全国百强名校领军考试2020届高三下学期数学（文）试题 Word版含解析

全国百强名校领军考试2020届高三下学期数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019-2020学年下学期全国百强名校 ‎“领军考试”高三数学（文数）‎ 注意事项：‎ ‎1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.‎ ‎3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选 择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.‎ ‎4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合， ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，，再求交集即可．‎ ‎【详解】＝＝， ， 故＝，‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查对数不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.已知复数，则=（ ）‎ A. 2 B. 8 C. D. 13‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 利用复数代数形式乘除运算化简，再由求解.‎ ‎【详解】依题意 ＝，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查复数的乘除运算，考查共轭复数，考查复数模的计算，属于基础题.‎ ‎3.直线 绕原点逆时针方向旋转 后与双曲线 ： 的一条渐近线重合，则双曲线 的离心率为（    ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据旋转后直线的夹角得出其直线方程，结合渐近线方程，利用离心率公式，化简即可得出答案.‎ ‎【详解】直线绕原点逆时针方向旋转后得直线的倾斜角为，则旋转后的直线方程为 所以，双曲线的离心率.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.‎ ‎4.已知数列是等比数列，若，则a5=（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设数列的公比为，结合等比数列的通项公式进行化简，由此求得的值.‎ ‎【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为，若，则＝＝.‎ 故选：B - 20 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式有关计算，属于基础题.‎ ‎5.已知实数x，y满足约束条件，则3x-y的最大值是（ ）‎ A. 4 B. 3 C. -2 D. -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出平面区域，令＝，利用目标函数几何意义求最大值．‎ ‎【详解】不等式组表示的平面区域如图： ‎ ‎ 令＝变形为＝， 此直线在轴截距最小时，最大， 由区域可知，直线经过图中时，取最大值； 由：； ∴ ； ∴ 取最大值为：＝‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎6.某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备从3名男生、2名女生中随机选2人发言，则既有男生发言又有女生发言的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数，既有男生发言又有女生发言包含的基本事件个数，由此能求出既有男生发言又有女生发言的概率．‎ ‎【详解】某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式， 其中有一项学生发言，准备从名男生、名女生中随机选人发言， 基本事件总数， 既有男生发言又有女生发言包含的基本事件个数，‎ ‎∴ 既有男生发言又有女生发言的概率．‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.‎ ‎7.已知变量x，y的关系可以用模型拟合，设z = lny，其变换后得到一组数据下：‎ 由上表可得线性回归方程，则c =（ ）‎ A. -4 B. C. 109 D. e109‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归直线方程过样本中心点，求得，再根据对数运算求得的值.‎ ‎【详解】，代入得，解得.所以.由＝，得＝＝＝，令＝，则＝，∴ ＝，则＝．‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查非线性回归有关计算，属于基础题.‎ ‎8.已知，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】第二次执行循环体，＝，＝，不满足退出循环的条件（1）第三次执行循环体，＝，＝，不满足退出循环的条件（2）第四次执行循环体，＝，＝，满足退出循环的条件（3）若输出的值为，则判断框内可填入的条件是？.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查补全程序框图，属于基础题.‎ ‎9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，过点A及C1D1中点作与直线 平行的平面α，则平面α与该正方体 ABCD- A1B1C1D1各面交线长度之和为（ ）‎ A. 5 B. 2 C. 2+3 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，找出截面，求解三角形得答案．‎ ‎【详解】如图，‎ - 20 -‎ 为 的中点，则，得平面，‎ 由及，可得，则，，‎ 求得，＝，＝．‎ ‎∴ 平面与该正方体各面交线长度之和为．‎ 故选：B ‎【点睛】本小题空间线段长度的计算，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎10.已知定义在上的增函数f(x)满足对任意，都有，且，若，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. (-1，1) C. (0，2) D. (1，3)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用赋值法求得，结合函数的单调性，求得不等式中的取值范围.‎ ‎【详解】由，得 ‎，即，由于，.‎ ‎，即.‎ 由于在上递增，所以由，得，则，解得.‎ 故选：B - 20 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性解不等式，所以基础题.‎ ‎11.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a>0)的蒙日圆，a=（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得的值．‎ ‎【详解】因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为，，则两条切线分别是，，这两条切线相互垂直，且两条直线的交点为，而在蒙日圆上，所以＝，解得＝.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查利用给定的定理进行计算，考查椭圆的切线方程，属于基础题.‎ ‎12.已知数列满足，设数列的前n项和为Sn，则S2019 =（ ）‎ A. 2020 B. 2019 C. 1010 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可先构造数列：令，先得出数列的特点及周期性，然后可得数列的规律，再用分组求和法可得的值，再通过＝可得到正确选项．‎ ‎【详解】由题意，可构造数列：令，则可得数列，，，，，，，，…即数列是最小正周期为的周期数列．‎ ‎∴ 数列，，，，，，，，…‎ ‎∴ ＝‎ ‎＝‎ - 20 -‎ ‎＝＝，‎ ‎∴ ＝＝＝．‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查分组求和法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.斜率为-1的直线l与的图象相切，则直线l的方程为____.‎ ‎【答案】＝‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点坐标，求出原函数的导函数，由导函数等于求得切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．‎ ‎【详解】设切点坐标为，‎ 由，得＝，‎ 则，即＝，‎ 则．‎ ‎∴ 直线的方程为，即＝．‎ 故答案为：＝‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，属于基础题.‎ ‎14.已知，若，则k=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的坐标，利用向量的数量积运算即可求解．‎ ‎【详解】．‎ ‎∵ ＝，∴ ＝．‎ ‎∴ ＝．‎ 故答案为：‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查平面向量坐标的线性运算，属于基础题.‎ ‎15.函数，若存在，使得，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出时，；令求出的取值范围即可．‎ ‎【详解】函数＝，‎ 当时，；‎ 令，解得，‎ 此时存在，使得＝，‎ 所以的取值范围是．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三角函数值求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎16.在平行四边形ABCD中，AB = AC = 1，AD =， 把该四边形沿AC折起，使得点B到达点E，且平面AEC⊥平面ACD，若点A、C、D、E都在同一个球的表面上，则该球的表面积为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，证明的中点为三棱锥外接球的球心，求解三角形可得，代入球的表面积公式得答案．‎ ‎【详解】如图，‎ 由＝＝，＝，得，即，‎ 又平面平面，平面平面＝，‎ ‎∴ 平面，底面为等腰直角三角形，‎ 过的中点作底面的垂线，交于，‎ - 20 -‎ 则为三棱锥外接球的球心，则外接球的半径．‎ ‎∴ 球的表面积为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.‎ 三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题：共60分. ‎ ‎17.2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7:00-23：00这一时间段内顾客0这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7:00 〜11:00，11:00 〜15:00，15:00 ~19:00，19:00~23:00，依次记作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23].‎ ‎（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）现从10月1日在该商场购买商品的顾客中随机抽取100名顾客，经统计有男顾客 40人，其中10人购物时刻在[19，23](夜晚)，女顾客60人，其中50人购物时刻在[7，19)(白天)，根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”?‎ - 20 -‎ 附：‎ ‎【答案】中位数为，平均数为；（2）2×2列联表见解析，没有的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率之和为列方程，解方程求得中位数，利用平均数的估计方法，求得平均数的估计值.‎ ‎（2）填写2×2列联表，计算出的值，由此判断出没有的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”.‎ ‎【详解】（1）设中位数为，则＝，解得＝．平均数.‎ ‎（2）列联表如图：‎ 白天 夜晚 总计 男顾客 女顾客 总计 观测值．‎ ‎∴ 没有的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”．‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算中位数和平均数，考查列联表独立性检验，属于基础题.‎ ‎18.已知△ABC中.‎ ‎（1）求cos∠BAC;‎ ‎（2）若AC=3，AB=1，点D在BC边上，且∠BAD=∠CAD，求AD的长 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理、同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式化简已知条件，由此求得的值.‎ ‎（2）根据的值，求得的值.利用等面积法列方程，解方程求得的长.‎ ‎【详解】（1）中，∵ ，‎ ‎∴ 由正弦定理得，‎ 由，，得：‎ ‎＝，‎ 整理，得：＝，‎ ‎∴ ＝，‎ ‎∴ ＝，‎ ‎∵ ，，∴ ．‎ ‎（2）由，得，‎ 由＝，得＝，‎ 由＝，得：‎ ‎，‎ 整理，得，解得．‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎19.如图，在四棱锥P-ABCD中AD∥BC，DA⊥AB，AD=2， AB=BC=1，CD=，点E为PD中点.‎ ‎（1）求证：CE∥平面PAB；‎ ‎（2）若PA⊥AD，P4=2，∠PAB=，求三棱锥A-PCD的体积 ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作于，点为中点．证明四边形是平行四边形，推出，然后证明平面．‎ ‎（2）求出到平面的距离，三角形的面积，然后转化求解三棱锥的体积．‎ ‎【详解】（1）作于，点为中点．‎ 所以为的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，平面，平面，所以平面．‎ ‎（2），，所以平面，＝，，‎ 所以到平面的距离为：，＝，＝＝，，‎ 所以三角形的面积为：，‎ 三棱锥的体积为：．‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎20.已知过点P（4，0）的动直线与抛物线C：交于点A，B，且（点O为坐标原点）.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）当直线AB变动时，x轴上是否存在点Q使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）＝；（2）轴上存在点，使得点到直线，的距离相等.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设过点的动直线为＝，联立抛物线的方程，设，，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，化简可得，进而得到抛物线方程；‎ ‎（2）轴上假设存在点符合题意，由题意可得＝，运用直线的斜率公式和韦达定理，化简可得的值，即可判断存在性．‎ ‎【详解】（1）设过点的动直线为＝，‎ 代入抛物线＝，可得＝，‎ 设，，‎ 可得＝，‎ 由可得＝＝，‎ 解得＝，则抛物线的方程为＝；‎ ‎（2）当直线变动时，轴上假设存在点使得点到直线，的距离相等，‎ 由角平分线的判定定理可得为的角平分线，即有＝，‎ 由（1）可得＝，＝，‎ 则，‎ - 20 -‎ 化为＝，‎ 即为＝，‎ 化简可得＝，‎ 则轴上存在点，使得点到直线，的距离相等．‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查考查抛物线中的定点问题，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）讨论函数_f(x)的单调性；‎ ‎（2）若 ，且有2 个不同的极值点 ，求证：.‎ ‎【答案】（1）时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断的单调性；‎ ‎（2）①方法一：根据导数与函数极值的关系，求得和的关系，因此可以求得的取值范围；‎ 方法二：根据方法一求得和的关系，根据函数的零点存在定理求得的取值范围；‎ ‎②根据①可知，表示出，消元，根据的取值范围和函数的单调性即可求得 ‎【详解】（1），求导，，‎ ‎①当时，，所以在上单调递增；‎ ‎②当时，，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 综上可知，时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2）①方法一：因为＝，‎ - 20 -‎ 所以，有个不同的极值点，，‎ 则，是方程＝的两个根，由，得＝，‎ 且＝，＝，结合，可得，由，‎ 得，所以，‎ 方法二：因为＝，‎ 所以，有个不同的极值点，，‎ 则，是方程＝的两个根，由，得＝，‎ 且＝，＝，结合，可得，‎ 设＝＝，因为，＝，‎ 由零点存在定理得；‎ ‎②，‎ 设，，‎ 求导，，，‎ 故＝单调递减，，‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.‎ 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第 一题计分.‎ ‎［选修4-4：坐标系与参数方程］‎ - 20 -‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数，a∈R).在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（1）若点A(0，4)在直线l上，求直线l极坐标方程；‎ ‎（2）已知a>0，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，若|PQ|最小值为，求a的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线l参数方程转化为直角坐标方程，再将A点坐标代入即可求出a值，进而求出极坐标方程.‎ ‎（2）设直线m平行于直线l，则直线m与曲线C的切点到直线l的距离即为|PQ|最小值，计算求解即可.‎ ‎【详解】（1）由直线l的参数方程为 (t为参数，a∈R)可得，‎ 直线l的直角坐标方程为，‎ 因为点A(0，4)在直线l上，代入方程，得 则直线l的直角坐标方程为，‎ 将代入，得 即直线l的极坐标方程为 ‎（2）将曲线C的极坐标方程 化为直角坐标方程，得，‎ 设直线，‎ 则直线m与曲线C的切点（靠近直线l）到直线的距离即为|PQ|最小值，‎ 将直线m代入曲线C中，得，‎ 由相切，得，即（舍负），‎ 由于直线m与直线l的距离为，‎ - 20 -‎ 则， ‎ ‎【点睛】本题主要考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程之间的转化，难度较易；解决此类直线到曲线上最大（小）值问题时，可以联立利用求解，也可以通过将曲线转化为参数方程在代入点到直线距离公式求解.‎ ‎［选修4-5：不等式选讲］（10分）‎ ‎23.已知 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若f(x)的最小值为M，且a+b+c=M(a，b，c∈R)，求证：‎ ‎【答案】（1）或 （2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值不等式性质，进行分类讨论即可；‎ ‎（2）由题知f(x)的最小值为M=1，再根据基本不等式推理论证即可证明.‎ ‎【详解】（1）由题可知，‎ 则的解集为或 综上，不等式的解集为或 ‎（2）由题可知，f(x)的最小值为M=1（时取得），‎ 即，‎ 由柯西不等式，得，‎ 同理，得到 相加，得得证（等号成立条件）‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用柯西不等式的简单证明，难度一般，利用基本、柯西不等式证明结论时，注意等号成立条件.‎ - 20 -‎ ‎ ‎ - 20 -‎ - 20 -‎