篮的得分为，则的可能取值为0，3，6，9，‎ 所以的分布列为：‎ ‎，，选手甲应该选择区投篮．‎ ‎（Ⅱ）设选手甲在区投篮得分高于在区投篮得分为事件，甲在区投篮得2分在区 投篮得0分为事件，甲在区投篮得4分在区投篮得0分为事件，甲在区投篮得4分在区投篮得3分为事件，则，其中为互斥事件．‎ 则：‎ 故选手甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率为．‎ 随练1.2 在某校开展的“阳光体育”系列活动中，甲、乙两班之间进行了一次米跑的团体比赛．每个班各派出5名同学比赛，讲每名同学的米成绩记录以后（单位：秒，且已知每个成绩都是整数），总用时少的班级获胜，‎ 成绩记录如表所示：‎ 表格中的 若，从甲班的5名同学中任取3名，记这3人中用时少于乙队平均用时的人数为随机变量，求η的分布列；‎ 若最终乙班获胜，那么当乙班同学的成绩方差最大时，的取值是多少（直接写出结果，不用证明）？‎ ‎【答案】 （1）（2）35‎ ‎【解析】 （1）乙队平均用时为：=31，‎ 则随机变量η可取0，1，2，‎ P（η=0）=，‎ P（η=1）=，‎ P（η=2）=，‎ 则η的分布列为：‎ ‎（2）35．‎ 随练1.3 我市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成 实验操作 不合格 合格 良好 优秀 体 能 测 试 不合格 ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 合格 ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ b 良好 ‎1‎ a ‎2‎ ‎4‎ 优秀 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ 绩合格或合格以上的概率是．‎ ‎（Ⅰ）试确定a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ ‎【答案】 （Ⅰ）2；4；‎ ‎（Ⅱ）ξ的分布列为 Eξ为.‎ ‎【解析】 （Ⅰ）由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有（4+a）人，‎ 记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A，‎ 则P（A）=，解得a=2，所以b=30-24-a=4．‎ ‎∴a的值为2，b的值为4． …（4分）‎ ‎（Ⅱ）由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为，‎ 其中实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，‎ 从30人中任意抽取3人，其中恰有 个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为，‎ 所以从30人中任意抽取3人，其中恰有 人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为P（ξ= ）=，（ =0，1，2，3），‎ ξ的可能取值为0，1，2，3，‎ 则P（ξ=0）=，‎ P（ξ=1）=，‎ P（ξ=2）=，‎ P（ξ=3）=，…（8分）‎ 所以ξ的分布列为 Eξ=．…（12分）‎ 随练1.4 甲乙二人进行射击练习，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，‎ ‎（1）若甲乙各射击3次，求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；‎ ‎（2）甲乙各射击n次，为使目标被击中的概率大于0.99，求n的最小值．‎ ‎【答案】 （Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）3‎ ‎【解析】 ‎ ‎（1）甲恰好比乙多击中目标2次，即甲击中目标2次，而乙一次也没有击中目标；或者甲击中目标3次，而乙只击中一次．‎ 甲击中目标2次，而乙一次也没有击中目标的概率为 ()2•（1-）•(1-)3=；‎ 甲击中目标3次，而乙只击中一次的概率为 ()3•(1-)2=，‎ ‎∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为 +=．‎ ‎（2）射击n次，目标没有被击中的概率为 (1-)n•(1-)n，则目标被击中的概率为 1-(1-)n•(1-)n＞0.99，‎ 经过检验，自然数n的最小值为3．‎ ‎·自我总结·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．‎ ‎(Ⅰ)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；‎ ‎(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；‎ ‎(Ⅲ)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.‎ ‎【答案】 见解析．‎ ‎【解析】 (Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为，事件等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”‎ ‎(Ⅱ)由题可知可能取值为0,1,2,3.，，，．‎ ‎(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为，事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”．所以，.‎ 作业2 某班级举行一次“ 普知识”竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计，制成如下频率分布表：‎ 填写频率分布表中的空格；‎ 决赛规则如下：参加决赛的每位同学从给定的5道小题中依次口答，答对3道题就终止答题并获一等奖；如果前3道题都答错就不再答第4、5题而被淘汰．某同学进入决赛，每道题答对的概率均为．‎ ‎①求该同学恰好答满5道题并获一等奖的概率；‎ ‎②记该同学决赛中答题的个数为，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】 （1）见解析（2）①②见解析；‎ ‎【解析】 （1）由频率=，得频率分布表为：‎ ‎（2）①该同学答满5道题并获一等奖，即前4道题回答结果对错，而第5道题答对，‎ ‎∴该同学恰好答满5道题并获一等奖的概率p=．‎ ‎②该同学答题的个数可能为3、4、5，即X的可能取值为3、4、5，‎ X=3时分两种情况：答完3道题获奖或答完3道题淘汰，‎ P（X=3）=，‎ X=4时分两种情况：答完4道题获奖或答完4道题淘汰，‎ P（X=4）=，‎ X=5时分两种情况：答完5道题获奖或答完5道题淘汰，‎ P（X=5）=，‎ ‎∴X的分布列为：‎ E（X）=．‎ 作业3 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：，，，，．‎ ‎（I）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；‎ ‎（II）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】 （I）150‎ ‎（II）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【解析】 （I）∵小矩形的面积等于频率，‎ ‎∴除外的频率和为，‎ ‎，……（3分）‎ ‎500名志愿者中，年龄在岁的人数为（人）．‎ ‎（II）用分层抽样的方法，从中选取20名，‎ 则其中年龄“低于35岁”的人有12名，‎ ‎“年龄不低于35岁”的人有8名．‎ 故的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．……（13分）‎ 作业4 某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．‎ ‎（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】 见解析．‎ ‎【解析】 （Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为，由题意可得每位 乘客在第2层下电梯的概率都是，则．‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为0,1,2,3,4，由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个 人下电梯互不影响，所以，．‎ ‎．‎