【数学】2019届一轮复习苏教版导数学案

【数学】2019届一轮复习苏教版导数学案

课题（17．导数的概念及运算）‎ 一、考试等级：B级 二、知识梳理： ‎ ‎1．平均变化率的概念 一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为 ．‎ ‎2．导数的概念 设函数f(x)在区间(a,b)上有定义，x0Î(a,b)，当Δx®0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比值= ®A，则称f(x)在点x=x0处 ，并称常数A为函数f(x) 在点x=x0处的 ，记作 ．‎ 若函数f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的 ，记作 ． 函数f(x)在点x=x0处的导数 就是导函数f¢(x)在点x=x0处的 ．‎ ‎3．导数的几何意义 函数f(x)在点x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的 ．‎ ‎4．求导数的方法 ‎(1) 八个基本求导公式 ‎(C)¢= ；(xn)¢= ；(sinx)¢= ；(cosx)¢= ；‎ ‎(ex)¢= ；(ax)¢= ；(lnx)¢= ；(logax)¢= ．‎ ‎ (2) 导数的四则运算 ‎(u±v)¢= ； [Cf(x)]¢= ；‎ ‎(uv)¢= ； ()¢= ；‎ 答案：‎ ‎1． ‎2．； 可导； 导数 ；f¢(x0) ；‎ ‎ 导函数； f¢(x) ； f¢(x0) ； 函数值 .‎ ‎3．切线斜率 .‎ ‎4． 0；nxn-1；cosx ；-sinx ；‎ ‎ ex ；axlna ； ； .‎ ‎ m ¢±n ¢ ； Cf ¢(x) ； m ¢n+mn ¢； ‎ 三、教 建议 例1中本题4个小题分别考查了利用导数定义求导及常见函数的导数以及导数的四则运算法则，要求掌握导数的公式以及导数的四则运算并能熟练运用；[ : ]‎ 例1后的变式训练：（目的增加理 的复合函数求导）‎ 求下列函数的导数（1）；（2）‎ 例2可以不讲，删去。‎ 例3中函数在点(x0 , y 0)处的导数是函数图象在点(x0 , y 0)处切线的斜率．已知切点求切线方程与已知切线方程求切点坐标是两个不同的问题，前者直接应用导数的几何意义，后者以导数的几何意义为基础，设出切点，写出切线方程，由于两切线是同一条直线，对应的系数相等，从而求出切点．这是本题第(1)问的解题思想；第(2)问是相近的问题，当切线过曲线外一点时，处理方法还是寻找切点．‎ 例3后的变式训练：‎ 再增加第三问(3)切线的斜率为2．答案：或 另补充题：‎ ‎1.若曲线y＝x2＋1上点P处的切线与曲线y＝－2 x2－1也相切，求点P的坐标．‎ 答案：‎ ‎2.已知，函数图象上有相异两点处的切线分别为，且.‎ （1） 判断函数的奇偶性，并判断两点是否关于原点对称；‎ （2） 若直线都与垂直，求的取值范围.‎ 解：（1） ‎ ‎ 所以为奇函数。‎ 设、，且 又 ‎∴且 ∴‎ 又因为为奇函数，所以两关于原点对称。‎ （2） 由（1）知、，，‎ ‎，∵直线都与垂直 ‎∴，‎ 令，即方程有非负根 ‎，即 又，∴，∴‎ ‎∴‎ 四、易错题、补练题 ‎（1） 己知，则= ． -4‎ ‎（2）抛物线上到直线y＝2x－4的距离最短的点P的坐标是_______．‎ ‎（3）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．(－2,15) ‎ ‎（4）曲线在点处的切线的斜率为 . ‎ ‎（5）偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式. ‎ 解 ∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1. ① 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ‎∴b=0,d=0. ② ‎∴f(x)=ax4+cx2+1. ‎∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,∴可得切点为(1,-1). ‎∴a+c+1=-1. ③ ‎∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c,∴4a+2c=1. ④ 由③④得a=,c=.∴函数y=f(x)的解析式为 课题（18．导数在研究函数中的应用）‎ 课本中典型习题 ‎1.选修2-2 P26 习题15：设曲线，直线及围成的封闭图形的面积为求 ‎2. 选修2-2 P34 习题9：（1）求内接于半径为的圆且面积最大的矩形；‎ ‎（2）求内接于半径为的球且体积最大的圆柱。‎ 一、 考试等级：B级 二、知识梳理： ‎ ‎1．函数的单调性 设函数y=f(x)，如果在某个区间上f¢(x)>0，那么f(x)为该区间上的 ； 如果在某个区间上 ，那么f(x)为该区间上的减函数．‎ ‎2．函数的极值 设函数y=f(x)，如果在点x=x0的左侧，函数单调递增，即 ；在点x=x0的右侧，函数单调递减，即 ；而在点x=x0处有 则称f(x0)为函数f(x)的 ， 是函数f(x)的极大值点；‎ 如果在点x=x0的左侧，函数单调递减,即 ；在点x=x0的右侧，函数单调递增，即 ；而在点x=x0处有 则称f(x0)为函数f(x)的 ， 是函数f(x)的极小值点．‎ ‎3．函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值 先求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 ；再将 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ 答案：‎ ‎1． 增函数 ； f¢(x)<0 ‎ ‎2． f¢(x)>0 ； f¢(x)<0 ；f¢(x)=0 ； 极大值 ； x0 ；‎ f¢(x)<0 ； f¢(x)>0 ； f¢(x)=0 ； 极小值 ； x0 ．‎ ‎3． 极值； 极值； 端点处的函数值f(a)，f(b)．‎ 三、教 建议 例1和例2解决利用导数判断函数的单调区间及求函数的极值与最值，例2中第2问注意检验．‎ 例2讲完后，提醒 生正确区分“”与“”，可以补练 设函数，‎ ‎（1）若，求函数在上的最小值；‎ ‎（2）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求函数的极值点．‎ 解：（1）；‎ ‎（2）使在上有解，得 ‎（3）当时，没有极值点；‎ 当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点．‎ ‎ 例3解决函数恒成立和函数零点个数问题，‎ 补练： 已知函数在点处的切线方程为 ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎(2)若对于区间上任意两点，都有，求实数的取值范围 ‎（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围 解：（1）‎ ‎（2）令 ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大 极小 ‎ ‎ ‎（3）点不在曲线上，设切点为 ‎ ，‎ 由题意可知方程（*）有三个不同的解 令，令 ‎+‎ ‎—‎ ‎+‎ 极大 极小 例4：已知函数，若函数的单调区间为 （1） 求 （2） 若 ‎ ‎ ‎ (2)由（1）知 ‎ [ : ]‎ ‎ ‎ 四、易错题训练 ‎(1) 函数的单调递增区间是______ ．‎ 容易忽略定义域 ‎(2)x ‎－2‎ ‎2‎ y O ‎ ‎ 已知函数的导函数是二次函数，右图是的图象，若 的极大值与极小值之和为，则的值为 ．‎ ‎（3）若函数在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 ．‎ ‎（4）若，则函数在区间上恰好有 个零点．1‎ ‎（5）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2‎ ‎(I)若f(x)在x＝1处有极值10,求a,b的值；‎ ‎(II)若b=a,且f(x)有极大值又有极小值,求实数a的取值范围．‎ 解析: (I)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2,得f′(x)＝3x2＋2ax＋b,‎ 根据已知条件即 解得或(经检验应舍去)‎ ‎(II)若b=a,则f′(x)＝3x2＋2ax＋a,‎ ‎∵函数f(x)有极大值和极小值,∴方程3x2＋2ax＋a＝0有两个不相等的实根．‎ 即Δ＝4a2－12a>0,∴a>3或a<0.‎ 题5容易忘记检验 ‎（6）设.‎ ‎(I)若在上存在单调递增区间，求的取值范围；‎ ‎(II)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.‎ 解： (I)．当时，的最大值为．令，得．所以当时，在上存在单调递增区间.‎ ‎ 即在上存在单调递增区间时，的取值范围是．‎ ‎ (II)令，得两根，，所以在，上单调递减，在上单调递增．当时，有，所以在上的最大值为．又，即．‎ 所以在上的最小值为，得，，从而在上的最大值为.‎ 题6中（1）容易多等号。‎ 课题（19．导数的综合应用）‎ 课本中典型例题、习题 1. 选修2-2例4：强度分别为在连接两光源的线段AB上，何处照度最小？试就时回答上述问题。（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）‎ 2. 选修2-2例5在经济 中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为，出售单位产品的收益称为收益函数，记为称为利润函数，记为 （1） 如果，那么生产多少单位产品时，边际成本最低？‎ （2） 如果，产品的单价，那么怎样定价可使利润最大？‎ 3. 选修2-2练习4有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段。为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距正比于车速的平方与自身长的积，且车距不得小于半个车身长，而当车速为时，车距为个车身长。在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道的车流量最大？‎ 一、考试等级：B级 二、知识梳理： ‎ ‎1.实际应用 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：‎ ‎(1)分析实际问题中变量之间的关系，建立实际问题的数 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x)；‎ ‎(2)求函数的导数f¢ (x)，解方程f¢ (x)=0；‎ ‎(3)比较函数在区间端点和使f¢ (x)=0的点处的函数值的大小，最大(小)的为最大(小)值；‎ ‎(4)写出答案．‎ ‎2.恒成立、存在性问题 设函数y=f (x)在区间[a,b]上的值域为[M,N]，则关于x的方程f(x)=m在区间[a,b]上有解，则m的取值范围是 ；若存在xÎ[a,b]，使不等式f(x)>m成立，则m的取值范围是 ；若任意xÎ[a,b]，不等式f(x)£m都成立，则m的取值范围是 ．‎ 答案：‎ ‎[M,N] ； (-¥,N) ； [M,+¥) ．‎ 三、 教 建议 例1是对字母的分类讨论问题，是导数中的热点，同时也是难点问题，必须掌握好。另外，好的 校还可以增加（2）证明：若 证明：考虑函数 ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 例2的变式训练：请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/、100元/，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？‎ 解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为，且，‎ 则该仓库的侧面总造价 ‎，‎ ‎ 由得，即，‎ ‎ 经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m．‎ ‎（法二）设圆锥的高为m，且，‎ 则该仓库的侧面总造价 ‎ ‎， ‎ 由得，经检验得，当时，侧面总造价 最小，此时圆锥的高度为m．‎ 四、 易错题训练 ‎（1）函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 ．‎ ‎（2）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为 ．[ : ]‎ ‎（3）已知函数的图像在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．‎ ‎（4）若函数，点在曲线上运动，作轴，垂足为，‎ 则△（为坐标原点）的周长的最小值为______ ．‎ ‎8m ‎1m ‎（5）如图所示，一条直角走道宽分别为1m和8m，若一根铁棒EF能水平地通过此不等宽直角走道，求此铁棒的最大长度．‎ 解：设，则，‎ 当时，有最小值，所以铁棒的最大长度 ‎[ : ]‎