2014四川（文科数学）高考试题

2014四川（文科数学）高考试题

‎2014·四川卷(文科数学)‎ ‎1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝(　　)‎ ‎　 　　　　　 　　　　　 　　　　‎ A．{－1，0} B．{0，1}‎ C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}‎ ‎1．D　[解析] 由题意可知，集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩B＝{－1，0，1，2}．故选D.‎ ‎2．、[2014·四川卷] 在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是(　　)‎ A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 ‎2．A　[解析] 根据抽样统计的概念可知，统计分析的对象全体叫做“总体”．故选A.‎ ‎3．[2014·四川卷] 为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点(　　)‎ A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 ‎3．A　[解析] 由函数y＝sin x的图像变换得到函数y＝sin(x＋1)的图像，应该将函数y＝sin x图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.‎ 图11‎ ‎4．[2014·四川卷] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图11所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)(　　)‎ A．3 B．2 C. D．1‎ ‎4．D　[解析] 由图可知，三棱锥的底面为边长为2的正三角形，左侧面垂直于底面，且为边长为2的正三角形，所以该三棱锥的底面积S＝×2×，高h＝，所以其体积V＝Sh＝××＝1，故选D.‎ ‎5．[2014·四川卷] 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)‎ A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ ‎5．B　[解析] 因为c＜d＜0，所以＜＜0，即－＞－＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－＞－＞0，‎ 所以<，故选B.‎ ‎6．、[2014·四川卷] 执行如图12的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S 的最大值为(　　)‎ 图12‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．C　[解析] 题中程序输出的是在的条件下S＝2x＋y的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x＝1，y＝0时，S＝2x＋y取最大值2，2>1，故选C.‎ ‎7．、[2014·四川卷] 已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)‎ A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c ‎7．B　[解析] 因为5d＝10，所以d＝log510，所以cd＝lg b·log510＝log5b＝a，故选B.‎ ‎8．、[2014·四川卷] 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ 图13‎ A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m ‎8．C　[解析] 由题意可知，AC＝＝120.‎ ‎∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 于是BC＝＝＝120(－1)(m)．故选C.‎ ‎9．、[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是(　　)‎ A．[，2 ] B．[，2 ]‎ C．[，4 ] D．[2，4 ]‎ ‎9．B　[解析] 由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，‎ 则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，‎ 所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，即|PA|＋|PB|≥|AB|＝.‎ 又|PA|＋|PB|＝＝‎ ≤‎ ＝2 ，‎ 所以|PA|＋|PB|∈[，2 ]，故选B.‎ ‎10．[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．3 C. D. ‎10．B　[解析] 由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴·＝y1y2＋yy＝2，‎ 解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.‎ 当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝ (x－y)，‎ 令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．‎ 于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥×2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝.而>3，故选B.‎ ‎11．[2014·四川卷] 双曲线 －y2＝1的离心率等于________．‎ ‎11.　[解析] 由已知及双曲线的概念知，a＝2，b＝1，故c＝＝，‎ 故该双曲线的离心率e＝＝.‎ ‎12．、[2014·四川卷] 复数＝________．‎ ‎12．－2i　[解析] ＝＝－2i.‎ ‎13．[2014·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．‎ ‎13．1　[解析] 由题意可知，f＝ff＝－4＋2＝1.‎ ‎14．、[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．‎ ‎14．2　[解析] c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，即＝，即5m＋8＝，解得m＝2.‎ ‎15．、、[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；‎ ‎②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；‎ ‎④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎15．①③④　[解析] 若f(x)∈A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．‎ 取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得函数f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故②错误．‎ 当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(x)＋f(a0)＝b0－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．‎ 对于f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝(x＞－2)．易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确 ‎16．、[2014·四川卷] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ ‎16．解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：‎ ‎(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，‎ 则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，‎ 所以P(A)＝＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，‎ 则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．‎ 所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.‎ ‎17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ ‎17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)．‎ 所以sin αcos＋cos αsin＝‎ (cos2α－sin2α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝＋2kπ，k∈Z.‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎18．、[2014·四川卷] 在如图14所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．‎ ‎(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1.‎ ‎(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．‎ 图14‎ ‎18．解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，‎ 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.‎ 因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，‎ 所以AA1⊥平面ABC.‎ 因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.‎ 又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，‎ 所以BC⊥平面ACC1A1.‎ ‎(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．‎ 图14‎ 由已知，O为AC1的中点．‎ 连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，‎ 所以MD綊AC，OE綊AC，‎ 因此MD綊OE.‎ 连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，所以DE∥MO.‎ 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC.‎ 所以直线DE∥平面A1MC.‎ 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.‎ ‎19．、、[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{bn}为等比数列；‎ ‎(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.‎ ‎19．解：(1)证明：由已知得，bn＝2an＞0，‎ 当n≥1时，＝2an＋1－an＝2d.‎ 故数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列．‎ ‎(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，‎ 其在x轴上的截距为a2－.‎ 由题意知，a2－＝2－，‎ 解得a2＝2，‎ 所以d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb＝n·4n.‎ 于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，‎ ‎4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，‎ 因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝，‎ 所以，Sn＝.‎ ‎20．、[2014·四川卷] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．‎ ‎20．解：(1)由已知可得，＝，c＝2，所以a＝.‎ 又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.‎ 当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.‎ 当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得 消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，‎ 其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝，‎ x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.‎ 因为四边形OPTQ是平行四边形，所以＝，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)．‎ 所以 解得m＝±1.‎ 此时，四边形OPTQ的面积 S四边形OPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|＝‎ ‎2 ＝2 .‎ ‎21．、[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；‎ ‎(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.‎ ‎21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.‎ 当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．‎ 当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，‎ 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；‎ 当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，‎ 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；‎ 当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，‎ 所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，‎ 于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.‎ 综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；‎ 当＜a＜时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；‎ 当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.‎ ‎(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，‎ f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．‎ 则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．‎ 故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.‎ 同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．‎ 由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；‎ 当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．‎ 所以＜a＜.‎ 此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．‎ 因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.‎ 由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有 g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.‎ 解得e－2＜a＜1.‎ 所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.‎